东南大学信号与系统课件第三章

第三章信号的时域分解
§3-1 引言
●线性系统分析方法，是将复杂信号分解为
简单信号之和（或积分），通过系统对简单
信号的响应求解系统对复杂信号的响应。

●在时域中，近代时域法将信号分解为冲激
信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷
积计算出系统对信号的响应。

●而在频域法中，我们将信号分解为一系列
正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦
信号的响应求解系统对信号的响应。

●频域在工程中也有很重要的意义。

很多信
号的特性与频域都有很重要的关系。

研究
频域可以得到很多具有实用价值的结论。

如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：
1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。

2）如何求系统对各个正弦子信号的响应，这个内容在电路分析课程中已经有详细介
绍；
3） 如何将各子信号的响应相叠加，从而合成
系统对激励信号的响应。

本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。

§3-2 信号在正交函数集中的分解
为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。

一、矢量的分解 1、矢量的定义
2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法
3、矢量的分解：
1） 矢量的单矢量基的分解：11A c 近似矢量A —
—误差尽可能小。

ε+=11A A c
从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：
1111A A A A =
c
其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。

如果
01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又
称为正交）。

2） 矢量的多矢量基分解：
将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：
∑==+++=n
i i i n n c c c c 1
2211...A A A A A
✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。

✧ 如何确定最佳的系数i c ？情况比较复杂，对于特定的i 而言，i c 不仅与特定的i A 有关，与其它的标准矢量也有关系。

但是如果矢量i A 两两正交，可以证明：
i
i i i c A A A A =
4、标准矢量基的几个限制条件：
1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交
3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量
二、信号的分解
与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。

1、单个标准信号下的分解：在时间区间),(21t t 内，用)(11t f c 近似任意函数)(t f ，并使误差
进可能小。

1） 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误
差：⎰-=21)(1)(2
1
22
t t dt t t t t εε
2） 最佳系数：
⎰
⎰=2
1
2
1)()()()(1111
t t t t dt t f t f dt
t f t f c （也称为函数
)(t f 和)(1t f 的相似系数。

3） 如果01
=c （或0)()(2
1
1=⎰t t dt t f t f ），则称)
(t f 和
)(1t f 正交。

4） 如果
)(t f 和)(1t f 是复函数，则其方均误差为：
⎰⎰⋅-=-=21
21)()(1)(1)(*122122
t t t t dt t t t t dt t t t t εεεε最佳系数为：
⎰
⎰=
2
1
2
1)()()()(*11*11
t t t t dt t f t f dt t f t f c
2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标
准信号的线性组合：
∑==+++=n
i i i n n t f c t f c t f c t f c t f 1
2211)
()(...)()()(这里的i c 同样难以确定。

但是如果标准函数)
(t f i 之间两两正交，则可以证明：
⎰
⎰=2
1
2
1)()()()(**t t i i t t i i
dt t f t f dt t f t f c
例：标准信号集：
泰勒级数
,...,...,,,,132k
x x x x ， 三角函数：
,...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1kt kt t t t t
3、对标准信号集的要求： 1）归一化：1)()(2
1*=⎰
t t i i dt t f t f 2）正交化：
0)()(2
1
*=⎰
t t j i dt t f t f ，j i ≠
3）完备性：可以用其线性组合表示任意信号。

完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。

但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。

附：矢量与函数的运算与分解比较：
§3-3 信号表示为傅利叶级数
傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。

它
在工程中有很广泛的用途。

一、三角函数形式的傅利叶级数 这种正交函数集为：
{}
,...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1t k t k t t t t ΩΩΩΩΩΩ其中：1
222t t T -==Ωπ
π
或将正交函数集表示为：
{},...2,1,0)sin(),cos(=ΩΩn t n t n
可以证明该函数集满足：
1）正交性：函数集中的函数两两相正交。

