44个物理趣题

有一块V 字形木板，两侧与地面的夹角都是θ 。

一根密度均匀的绳子放在木板上，绳子与木板之间的摩擦系数为 1 。

整个系统左右对称。

没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少？此时θ 是多少度？
用一些非常初等的方法可以得到，答案是(√2- 1)2≈ 0.172 ，此时θ = 22.5° 。

具体解答可以见http://star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf。

一个长、宽、高分别为 a 、b 、c 的长方体物块，斜靠在一个墙角。

由于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。

什么时候，物块会脱离墙壁？
为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作θ ，物块下滑过程中的各种物理量都可以用θ 来表示。

然后，解决这个问题的关键就在于，当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系dvx/ dθ = 0 给出。

不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方式去解它。

有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为R 。

我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。

假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。

但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。

那么，这中间一定会有一个临界点。

这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？
把半圆的半径记作R ，把木板的厚度记作t 。

如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是R + t/2 。

假如这块木板倾斜了一个微小的角度θ ，那么图中M'T 的长度等于弧MT 的长度，即2πR·(θ/2π) = R·θ 。

此时，木板的重心G' 的高度变为了(t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。

为了让木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即(t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。

解
出不等式，再令θ→0 ，即可得到t < 2R。

也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。

假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。

你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？
可以。

只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。

期待实验党。

用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往往会有过热的迹象。

如果是劣质
插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。

明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更厉害呢？
目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。

当然，这个现象本身是否存在也是存疑的。

大家不妨来说说自己家里插座的情况。

呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个最优的频率？⋯⋯
我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的⋯⋯当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。

和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。

如果你真的把它当成一回事仔细分析，你会发现这不是一般的困难。

2004 年，Biological Cybernetics 上发表了一篇长达15 页的论文，论文题目是Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula-Hooping 。

这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖——当然，是搞笑版的。

投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。

不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果一枚硬币真的有1/3 的概率正面朝上，有1/3 的概率反面朝上，有1/3 的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？
这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜30 度仍然不倒。

这样，硬币直立的“势力范围”才会达到120 度。

因此，硬币的直径应该是厚度的√3倍。

考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为M ，体积为V 。

如果这颗星球是一个球体，那么它的半径R = ((3V) / (4π))1/3，星球表面上的重力加速度则为g = GM / R2= GM((4π) /
(3V))2/3，其中G 是万有引力常数。

考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？
下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。

这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以z 方向为轴的旋转体，顶端的m 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为g =
(4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大2.6% 。

这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。

这个问题的解法非常漂亮。

首先，假设我们想要让星体表面上的某个点m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在z 轴上，那么这个星体必然是沿z 轴方向对称的。

否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让m 点在竖直方向上的受力变大。

不断这样做直到这个图形沿z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。

接下来的步骤就真的神了。

现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是dM 。

那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是G·dM·cosθ /r2。

如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的r 值和θ 值。

当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为0 ，任何微小的变动都不会改变m 的加速度。

这就意味着，cosθ / r2是一个常数。

这个条件就确定出整个星体的形状。

Fermat 光程最短原理指出，光从A 点到B 点，总是沿着最快的路径传播。

这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。

不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路径传播。

为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？
这里有一个例子。

考虑椭圆内的两个焦点A 、B ，和椭圆上的一点M 。

显然，不管M 取在哪儿，AM + BM 都是相同的。

现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于M 点。

然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。

显然，AMB 仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于AMB 。

AMB 是一个光程极大的路径。

物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。

比如，能量的单位就是1J =
kg·m2·s-2。

为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是sin(kg)·log(m) ？
这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。

它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。

网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。

具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。

比如说，密度单位是质量除以长度的三次方，就表明如果质量扩大到原来的 2 倍（或者说单位量变成了原来的1/2 ），长度扩大到原来的4 倍（或者说单位量变成了原来的1/4 ），那么这个物理量将会变成原来的2/43= 1/32 。

