高中学习不等式数列综合难题

1、函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线
段的中点P的横坐标为.
〔1〕求证：点P的纵坐标是定值;
〔2〕假设数列的通项公式为, 求数列的前m项和；
〔3〕设数列满足: ，设，
假设〔2〕中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
2、 (本小题共13分)
对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定为
的k阶差分数列，其中．
〔Ⅰ〕假设数列的首项，且满足，求数列的通项公式；
〔Ⅱ〕对〔Ⅰ〕中的数列，假设数列是等差数列，使得
对一切正整数N*都成立，求；
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，令设假设成立，求最小正整数的
值．
3、(本小题总分值14分)
数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满
足，为数列的前n项和．
〔1〕求、和；
〔2〕假设对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
〔3〕是否存在正整数，使得成等比数列？假设存在，求出所有的值；假设不存在，请说明理由．
4、〔本小题14分〕
设函数y＝f(x)的定义域为(0
，
＋∞)
，且在(0，＋∞)上单调递
增，假设对任意
x，y∈(0，＋∞)都有：
f(xy)＝f(x)
)成立，数列{
n}
满足：
1
＝
(
1)
＋1，a f
〔1〕求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；
〔2〕设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，假设g(1)＝1，正项数列{b n}满足：，T n 为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小。

5、定义在上的奇函数满足，且对任意有．
〔Ⅰ〕判断在上的奇偶性，并加以证明．
〔Ⅱ〕令，，求数列的通项公式．
〔Ⅲ〕设为的前项和，假设对恒成立，求的最大值．
6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是
“M类数列〞．
〔I〕假设，，，数列、是否为“M类数列〞？假设是，指出它对应的实常数，
假设不是，请说明理由；
〔II〕假设数列满足，．
(1)求数列前项的和．
(2)数列是“M类数列〞，求
.
7、〔本小题总分值14分〕
函数．
〔1〕当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
〔2〕当时，试比较与的大小；
〔3〕求证：〔〕．
8、〔本小题总分值14分〕
函数．
〔1〕当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；〔2〕当时，试比较与的大小；
〔3〕求证：〔〕．
9、〔本小题满分14分〕函数
〔Ⅰ〕求函数的定义域，并证明〔Ⅱ〕假设在定义域上是奇函数；
恒成立，求实数
的取值范围；
〔Ⅲ〕当时，试比较与的大小关系．
10、函数
〔Ⅰ〕当
时，f(x)的导函数是
；。

对任意两个不相等的正数，证明：
〔Ⅱ〕当时，。

11、数列中，，且
〔1〕求证：；
〔2〕设，是数列的前项和，求的解析式；
〔3〕求证：不等式对于恒成立。

12、设为正整数，规定：，．〔1〕解不等式：；
〔2〕设集合，对任意，证明：；
〔3〕求的值；
〔4〕假设集合，证明：中至少包含有个元素．
13、函数满足以下条件：
①函数的定义域为[0，1]；
②对于任意；
③对于满足条件的任意两个数
〔1〕证明：对于任意的；
〔2〕证明：于任意的；
〔3〕不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.
15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点〔格点即横坐标和纵坐标均为整数的点〕
个数为.
〔1〕求的值及的表达式；
〔2〕记，试比较的大小；假设对于一切的正整数，总有成立，求实数的取
值范围；
〔3〕设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？假设存
在，求出正整数；假设不存在，说明理由.
16、函数的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且．
〔1〕试求函数的单调减区间；
〔2〕各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：；
参考答案
一、综合题
1、解：〔1〕当，在上减，又的最小，
∴，得t=1;
当，在上增，又的最小，
∴，得t=2〔舍〕;
当t=0，〔舍〕，
∴t=1,.
∵∴，
∴，即p点的坐定。