0)sin()cos(2
1=ΩΩ⎰
dt t m t n t t
n
m dt t m t n dt t m t n t t t t ≠⎪⎭⎪
⎬⎫=ΩΩ=ΩΩ⎰⎰0)sin()sin(0)cos()cos(2
12
1
2）当0≠n 时：
22)(sin )(cos 1
22
2
2
1
2
1
t t T dt t n dt t n t t t t -=
=Ω=Ω⎰
⎰
12
2
1
1t t
T dt t t -==⎰
可以将任意函数f(t)在这个正交函数集中展开
（表示成该正交函数集函数的线性组合）：
()
∑∞
+=Ω+Ω+=+Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+=1021210sin cos ...
sin ...2sin sin ...cos ...2cos cos )(n n n n n t n b t n a a t n b t b t b t n a t a t a a t f
其中的系数可以根据§3-2节的结果计算出：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠Ω-=ΩΩ=⎰⎰⎰⎰212
12121
0)(10)cos()(2)(cos )cos()(12122
t t t t t t t t n n dt t f t t n dt t n t f t t dt t n dt t n t f a ⎰⎰
⎰Ω-=ΩΩ=
2
1
21
2
1
)sin()(2)(sin )sin()(122t t t t t t n
dt t n t f t t dt t n dt
t n t f b 其中n a 的表达不太方便。

为了方便表达，将分解式改写：
()∑+∞
=Ω+Ω+=1
0sin cos 2)(n n n t n b t n a a t f
则系数为：
⎰Ω-=2
1)cos()(212t t n dt t n t f t t a ⎰Ω-=21
)sin()(212t t n dt t n t f t t b
所以，信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。

✧ 另外一种分解方式：令：
2
2
n n n b a A +=，n
n
n a b arctan -=ϕ，
则上面的分解式可以表达成：
()∑+∞
=ϕ+Ω+=1
0cos 2)(n n n t n A a t f
它可以看成是下列正交信号集：
{},...2,1,0)cos(=Ωn t n
的平移后的线性组合。

✧ 在上面的系数中，
n a 和n A 是n 的偶函数；n b 和n ϕ是n 的奇函数；——如果f(t)是实数信号。

✧ 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n 趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？ Direchlet 证明，只要满足下面三个条件，等式就收敛：
1）f(t)绝对可积，即：
∞<⎰
2
1
)(t t dt t f
2）f(t)在区间内有有限个间断点；
3）f(t)在区间内有有限个极值点。

实际信号大都满足这个条件。

✧ 等式右边是多个周期为T 的函数的和，它仍然是周期为T 的函数。

✧ 这种分解可以用在两个场合： 1）研究函数在),(21t t 区间内的分解
2）研究周期为T 的函数在整个时间区间内的分
解。

本课程中研究的是2）。

✧ 如果f(t) 周期为T 的函数,为了方便讨论，一般
函数的主值区间取⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2T T
✧ 在函数的分解中：
20a 称为信号的直流分量；
t a Ω
c o s 1、t a Ωsin 1或)cos(11ϕ+Ωt A 称为信号的基波分量；
t n a n Ωc o s 、t n a n Ωsin 或)cos(n n t n A ϕ+Ω称
为信号的n 次谐波分量；
✧ 一般情况下，n 无法计算到无穷大，只能取有限。

这时，这种正交展开是有误差的。

n 越大，误差越小。

例：方波的傅利叶级数，P97。

⎪⎩
⎪⎨
⎧<<-<
<=T t T T t t f 2
1201)( 按照定义公式，可以计算出：
0)cos()(20
=Ω=⎰T
n dt t n t f T a
⎪⎩⎪⎨⎧=Ω=⎰偶为数
当为奇数
当n n n dt t n t f T b T
n 04)sin()(20
π
()()()⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+Ω+Ω+Ω=∴......5sin 513sin 31sin 4)(t t t t f π
✧ Gibbs 现象：随n 趋向于无穷，在函数的间断点附近至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%. Gibbs 现象与Direchlet 条件并不矛盾——这牵涉到函数的“均方收敛”与“逐点收敛”的概念。