现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。

按照国际标准单位制，这个单位是
sin(kg)·log(m) 。

假如单位换成了sin(g)·log(cm) ，那么这个物理量将会变成原来的sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。

再继续换算成sin(mg)·log(mm) ，物理量应该继续变成原来的sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。

但是，如果从sin(kg)·log(m) 直接变到sin(mg)·log(mm) ，物理量应该变成原来的sin(1 000 000)·log(1000) ≈ -2.41767 ，这就和前面的结果矛盾了。

利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。

不过，这个解释并不能让我十分满意。

大家怎么看呢？
有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是1Ω 的电阻丝。

求相邻两点间的等效电阻阻值。

这个问题有一个很妙的解法。

假设一个大小为1A 的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。

由对称性，有(1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。

现在，再假设一个大小为1A 的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。

由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有(1/4)A 的电流。

现在，把两种情况叠加在一起看，大小为1A 的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有(1/2)A 的电流。

因而，两点间的电压就是(1/2)A·1Ω = (1/2)V 。

因而两点间的等效电阻就是(1/2)V / 1A = (1/2)Ω。

说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。

这个问题本身的扩展非常之多。

例如，我们可以把问题扩展到N 维的情形：N 维无限电阻网格中，相邻两点的等效电阻是多少？利用同样的方法可以得出，答案就是1/N。

回到二维情形，如果我们换一个扩展方向，改问对角两点间的电阻，上述分析方法就不行了。

而这个加强版问题的答案也更加玄妙：两点间的阻值为(π/2)Ω 。

大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。

xkcd有一个经典漫画，形象地描绘出nerd 们被数理趣题折磨的感受。

当然，这幅画本身也折磨了不少人，网上涌现出大量对这个问题的讨论。

还有一种经典的无穷电阻问题：一个向右无穷延伸的梯子形网格，每条线段都是1Ω 的电阻，求两点间的等效电阻。

问题的解法非常漂亮。

假设我们要求的答案是R，则R 可以看作是三个1Ω 的电阻串联，然后把一个阻值为R 的电阻（也就是它本身）与中间那个1Ω 电阻并联所得。

于是得到等量关系R = 1 + 1/(1+1/R) + 1，解得R = 1 + √3。

还有一些经典的求电阻问题。

其中一个问题是，一个正方体的12 条棱上各有一个1Ω 的电阻，求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。

2007 年10 月份IBM Ponder This的题目则是，分别考虑五种正多面体，如果每条棱上各有一个1Ω 的电阻，则相邻两顶点的等效电阻是多少？巧妙地利用对称性，这几个问题都可以迅速被秒杀。

假设有一个圆锥形的冰山，冰山表面绝对光滑。

你打算把一个绳圈套在山尖上，然后沿着绳索爬上去。

考虑两个极端情况：如果冰山特别尖，顶角特别小，这个计划自然不成问题；但若冰山特别“肥”，顶角特别大，向下拉绳子后，绳圈将会滑出山尖。

这中间一定有一个临界点，也就是绳圈掉不出来的最大顶角。

这个顶角是多大？
这是一个非常有趣的问题。

问题的本质就是，绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。

容易想到，绳子被拉紧，意味着绳圈从A 点出发，将沿最短路径绕过山尖一周，再回到A 点。

如果把圆锥的侧面展开成扇形，绳圈其实就像下面这样（图中的A 点和A' 点在圆锥上是同一个点）。

显然，当这个扇形的顶角小于180 度时，这样的绳圈才可能存在；而当这个扇形的顶角大于180 度时，拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。

据此不难推出，所求的临界情况就是，圆锥的高与母线的夹角为30 度。

n 块相同的木板重叠，最多能够伸出桌面多远？
这是一个非常经典的问题。

传统的答案是，把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘，把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘，把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘⋯⋯利用杠杆原理可以推出，如果每块木板都是单位长，那么n 块木板可以伸出桌面(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) / 2 个单位的长度。