〔2〕由(1)可知,,所以,即
由,⋯①
得⋯②
由①＋②,得
∴
〔3〕∵,⋯⋯③
∴任意的.⋯⋯④
由③、④,得即.
∴.
∵
∴数列是增数列.
∴关于n增.当,且,.
∵
∴∴即
∴∴m的最大6.
2、解：〔Ⅰ〕由及，
得，
∴
∴———————————————2分∴数列是首公差的等差数列，
∴．————————4分
〔Ⅱ〕∵，
∴．
∵，
∴．————————————9分
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕得，①
有，②
①-②得，
∴，——————————10分又，
∴
，
∴是递增数列，且∴满足
条件的最小正整数3、解：〔1〕〔法一〕在的值为
，
6．————————
中，令，
13
，
分
得即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
解得，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
．
，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
〔法二〕是等差数列，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
由，得，
又，，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(求法同法一)
〔2〕①当偶数，要使不等式恒成立，即需不等式恒成
立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
，等号在取得．
此需足．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
②当奇数，要使不等式恒成立，即需不等式恒成
立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
是随的增大而增大，取得最小．
此需足．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
合①、②可得的取范是．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
〔3〕，
假设成等比数列，，即．⋯11分
〔法一〕由，可得，
即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
又，且，所以，此．
因此，当且当，，数列中的成等比数列．⋯⋯⋯⋯14分
〔法二〕因，故，即，
，〔以下同上〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
【明】考了等差数列、等比数列的概念及其性，以及数列的求和、利用均不等式求最等知；考了学生的函数思想方法，及其推理和探究的能力．
4、
5、解：〔Ⅰ〕．任意有⋯⋯⋯⋯①
令得；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１分
令由①得，
用替上式中的有⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯２分
在上奇函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯３分
〔Ⅱ〕．足，必有
否假设必有，依此推必有，矛盾
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯５分
，又
是首，公比的等比数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯７分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯８分
〔Ⅲ〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯９分
故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
②③得
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１１分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１２分
假设恒成立，解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１３分
的最大-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１４分
6、解：〔
I〕因
有
故数列
因
是“M数列〞，
，有
的常数分．⋯⋯⋯2分
故数列是“M数
列〞，
〔II〕〔1〕因
有，
的常数分，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
⋯⋯⋯⋯⋯
..6分
故数列
前的和
+
+++
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
〔2〕
数列是“M数列〞，存在常数，
使得
且有因此于任意
于任意
都成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
都成立，
于任意都成立，
..10分
而
有
，且
于任意
都成立，
即于任意都成立，
因此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
7、解：〔1〕当，，定域是，
，令，得或．⋯2分
当或，，当，，
函数在、上增，在上减．⋯⋯⋯⋯⋯4分
的极大是，极小是．
当，；当，，
当有一个零点，的取范是或．⋯⋯⋯⋯⋯5分
〔2〕当，，定域．
令，
，
在上是增函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
①当，，即；
②当，，即；
③当，，即．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
〔3〕〔法一〕根据〔2〕的，当，，即．
令，有，．⋯⋯⋯⋯⋯12分
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
(法二)当，．
，，即命成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
当，命成立，即．
，．
根据〔2〕的，当，，即．
令，有，
有，即命也成立．⋯⋯⋯⋯⋯13分
立．
因此，由数学法可知不等式成
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
〔法三〕如，根据定分的定，
得．⋯⋯11分
，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
，
又，，
．
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
考分思想和数【明】本主要考函数数运算法、利用数求函数的极、明不等式等基知，形合思想，考考生的算能力
及分析、解决的能力和新意．
8、解：〔1〕当，，定域是，
，令，得或．⋯2分
当或，，当，，
函数在、上增，在上减．⋯⋯⋯⋯⋯4分
的极大是
当，，极小是
；当，
．
，
当有一个零点，的取范是或．⋯⋯⋯⋯⋯5分〔2〕当，，定域．
令，
，
在上是增函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分①当，，即；
②当
③当，，
，即
，即；
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
〔3〕〔法一〕根据〔令，有
2〕的，当
，，，即．
．⋯⋯⋯⋯⋯
12分
，
[来源:学科网ZXXK]
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分(法二)当，
，
当，命成立，即
，
根据〔2〕的，当
令，有，
，即
．
，
命成立．
，即
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
．
．
10分
．
有，即命也成立．⋯⋯⋯⋯⋯
13分
因此，由数学法可知不等式成
立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
〔法三〕如，根据定分的定，
得．⋯⋯11分
，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
，
又，，
．
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
【明】本主要考函数数运算法、利用数求函数的极、明不等式等基知，考分思想和数形合思想，考考生的算能力及分析、解决的能力和新意．
9、解：〔Ⅰ〕由，解得或，
∴函数的定域
当，[
来
∴在定域上是奇函数。