二、复指数形式的傅利叶级数
另一种常用的级数展开式是从复指数正交函数集将函数展开为：
()[]∑
+∞
-∞
=Ω⋅=
n t n j n
e c t
f )( 其中使用的正交函数集为复指数函数：
{}
,......,...,,,,132t jn t j t j t
j e e e e
ΩΩΩΩ
或者记为：
(
)
{}
I n e t n j ∈Ω
根据前面的公式，可以得到其中的系数为：
()()()⎰⎰
⎰Ω-ΩΩΩ==2
1
2
1
2
1
)(1)(*
*
t t t jn t t t jn t
jn t t t jn n
dt
e t
f T dt e e dt e t f c
复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函数形式的傅利叶级数入手：
()
()()()[]∑∑∑∞+=-+Ω--Ω∞+=+Ω-+Ω+∞
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=++=+Ω+=1)()(0101
02222
2cos 2)(n t n j n t n j n n t n j t n j n
n n n n n n n e A e A a e e A a t n A a t f ϕϕϕϕϕ
令：n n n n
A A =ϕ-=ϕ--,，可以得到：
()()∑∑-∞-=ϕ+Ω+∞=ϕ+Ω⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110222)(n t n j n n t n j n n n e A e A a t f
令：000,0a A ==ϕ
()
[]
()()[]()[]
∑∑∑∞
+-∞
=Ω∞+-∞=Ωϕ+∞
-∞
=ϕ+Ω⋅===n t n j n n t n j j n n t n j n e A e e A e A t f n n 212121)( 通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：
)sin (cos 22n n n n j n n j b a e A A
n ϕ+ϕ+==ϕ 而：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕn n n
a b arctan ——>n
n
n a b -=ϕ)tan( ——>
2
2
)cos(n
n n n b a a +=
ϕ,
2
2
)sin(n
n n n b a b +-
=ϕ
[]⎰⎰⎰⎰Ω-=Ω-Ω=Ω-Ω=-=2
1
2
1
2
121)(2)sin()cos()(2)sin()(2)cos()(2t t t jn t t t t t t n n n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a A
两种推导过程得到的答案应该相同。

对比两个系数计算公式，可以得到：
2
22n n j n n n jb a e A A c n -===ϕ
这个等式反映了n c 与n A 、n ϕ或n a 、n b 之间的关系。

例如：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=为偶数当为奇数当n n n j b j c n n 022π
✧
()
{}
I n e t n j ∈Ω表示一种复正弦信号。

其中n 可
以为正，也可以为负，这时就会出现频率Ωn 小于零的负频率。

这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。

✧ 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。

三、函数的奇偶性与其傅利叶级数关系
函数的奇偶性对于傅里叶级数的系数有一定的影响。

掌握这些性质有利于傅里叶级数系数的计算。

1、 如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只有直
流和余弦分量。

——或：偶函数之和仍然是偶函数。

2、 如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只有正
弦分量。

——或：奇函数之和仍然是奇函数。

✧ 任意的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数的和——这一点可以从傅利叶级数展开式中看到，也可以从下面的分解得到：
2
)()(2)()()()()(t f t f t f t f t f t f t f o e --+
-+=+=
✧ 信号的平移可以使函数的奇偶性改变。

3、 奇谐函数的傅利叶级数中只有奇次谐波分量。

奇谐函数的定义：满足)(2t f T t f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+的
周期为T 的函数；
4、 偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐
波分量。

偶谐函数的定义：满足)(2t f T t f =⎪⎭
⎫
⎝⎛+的周
期为T 的函数；
✧ 偶谐函数实际上是周期为2
T
的函数。

⏹ 通过函数的奇偶谐波特性，可以使我们对函数的傅利叶级数中包含的成份进行快速判断，有利于我们的计算。

四、信号的有效值和功率 1、正交分解与信号功率：
()()∑∑⎰⎰∑⎰∑⎰=-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=i
i i t t
i i t t i
i i t t i i i t t P dt t f c t t dt t f c t t dt t f c t t dt t f t t P 212121212
122
122
12212)(1)(1)(1)(1
其中：()⎰-=212
1
2)(1t t i
i i dt t f c t t P ，为正交信号分量的功率。

由此可以得到Parseval 定理：信号的功率等于信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。

● 信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。

例：利用信号傅利叶级数分解后的信号分量计算信号功率：
∑∑∑∑∞-∞
=∞=∞
==+=++==i i
i i i i i i
i c A A b a a P P 2
122012
22
024)
(214
2、信号有效值：
信号的有效值定义为与信号有着相同的功率的直流信号的大小。