由调和级数的性质，我们立即可以得知，只要木板数量足够多，木块伸出桌面的长度是没有上界的，想伸出去多长就能伸出去多长。

但同时，这个增长速度也非常缓慢⋯⋯ 20 块木板只能伸出大约 1.79887 个单位的长度，1000 块木板也只能伸出大约4.8938 个单位的长度。

不过，采用一些其它的方案（比如拿几块木板在后方作为“配重”），我们可以让木板伸出的长度更远。

下面是一篇非常经典的论文，总结了目前对这个问题的研究结果：/abs/0707.0093。

上楼时，人克服重力做功，需要耗费很多能量。

但是，在平地上行走时，人并没有做功。

那么，为什么我们走路时还要耗费能量呢？
1999 年3 月的Scientific American 上说到，其实在步行时，我们也是要克服重力做功的。

这是因为，在步行的过程中，人的重心会一上一下地摆动。

当两腿一前一后着地时，人的重心偏低；而单腿着地迈步时，人的重心会升高大约3cm 。

我们走路的能量主要就消耗在了这里。

当然，事实上，即使人不走路，光是原地站着，也是要耗费能量的（大约为80W ）。

假设人的步行速度是v ，那么步行所用的能量可以用公式P = 80W + K·v 大致算出，其中K·v 就是步行过程中耗费的能量，系数K 大约为160N 。

教中学物理最怕聪明孩子，一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。

初中物理中，有几个最不好给学生解释的事情。

走路不做功，为什么还要耗费能量？电流从电厂来又回到电厂去，为什么我们还要支付电费？把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来，为什么大气压没有把水支撑起来？拳头打在墙上后将会受到墙给拳头的反作用力，但若拳头挥空了，这个力的反作用力是什么？
你都打算怎么解释？
橄榄油的沸点是300℃，锡的熔点是231.9℃。

为什么我们能在锡锅里炸东西？
答案：橄榄油并没有沸腾，沸腾的其实是食物里的水。

而且，正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在100℃。

如果食物里的水被烧干了，食物就会被烧焦，锡锅当然也会被烧毁。

在晃动的火车车厢上，把一瓶水放在小桌子上。

如果想让这瓶水放得更稳，有一个极其简单的方法。

这个方法是什么？
答案：喝掉一部分水，让整瓶水的重心下降。

注意，这里又有一个有趣的极值问题。

如果瓶子里装满水，整个系统的重心显然要比只装有一部分水时更高；但若把水全部喝掉，只剩一个空瓶子，整个系统的重心仍然会比有一部分水时高。

建立模型，求出使
得整个系统重心最低的水位高度，是一个绝佳的物理课题。

有一个蛮有意思的结论：当整个系统的重心达到最低时，水位一定和此时整个系统的重心高度相同。

其实
这个很好理解：当水位没有达到整个系统的重心高度时，每加一点水，都相当于在重心下方填充质量，让
重心下降；但水位高度超过了整个系统的重心，则每加一点水，都相当于在重心上方新添质量，重心便会
开始上升了。

12 节1V 的电池首尾相接，然后将一块电压表如图连接。

电压表的示数是多少？
有时候，方言的力量真是强大。

看到这个题目后，我脑子里闪过的第一个形容词就是重庆话“想得出来”，
但始终没找到合适的普通话替代词。

总之，这题可以说是非常具有想象力了。

答案是0V 。

假设每个电池的内电阻是R ，这个回路的电流就等于12V 除以12R ，即(1V)/R 。

于是，每个电池的内电压就是R·(1V)/R = 1V ，而这恰好是这个电池的电动势。

因此，每个电池的外电压都为0 。

对于一组连续的电池来说，这个推理同样成立。

为什么跳蚤、蚱蜢、人和狮子，尺寸差异那么大，但能跳起的最高高度都是 1 米左右（最多相差一个不
超过 2 的系数）？
看到这个问题之后，我在Google 里搜了一下，竟然真是这样。