⋯⋯⋯4分〔Ⅱ〕由，恒成立，
∴
∴
令
函数增，
，在成立
，，由二次函数的性可知
函数减，
∴⋯⋯⋯8分
〔Ⅲ〕=
法一：函数
,
，，即在上减，
当,成立.⋯⋯⋯14分
法二：构造函数，
当，，∴在减，
⋯⋯⋯12分
当〔〕，⋯14分
10、明：〔Ⅰ〕由
得
而①
又
∴
②
∵
∴
∵∴③
由①、②、③得
即
〔Ⅱ〕证法一：由，得
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设，那么
令得，列表如下：
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设
那么，列表：
极小值
∴即
∴即对任意两个不相等的正数，恒有
二、计算题
11、解：〔1〕，
又因为，那么，即，又，
，
〔2〕，
因为，所以
当时，
当时，，①
，②
①-②：，
.综上所述，
〔3〕，
又，易验证当时不等式成立；
假设，不等式成立，即，两边乘以3得又因为
所以
即时不等式成立.故不等式恒成立 .
12、解：〔1〕①当0≤≤1时，由≤得，≥．∴≤≤1．
②当1＜≤2时，因≤恒成立．∴1＜≤2．
由①，②得，
≤的解集为
{|≤≤2}．
∴当
当
当
即对任意〔2〕
∵
时，
时，
时，
，恒有
，
．
，，
；
；
．
〔3〕
，，，
，
〔4〕由〔一般地，
1〕知，
，∴
〔
．那
么
〕．
．∴．
由〔2〕知，对，或1，或2，恒有，∴．
那么0，1，2．
由〔3〕知，对，，，，恒有，
∴，，，．
综上所述，，0，1，2，，，，．∴中至少含有8个元素．
13、〔1〕证明：对于任意的
即对于任意的
〔2〕证明：由条件可得
所以对于任意的
3〕解：取函数
然足目中的〔1〕，〔2〕两个条件，
任意取两个数
即不等式
15、〔本小主要考数列、不等式等知，考化与化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和新意〕解：⑴-----------------2分
当，
取1，2，3，⋯，共有个格点
当，
取1，2，3，⋯，共有个格点
∴-----------------4分
⑵
-------------5分
当时，
当时，
------------------6分∴时，
时，
时，
∴中的最大值为.------------------8分
要使对于一切的正整数恒成立，
只需
∴-------------------9分
⑶
.---------------10分将代入，
化简得，〔﹡〕-------------------11分
假设时，
，
显然-------------------12分
假设时
〔﹡〕式化简为
不可能成立--------------13分
综上，
存在正整数
使成立.---------------14分16、解：〔1〕由己知.
且
∴。

4
于是
由得或
故函数的单调减区间为和.。

6
〔2〕由可得，
当时，
两式相减得
∴〔各项均为负数〕
当时，，∴。

8
于是，待证不等式即为．
为此，我们考虑证明不等式.。

10
令那么，
再令，由知
∴当时，单调递增∴于是
即①.。

12
令，由知
∴当时，单调递增∴于是
即②.。

14
由①、②可知
所以，，即.。

16。