其作用是方便信号功率的计算和表示。

2
0201221221211)(1f dt f t t dt t f t t t t t t =-=-⎰⎰ ——>P dt t f t t f t t =-=⎰21)(12
1
20
例：正弦信号的有效值：
[][]2
)2cos(121)cos(12121
2122120A dt t A t t dt t A t t f t t t t =Ω+-=Ω⋅-=⎰⎰
按照信号功率分解公式，有：
∑∑∑≠=
=
=i
i i
i i
i f f P P f 20
即：信号的有效值不能叠加。

例：利用信号傅利叶级数分解后的信号分量计算信号功率：
∑∑∑∑∞
=∞=∞==
+=++===0
2
02
2012
22
002
4)
(214i i
i i i i i i
i c
A A b a a P P f
§3-4 周期性信号的频谱
周期性函数可以在傅利叶级数中展开。

如果给定了各个频率分量的幅度和相位，就可以确定信号。

频谱是信号的一种图形表示方法，它将信号各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来。

它可以说明信号的特性，而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处。

频谱图有两个组成部分：
振幅频谱：表示信号含有的各个频率分量的幅度。

其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的幅度。

相位频谱：表示信号含有的各个频率分量的相位。

其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的相位。

频谱图有两种形式：
1、如果用正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：
()01
()cos 2n n n a f t A n t +∞
==+Ω+ϕ∑的傅里叶级数表达式，则振幅频谱为：
2
2n n n b a A +=
相位频谱为：
a r c t a n n
n n
b a ϕ=- 按照这种定义做出的频谱，因为只有0≥n (或0≥ω)时才有意义，做出的图只有0≥n 的一
边，所以又被称为单边频谱。

例：周期性方波的单边频谱。

0=n a ，4
0n n b n n π⎧⎪
=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数
所以：
4
0n n A n n π
⎧⎪==⎨⎪⎩当为奇数当为偶数
arctan 20n n n n b a n πϕ⎧-
⎪=-=⎨⎪
⎩当为奇数当为偶数
由此可以作出其频谱图（p_rec.m ）
在频谱图中，横坐标的表示的是谐波的次数。

更多的情况下，横坐标用各个正弦分量实际频率来表示。

单边频谱中，对于0=n (或0=ω)点上的幅度频谱，有一些与其它频率点上的不同之处：
1） 如果认为幅度频谱表示的是是信号在各
个频率上的信号分量幅度的大小，则信
号真正的直流分量应该为20A ，频谱在
0=ω上的分量的大小应该减半。

2） 如果认为幅度频谱表示的是n A 随频率
变化的规律，则幅度频谱不用变化。

2、如果用复数正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：
∑+∞-∞
=Ω=n t jn n e c t f )(的傅里叶级数表达式，则振幅为n c ，相位频谱为：)(n c ang 。

按照这种定义做出的频谱在n 大于和小于零的两边都有意义，做出的图又被称为双边频谱。

例：周期性方波的单边频谱。

220n n j n b c j n n π⎧-⎪=-=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数
由此可以作出其频谱图（p_rec1.m ）
由于对于实数信号而言，其频谱具有对称性，所以一般情况下对于双边频谱也只要作出0≥n (或0≥ω)部分就可以了。

这
样一来的频谱与单边的频谱就有些相似，
但是含义不同。

在频谱形状上，两者的相
位频谱相同，但是振幅频谱的幅度大小是
单边谱的一半。

（p_rec2.m ）
单边频谱在物理概念上容易理解，但是双边频谱对于后续的处理带来很大的好处。

所以在后面的内容中，频谱往往都是用双
边频谱。

单边频谱在0=ω上的分量的大小直接表示了信号直流分量大小，不需要特殊处
理。

这也是单边频谱的优点之一。

周期性信号的频谱有下面三个特点：
1、离散性：它有不连续的线条组成；
2、谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点
上；
3、收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向
无穷大而趋向于零。