猫猫狗狗老鼠老虎，可以跳起的高度都在 1 米这个尺度左右——猫猫和狗狗都能跳1 米左右，老鼠能跳40 厘米，老虎能跳2 米。

你以为袋鼠牛B 吗？其实袋鼠也只能跳2 到 3 米高。

注意，这里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”，而是生物让自己重
心升高的高度。

有人可能想到了原因。

一个动物身体小，力量也小，但正因为它身体小，跳起 1 米也不需要太大的力。

反之，大型动物力量倒是大，不过要跳起来确实也需要很大的力。

这就让动物们能够跳起的高度变得平衡。

不过，为什么这两个因素能够平衡，而不是一个压过另一个呢？假设生物的形体和密度都相近，我们就可
以漂亮地证明这一点：把一次跳跃中足部可以提供的能量记作E ，生物自身的重量则记作W ，那么生物跳起的高度应该正比于E/W 。

如果再把生物的尺寸（一维上的长度，比如身长）记作L ，那么W 是与
L3成正比的。

而E 则等于肌肉提供的力乘以这个力能够牵引的肢体运动距离，其中前者与肌肉的横截面
积成正比，也就与L2成正比，后者和足部长度成正比，也就是和L 成正比。

因此， E 和L3成正比。

于是，E/W 与L 无关！
小时候大家应该都听说过，跳蚤巨牛无比，能跳起1 米多高，是自身高度的100 多倍。

原来，不管什么都能跳起1 米多高，这个倍数关系这么惊人，只是因为跳蚤自己太矮罢了。

一个空心正方体的内部有六面墙。

能否让一个小球在每一面墙上都各反弹一次，最后又回到出发点（假设没有重力）？
可以。

这是由Hugo Steinhaus 首先发现的。

注意，每反弹一次，只会让速度中的其中一个分量变为相反数，因此六次反弹后，速度向量会和出发时相同。

为了让六次反弹后还能回到出发点，我们只需要再让各
段路程的长度都相同就行了。

上图中的方案里，每段路程都是一个小立方体的对角线，因而最后就正好能
回到原点。

一个物块从高度为h 的光滑斜面顶端开始下滑，下滑到底端后沿光滑水平面以速度v 匀速直线运动下去。

初始时，物块的重力势能为mgh ；到了斜面底部后，重力势能为0，完全转化为了动能(1/2)mv2。

由此我们可以解出，v = √2gh。

现在，假设你坐在一个以v 的速度向右做匀速直线运动的车里。

如果以你为参照物，你将会看到，斜面
顶端的物块初始时机械能为mgh + (1/2)mv2，而到了斜面底端后，机械能突然变成0 了！这该怎么
解释呢？
这是一个非常漂亮的问题，大家不妨多想一想。

