2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第1课时)直线与平面平行讲义苏教版必修2

第1课时 直线与平面平行
1．直线和平面的位置关系
α
(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：
⎭
⎪⎬⎪
⎫
a ⊄α
b αa ∥b ⇒a ∥α．
3．直线与平面平行的性质定理
(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ∥α
l βα∩β＝m ⇒l ∥m ．
1.思考辨析
(1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α. ( ) (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α.
( ) (3)若直线a ∩b ＝
，b
α，则a ∥α.
( )
(4)若直线a ∥平面α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
[提示] (1)l 也可能在平面α内．(2)直线a 也可能和平面α相交．(3)a ∥α或a α
或a 与平面α相交．
2．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________．
b ∥α或b α [若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．]
3．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号)． (1)b α，a ∥b ；
(2)b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；
(3)b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)a
α，b
α，a ∥b .
(4) [由线面平行的判定定理可知(4)正确．]
4．如图所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．
平行 [∵ABC ­A 1B 1C 1是三棱柱，∴A 1B 1∥AB .
又∵A 1B 1
平面ABC ，AB
平面ABC ，
∴A 1B 1∥平面ABC . ∵A 1B 1
平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，∴A 1B 1∥DE ，∴DE
∥AB .]
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．
①若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；
②若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；
③若点A a，则过点A可以作无数个平面与a平行；
④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.
其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)
思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．
(1)②(2)③[(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．
(2)①错误．如图(a)，满足aα，bα，且a，b不相交，但a与b不平行．
②错误．如图(b)，满足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l 与α相交．
③正确．如图(c)，点A a，过点A可以作无数个平面与a平行．
④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于
正确作出判断，避免凭空臆断．
1．下列命题中正确的个数是________个．
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 1 [①中，l 可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l 异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l 与α平行的定义知④正确．]
的中点，求证：MN ∥平面PAD .
思路探究：取PD 中点E ，证明EN
AM .
[证明] 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE .
∵N 是PC 的中点， ∴EN 12
DC . 又∵AM
1
2
CD ，∴NE AM .
∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE . 又∵AE
平面PAD ，MN
平面PAD ，
∴MN ∥平面PAD .
利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
2．如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB
.
求证：MN ∥平面SBC .
[证明] 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ， ∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝AN
NP
，
又∵AM SM ＝DN
NB
，
∴
AM SM ＝AN
NP
，∴MN ∥SP ， 又MN 平面SBC ，SP 平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .
1．若a ∥α，b α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？
[提示] a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b . 2．如图，若a ∥b ，a α，b α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b 与β是什么关
系？
[提示] a ∥β，b ∥β.
3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？
[提示] 在平面A 1C 1内，过点P 作EF ∥B 1C 1，分别交A 1B 1，C 1D 1于E ，F .连结BE ，CF ，则
BE ，CF 和EF 就是所要画的线，如图．
【例3】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，
M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：
PA ∥GH .
思路探究：要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．
[证明] 如图，连结AC 交BD 于点O ，连结MO .
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：
线线平行――→判定定理
线面平行――→性质定理
线线平行．
运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．
3．如图所示，已知两条异面直线AB 与CD ，平面MNPQ 与AB ，CD 都平行，且点M ，N ，P ，
Q 依次在线段AC ，BC ，BD ，AD 上，求证：四边形MNPQ 是平行四边形．
[证明] ∵AB ∥平面MNPQ ，且过AB 的平面ABC 交平面MNPQ 于MN ，∴AB ∥MN . 又过AB 的平面ABD 交平面MNPQ 于PQ ， ∴AB ∥PQ ，∴MN ∥PQ . 同理可证NP ∥MQ .
故四边形MNPQ是平行四边形．
1．本节课的重点是会判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线与平面的位置关系，难点是会用直线与平面平行的判定定理和性质定理求解相关题目．2．本节课重点掌握的规律方法
(1)直线与平面位置关系的判断方法．
(2)证明直线与平面平行的方法．
3．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，bα，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，bα，则a∥b.
0 [①错，a∥α或aα；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α或aα；④错，a 与b也可能异面．]
2．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．
3 [如图，∵EF∥A1B1，
∴EF∥平面A1B1C1D1.
同理EF∥平面ABCD，
EF∥平面DD1C1C.]
3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．
1 [过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．]
4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.
求证：PQ ∥平面BCE .
[证明] 如图所示， 在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .
∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝
PE
AE
.
又∵QN ∥AB ∥CD ，
∴
QN DC ＝BQ BD ，即QN AB ＝BQ BD
. ∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ， ∴AE ＝DB .
∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴PM ＝QN . 又∵PM ∥AB ，QN ∥AB ，∴PM ∥QN . ∴四边形PQNM 为平行四边形． ∴PQ ∥MN .又∵MN 平面BCE ，PQ
平面BCE .
∴PQ ∥平面BCE .。