例：周期性方波脉冲的频谱：
⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-=其它0
22)(kT t kT A t f ττ ⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ=220202sin 4ττττn Sa T A n T
A n n T n A A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ=2002sin 2ττττn Sa T A n T
A n n T n A c n 其中：()x x x Sa sin =，称为抽样函数。

根据上面的公式可以画出信号的频谱。

该例中信号的振幅频谱和相位频谱可以合二为一。

（t_rec_p.m ）
根据周期性方波的频谱，我们可以得到关于信号特性的几个一般性结论：
1、T 增加——>Sa()函数不变——>频谱的包络
不变，收敛性不变。

但是：1）谱线幅度降低；
2）谱线密度加大。

信号周期加大，对振幅的收敛性没有影响，但会使谱线密度增加。

⏹当T趋向无穷大时，信号成为非周期信号，
这时，谱线幅度降低为无穷小，谱线密度加大，信号分量出现在所有频率上。

2、 下降——>Sa()尺度扩大——>收敛性变
差，但是谱线间隔不变。

⏹信号时间宽度变小，将使信号能量向高频扩
散，信号的频带增加。

3、信号的频带：
✧由于信号的频谱的收敛性，一般可以在一个
信号分量主要集中的频率区间内研究信号的特性，而忽略信号其它部分的分量。

响应的频率区间就是信号的频带。

信号的频带有很多种定义方法：
/1为限，其它部分忽略1）以信号最大幅度的10
不计；
2）以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计；
3）以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计；
4、信号的边沿对信号频带的影响
信号的边沿变化越快，信号的频带越宽。

例：三角脉冲函数的频谱：
2
4⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=ττn Sa T A n （t_rec_p.m ）
§3-5 非周期性信号的频谱
非周期性信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。

一、从周期信号到非周期信号
——从傅利叶级数到傅利叶变换
根据周期信号傅利叶级数展开公式，其各个频率分量的幅度为： ⎰Ω-=21
)(1t t t jn n dt e t f T c 当∞→T 时，02→=ΩT
π，此时： 1） 频谱间隔趋进无穷小，信号在各个频率点上都
有信号分量——>频率取值变成连续的。

2） 在每一个频率点上的频率分量大小趋向零。

其中第二点给计算带来了麻烦，所以无法用傅利叶级数表示非周期信号。

这时，为了消除系数公
式中趋向无穷小的部分，定义：
⎰Ω-=Ω
=⋅=Ω21)()2()(t t t jn n n dt e t f c c T n F π 这时上式可以得到一个非零的值。

令∞→T ，则0→Ω，而Ωn 成为一个连续的变量，假设其表示为连续的变量ω，则可以得到傅利叶变换公式：
⎰+∞∞
--=dt e t f j F t j ωω)()( ⏹ 因为该式有“单位频带内信号幅度”的量纲，所以被称为“频谱密度函数”。

它表示信号在该频率点上的分量的相对大小，而信号在此频率点上的实际分量分量大小为零。

⏹ 与傅利叶级数一样，如果f(t)是实数函数，
)(ωj F 的幅度是ω的偶函数，)(ωj F 的相位是ω的奇函数。

二、傅利叶反变换——怎样用)(ωj F 计算f(t) ⎰∑∑∑∞+∞-Ω∞+-∞=∞→ΩΩ+∞-∞
=∞→Ω+∞-∞=∞
→=ΩΩ=Ω==ωωπ
π
ωd e j F e jn F e T jn F e c t f t j t jn n t jn n T t jn n n T )(21)(21lim )(lim lim )( 这个公式实际上也表示了将信号分解为一系列复
数三角函数的子信号之和（积分）。

这个公式也可以表达成为一个在物理上更容易理解的实数三角函数形式：
()()()[]()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞
-∞+∞
-∞+∞
-∞+∞-∞+∞-ϕ-∞+∞
-ϕ-∞+∞
-ϕ-=ϕ-+ϕ-=ϕ-+ϕ-====ωωωωπωωωωπωωωωπωωωωωωπ
ωωπ
ωωπωωπωωωωωd t j F d t j F j d t j F d t j t j F d e j F d e e j F d e j F t f t j t j j t j )(cos )(21)(sin )(2)(cos )(21)(sin )(cos )(21)(21)(21)(21)()()(
三、正反傅利叶变换
由此可以得到正反傅利叶变换公式为：
FT ：{}⎰+∞
∞--==dt e t f t f F j F t j ωω)()()( IFT ：{}⎰∞
+∞--==ωωπωωd e j F j F F t f t j )(21)()(1
)(t f 和)(ωj F 之间是一一对应的，根据其中的一个可以确定另外一个。