简单地说，就是在新的参照系下，物体并不是沿着直线下滑，斜面也对物体做功了。

不过，这只能解释一部分“消失”的机械能。

具体答案在
http://star.tau.ac.il/QUIZ/99/A07.99.html。

有网友来信说，从根本原因上看，只要把斜面本身也算进系统里，考察斜面的能量，就不会产生不守恒的
问题了。

有一段横截面是等边三角形的木头，密度为0.5g/cm3。

它在水中漂浮时，哪头会朝上？
答案：如图所示，漂浮时，它的其中一条中线一定和水面重合。

这是因为，通过计算可知，此时整个物体的重心G1和浸入水中的部分的重心G2（也就是浮力的作用点）正好在同一竖直线上，并且高度差达到最小值。

20 世纪初，一本名为Power 的杂志上曾经登载了这样一个永动机模型。

如图，把光滑绳圈套在滑轮上，绳圈右侧浸在水中。

于是，绳圈右侧将持续受到一个竖直向上的浮力，绳子便逆时针转动了起来。

这个永动机模型可行吗？如果不可行，问题出在哪儿？
答案：废话，当然不可行。

可是，这个模型错在哪儿呢？注意，浮力其实是物体上下表面的液体压强差产生的。

因此，浮力只会出现在完全浸入液体，或者漂浮在液体表面的物体上。

在这个例子中，绳子并不会受到浮力。

如果你把绳子想像成是一片片圆盘拼成的，每个圆盘都只受到侧面来的液体压强，在绳子的方向上是不可能有力产生的。

围观更多的永动机，请移步/wiki/History_of_perpetual_motion_machines。

秤上放着一个玻璃瓶子，瓶盖是密封的。

一只苍蝇飞在瓶子中，没有挨着瓶子。

秤的示数等于瓶子的重量，还是大于瓶子的重量？如果苍蝇靠栓在身上的一个小氢气球浮在瓶子中呢？
这是一个经典问题了。

对于前一个问题，秤的示数应该大于瓶子的重量，多的这点重量正好就是苍蝇自身的重量。

这是因为，苍蝇要想飞起来，必须要给空气一个等于自身重量的向下的力（从而获得一个等于自身重量的向上的力）。

空气将会把这个力传到瓶底，也就是对瓶底施加一个相同的力。

对于第二个问题，答案是，秤的示数就等于瓶子的重量。

如果苍蝇受空气浮力悬浮在空中，我们就可以把苍蝇连同气球所占据的位置等价地用空气来替换，毕竟瓶子里悬浮着一只气球苍蝇和悬浮着一坨空气没什么两样嘛。

这样看来，秤的示数就是瓶子的重量了。

这个问题扯开来，也有一大堆可以说的。

初中物理有一道经典题目：把一杯水放在秤上，然后手指伸进水
里（手指未碰到杯底，水未溢出），问秤的示数怎么变。

答案是，变大了。

因为水位升高，对杯底的水压增大了，从而杯底受到的压力也就增大了。

当然，按照之前的思路，我们还有一个更好的解释。

你的手指受到了一个竖直向上的浮力，水自然也就受到了一个竖直向下的反作用力，这个力的大小就等于手指排开水的重量。

因此，你可以把手占据的位置替换成一堆水。

可见，杯子里的水量相当于是凭空增加了，秤的示数自然也就增加了。

大家估计听过一个脑筋急转弯，说一个独木桥载重80 公斤，为什么一个重70 公斤的人可以拿着两个各重10 公斤的球过桥？答案是，这个人像杂技演员一样，轮流把球扔到空中，保证手里只有一个球。

不过大家仔细想想便会发现，这个题明显有bug 。

你需要给球一个大于10 公斤的力，才能让球加速上升；此时，球会给你一个大于10 公斤的反作用力，这样就超过独木桥的载重了。

云是由小水滴组成的。

水的密度是空气密度的800 多倍。

为什么云不会掉下来？
我操，这个问题太有型了！我在反省自己，为什么小时候听说“云是由小水滴组成的”的时候，没有提出过这个问题呢？
这个问题的答案是，云就是会往下掉的，只不过下落的速度非常慢⋯⋯
云中的小水滴颗粒极小，因而小水滴受到的空气阻力，其数量级和自身重力相当。

计算可知，1 微米的水滴下落速度约为0.13 毫米每秒，也就是一天下降11 米。

即使是10 微米的水滴，下落速度也很慢，大约每天1.1 千米。

如果不精确测量的话，我们是没办法观察到的。

详细计算过程可以见这里：
http://star.tau.ac.il/QUIZ/98/A10.98.html。

这让我想起一个冷知识：蚂蚁是摔不死的，因为空气阻力和自身重力相当。

这又让我想起一个冷笑话：蚂蚁从摩天大楼摔下去，是怎么死的？答案是——饿死的。

利用蹦床一次，你可以跳到多高？
答案：两倍原地起跳的高度。

蹦床自己既不会消耗能量，也不会提供能量，因而你跳到蹦床上以后，蹦床储存的弹性势能只能把你弹回到一次起跳的高度。

你在蹦床上再跳一次，便能跳到两倍高。

大家在电影的各种爆炸场面里都会看见这样一个情景：一个正在倒下的烟囱，在倒下的过程中，会自己断成两截。

断裂处将出现在烟囱的什么位置？
这是MIT 的一道入学考试题。