可以认为，它们包含
了相同的信息，只不过自变量不同，它们是相同信号的不同表达形式。

正变换将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的函数，将信号从时域变换到了频域。

所以建立在这种变换上的系统分析方法称为变换域法。

这种变换通常经过积分计算得出，所以也称为积分变换。

⏹傅利叶变换所牵涉的两个函数都是连续函数，所
以它完成的是从连续函数到连续函数的变换；
而傅利叶级数则是完成从连续函数到离散函数的变换。

⏹傅利叶变换存在的条件依然是Direchlet条件，
只不过这时考虑的时间区间为()
+∞
∞-,。

⏹这里，在频域中我们用ωj作自变量，目的是为
后面引入拉普拉斯变换打下伏笔。

四、非周期信号的频谱
这里同样可以用图的形式，在变换域中表示信号。

响应的频谱图称为信号的幅频特性曲线和相频特性曲线。

例：方波的频谱：
{}⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=⋅=2)()(ωττωτSa A t G A F j F （ rec_p.m (1) ）
五、傅利叶变换的另外几种形式：
1、将频域中的自变量从ω变成π
ω
2=f ，则：
FT ：⎰+∞∞--=dt e t f f j F ft j ππ2)()2( IFT ：
()⎰⎰∞+∞-∞+∞-==df e
f j F f d e f j F t f ft j ft j ππππππ22)2(2)2(21)( 或： FT ：⎰+∞∞
--=dt e t f f F ft j π2)()( IFT ：⎰+∞
∞-=df e f F t f ft j π2)()( 这种形式上正反傅利叶变换形式上比较对称。

但是使用时并不方便。

2、一些文献上也可以见到另一种形式的傅利叶变换公式：
FT ：{}1()()()2j t F j F f t f t e dt ωωπ
+∞--∞==⎰ IFT ：{}⎰+∞
∞--==ωωωωd e j F j F F
t f t j )()()(1 §3-6 常用信号的F.T
常用信号的FT 见P125~129表。

现在将一些结论列举如下：
1、 冲激函数： 1)(↔t δ
2、 单边指数信号：ωαεαj t e t +↔-1)(
3、 双边指数信号：222ωααα+↔-t
e
以上两个信号的FT 只在0>α时存在。

4、 门函数： )2()(ωτ
ττSa t G ⋅↔
5、 阶跃信号：ωωδπεj t 1)()(+⋅↔
6、 直流：)(21ωδπ⋅↔
阶跃信号和直流信号并不满足绝对可积条件，严格地说不存在傅里叶变换。

但是通过引入冲激函数，也可以找到其傅里叶变换的表达式，从而也可以用傅里叶变换的方法进行分析；
§3-7 周期性信号的傅利叶变换 周期信号只是一个相对的概念。

如果忽略其周期性，它应该也可以被看成是非周期信号处理，进行傅里叶变换。

但周期信号是功率信号，不满足绝对可积条件。

但是通过引入冲激函数，一样可以找到傅里叶变换。

1、 复正弦信号的傅里叶变换：
)(2c t j c e ωωδπω-⋅↔
根据这个变换以及后面要证明的傅里叶变换的线性特性，可以推导出：
[])()()cos(c c c t ωωδωωδπω-++⋅↔ [])()()sin(c c c j t ωωδωωδπω--+⋅↔
2、 周期性信号的傅里叶变换
周期性信号可以展开成傅里叶级数：
∑+∞
-∞
=Ω=
n t
jn n e c t f )(
由此可以得到周期性信号的傅里叶变换为:
∑+∞
-∞
=Ω-=
n n
n c j F )(2)(ωδπω
可见，周期性信号的傅里叶变换是一系
列间隔均匀的冲激序列。

3、 脉冲信号
)(t f （FT 为)(ωj F ）按照周期T
进行周期化后信号
)(t f T 的FT ：
（这里假设周期化后各个脉冲没有重叠） f(t)周期化后可以表示成为傅利叶级数：
()[]∑
+∞
-∞
=Ω⋅=
n t n j n
T e c t f )( 所以：
[]∑+∞
-∞
=Ω-↔n n T n c t f )(2)(ωδπ
其中：
T
jn F dt e t f T dt e t f T c t
jn T
T t jn T n )()(1)(122
Ω=
==⎰⎰∞+∞-Ω--Ω-所以：
[]
[]
∑∑∞
+-∞
=+∞
-∞
=Ω-ΩΩ=Ω-Ω↔
n n T n jn F n jn F T
t f )()()()(2)(ωδωδπ
通过查表，可以很方便地得到： 1）非周期信号的FT 2）周期信号的FT 3）周期信号的傅利叶级数
对照傅利叶级数和傅利叶变换的定义，可以得
到： )(1
Ω=jn F T
c n
4、 均匀冲激序列：∑+∞
-∞
=Ω-Ω↔n T n t )()(ωδδ
⏹ 引入奇异函数后，很多原来不存在FT 的函数也可以有FT ——我们称之为广义傅利叶变换。

⏹ 如果函数的FT 在0=ω处有冲激，则说明函数存在直流分量；如果函数的FT 在c ωω=处有冲激，则说明函数存在频率为c ω的（复）正弦分量；
§3-8 傅利叶变换的性质
1、线性特性：
)()()()(2121ωωj F b j F a t f b t f a ⋅+⋅↔⋅+⋅
2、延时特性：
0)()(0t j e j F t t f ωω-↔-
3、移频特性：
[])()(c t j j F e t f c ωωω-↔
移频特性与延时特性互成对偶。

推论：
[][]{}
)()(2
1
)cos()(c c c j F j F t t f ωωωωω-++↔例：AM 波调制。

4、尺度变换：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡↔a j F a at f ω1)(
⏹ 信号的宽度τ沿时间轴压缩a 倍，信号的频率宽度B 沿频率轴扩展a 倍。

脉冲信号的宽度τ和频带宽度B 的乘积等于常数。

⏹ 数据传输中总希望信号的脉冲宽度尽可能小，占用的信号频带同时也尽可能小。

但从该性质可以看出，信号脉冲宽度的频带宽度是一对矛盾。

5、奇偶虚实性 假设：
()())
()()()(sin )(cos )()()(ωωωωωωωωϕ-∞
-∞
-∞-∞
--∞
∞
--=-=-==⎰⎰⎰j t j e j F jX R dt
t t f j dt t t f dt
e t
f j F
其中：
()⎰-∞
∞
-=dt t t f R ωωcos )()(，为)(ωj F 的实部；
()⎰-∞
∞
-=dt t t f X ωωsin )()(，为)(ωj F 的虚部；
)(ωj F ，为)(ωj F 的幅度；
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=ϕ)()(arctan )(ωωωR X ，为)(ωj F 的相角；
1）a 、
)()(ωj F t f -↔-
b 、
)()(**ωj F t f -↔
c 、
)()(*
*ωj F t f ↔- 2）如果信号f(t)是实数信号，则：
a 、)(ωR 是ω的偶函数；)(ωX 是ω的奇函数； 或：)()(*
ωωj F j F -=
b 、)(ωj F 是ω的偶函数；)(ωϕ是ω的奇函数；
3）如果
)(t f 是实偶函数，则)(ωj F 也是实偶函数； 如果)(t f 是实奇函数，则)(ωj F 是虚奇函
数； 4）思考：如果)(t f 是虚函数，情况怎样？
6、对称特性 如果)()(ωj F t f ↔，则：)(2)(ωπ-↔f jt F
7、微分特性
如果)(t f dt d
存在并且满足Direchlet 条件，则： )()(ωωj F j t f dt
d
↔ 推广：())()(ωωj F j t f dt
d n
n
n ↔
8、积分特性
)(1
)()0()(ωωωδπττj F j F d f t
+↔⎰∞-
如果0)0(=F ，或ω
ωω)
(l i m 0
F →存在且有限，则上式
可以简化为：
)(1
)(ωωττj F j d f t
↔⎰∞-
9、频域微积分
)()(ωω
j F d d
t jtf ↔-
⎰∞-ΩΩ↔+ωδπd j F t
t f j t f )()
()()0(
⎰∞-ΩΩ↔⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+ωπδd j F t f t j t )()(1)(
或：
())()(ωω
j F d d t f jt n n
n
↔-
⎰⎰∞-Ω∞-ΩΩΩ↔⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+ωπδn
n
d d j F t f t j t ...)(...)(1)(211
10、 卷积定理
)()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔
)(*)(21
)()(2121ωωπ
j F j F t f t f ↔
利用这十个性质，结合傅利叶变换表，可以求解很多工程上的信号的傅利叶变换。

§3-9 能量频谱与功率频谱
能量频谱和功率频谱从能量或功率的角度研究信号在各个频率分量上的能量或功率，以频谱的形式表达出。

这种频谱对确定性信号意义不大，对于随机信号有很大意义。

但为了方便讨论，这里我们从确定性信号的角度进行研究。

一、周期性信号的功率谱
周期性信号的能量无穷大，无法从能量上进
行研究。

但是它的功率有限，可以从功率上进行研究。

1、周期性信号的功率谱：
将周期性信号在各个频率上的分量的功率大小用图的方法表示出。

横坐标：频率；纵坐标：信号分量的功率。

⏹ 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）频
率上子信号功率2
2
1n A =。

直流信号的功率为
204
1A = ⏹ 对于双边功率谱，在每个频率点上子信号功率
2
2
2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==n n
A c ⏹ 功率谱只有大小（幅度），没有相位。

2、Parseval 定理：
周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。

二、能量信号（脉冲信号）的能量谱 1、能量谱
1） 能量信号的功率为零，能量为有限，只可以从
能量角度研究其分布；
2） 信号在各个频谱上的实际分量大小为无穷小，
只能用能量密度谱描述)(ωG 描述单位频带内的信号能量。

信号总能量：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞
+∞-∞
+∞
-+∞
∞
-+∞∞
-=====ωωπ
ωωπ
ωωπωωωdtd e t f j F dtd e t f j F dt d e j F t f dt
t f t f dt t f W t
j t
j t j )()(21)()(21)(21)()()()(***
*2 ⎰⎰
⎰⎰⎰∞
+∞
+∞
-∞
+∞
-∞+∞-∞
+∞--=
==⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0
2
2
**
)(1
)(21)()(21)()(21ω
ωπωωπ
ωωωπωωπωd j F d j F d j F j F d dt e t f j F t j
由此定义单位频带内信号的
（1）双边能量谱为：2)(21)(ωπ
ωj F G =
（2）如果信号是实数信号，则还可以得到其单边
能量谱为：2
)(1
)(ωπ
ωj F G =
“单位频带”指的是什么频率：
a 、 一般情况下指角频率ω
b 、 也可以用一般频率f （单位Hz ）
此时：⎰+∞
∞-=df f j F W 2
)2(π 由此可以得到双边能量谱：2
)2()(f j F f G π=
和单边能量谱：2
)2(2)(f j F f G π= 能量谱同样只有大小（幅度），没有相位 2、Rayleigh 定理：
⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞
-∞
+∞-===df f j F d j F dt t f W 222
)2()(21)(πωωπ⎰⎰⎰∞+∞+∞+∞
-===0
2
022)2(2)(1)(df
f j F d j F dt t f W πωωπ
即：信号在时域和频域的能量相等
三、脉冲信号的脉冲宽度和频带宽度
对于一般的信号，可以通过其频谱密度函数或功率谱函数定义其频带宽度，其定义方法与§3.4节中讨论的相似。

1、脉冲宽度：脉冲的绝大部分能量集中的时间区
间τ
W dt t f t t ητ
=⎰
+00
2
)(
2、频带宽度：脉冲的绝大部分能量集中的频率区
间
W d j F B ηωωπωω=⎰+002
)(1 3、对于一种脉冲而言，常数=⋅B τ (t_rec.m)。