新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(答案解析)(1)

一、填空题
1．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某
一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．
2．若椭圆C ：22
184
x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：320x y -+=交于P ，Q 两点，
则PQF △的周长为_______________.
3．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点，A 为椭
圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与
y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为
___________.
4．已知动圆Q 与圆()
2
21:49C x y +
+=外切，与圆()2
22:49C x y +-=内切，则动圆
圆心Q 的轨迹方程为__________．
5．设12,F F 分别是椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为
()6,4，则1PM PF +的最大值为________．
6．已知A B 、为椭圆22
14
x y +=和双曲线2214x y -=的公共顶点， P Q 、分别为双曲线和
椭圆上不同于两点A B 、的动点，且有()(),||1PA PB QA QB
R λλλ+=+∈>，设直线
AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则1234 k k k k +++=______．
7．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.
8．已知点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，
已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.
9．如图所示，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C
的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双
曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.
11．已知1F ､2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为
坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.
12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆
C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．
13．已知P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=
时，则12PF F △的面积为________．
二、解答题
14．已知()()()22
:3400,q :112x y p m a m a a m m
--<>+=--．
（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；
（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值
范围．
15．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M .且它们的斜率之积是3. （1）求点M 的轨迹C 的方程.
（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由.
16．在①01PF x =+，②0022y x ==，③PF x ⊥轴时，2PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．
问题：已知抛物线2
:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且
______，
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若直线:20l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积．
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()2
2:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．
（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P 满足PA ，求PAF ∠的大小． 18．已知抛物线1C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线1C 交于A ，
B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=且弦AB 的中点到准线的距离为4．
（1）求曲线1C 的方程；
（24的椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又椭圆2
C 与过点()1,0Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知4
5
MON
S =
，O 为坐标原点，求直线l '的方程．
19．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离
为10．
（1）求椭圆C 的方程;
（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．
20．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a >b >0)， 直线0x +-=经过椭圆的上顶点和右焦
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB ，求直线l 的方程.
21．如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交
于A 、B 两点.
（1）若0
1260AF F ∠=，且 120
AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b =
=，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.
22．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为32，点32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；
（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．
23．已知P 是圆22:4O x y +=上一动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足
1
2
DM DP =
． （1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）若点2,)N t 在曲线C 上，求12F NF △的面积．
24．已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心
与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且
4
||||3
CD AB =
. （1）求1C 的离心率；
（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，求1C 与2C 的标准方程.
25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，且经过点61)22.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心．．
？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）
26．已知曲线()()2
22240.a x by b a b R Γ--+-=∈：
，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点
坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；
②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；
③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.
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一、填空题
1．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几
解析：13
【分析】
设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】
取PQ 的中点为B ，因为0
60PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设
OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，
所以23231313PQ m b
k c a e a
=
==⇒=⇒=. 故答案为：13.
【点睛】
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和c
e a
=
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
2．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想 解析：82
【分析】
求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】
由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-， 所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，
PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，
故答案为：2 【点睛】
方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.
3．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简
解析：1
3
【分析】
根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】
由题意，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且
(,0)A a ，
因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()t
y x a c a
=
--，
令0x =，可得at
y a c
=
-， 所以直线AM 与y 轴的交点为1
(0,),(0,)2
at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以1
32
at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13
c e a ==. 故答案为：13
. 【点睛】
求解椭圆的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
4．【分析】根据题意和双曲线的定义得到动圆圆心Q 的轨迹是以为焦点的双曲线的上支求得的值即可求得轨迹方程【详解】设动圆Q 的半径为因为动圆Q 与圆外切与圆内切可得所以由双曲线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹是以为焦
解析：22
1(0)97
y x y -=>
【分析】
根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，求得,,a b c 的值，即可求得轨迹方程. 【详解】
设动圆Q 的半径为R ， 因为动圆Q 与圆()
2
21:49C x y +
+=外切，与圆()2
22:49C x y +-=内切，
可得123,3QC R QC R =+=-，所以121268QC QC C C -=<=， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支， 其中26,28a c ==，解得3,4a c ==， 又由2221697b c a =-=-=，
所以动圆圆心Q 的轨迹方程为22
1(0)97y x y -=>.
故答案为：22
1(0)97
y x y -=>.
【点睛】
求曲线的轨迹方程的常用方法：
直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系式或0(),F x y =，直接化简求解； 待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释；
定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法；
代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，将00,x y 代入已知曲线求解.
5．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思
解析：15 【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】
由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，
()
1222||||210||101015
PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，
则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．0【分析】可根据题的已知条件设利用斜率公式得到；同理可得结合三点共线即可得出的值【详解】由题意可知三点共线设点在双曲线上则所以①又由点在椭圆上则同理可得②三点共线由①②得故答案为：0【点睛】本题考查
解析：0 【分析】
可根据题的已知条件，设()11,P x y 、()22,Q x y ，利用斜率公式得到1
121
2x k k y +=； 同理可得2
342
2x k k y +=-
， 结合O P Q 、、三点共线即可得出1234k k k k +++的值． 【详解】
由题意，()(),||1PA PB QA QB R λλλ+=+∈>
可知O P Q 、、三点共线．
()2,0A -、()2,0B
设()11,P x y 、()22,Q x y ，
点P 在双曲线2
214
x y -=上，
则2
2
1144x y -=． 所以1111111122211111
2222442y y x y x y x
k k x x x y y +=
+===+--① 又由点Q 在椭圆2
214
x y +=上，
则2
2
2242x y -=-． 同理可得2
342
2x k k y +=-
② O P Q 、、三点共线．
12
12
x x y y ∴
=． 由①、②得12340k k k k +++=． 故答案为：0 【点睛】
本题考查运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想．
主要思路为结合曲线与点的位置关系、向量关系式，根据斜率公式，列相关关系式化简求解.
7．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6
【分析】
根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断
MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当
,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果
【详解】
解：M 是抛物线2
4y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =，
所以||||MA MF MA MN +=+，
因为点A 在圆C 上，圆2
2
:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6
【点睛】
关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题
8．【解析】设由余弦定理知所以故填 13 【解析】
设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22
(2)13c x =，所以
13c a =
13
9．【分析】利用双曲线的性质推出通过解三角形求出的关系再根据即可得到的关系从而得到渐近线方程【详解】解：双曲线的右焦点为双曲线的右支上一点它关于原点的对称点为满足且设左焦点为连接由对称性可得可得所以所以 解析：6
2
y x =±
【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据
222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程．
【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、
1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，
||3BF a =，
190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，
2
2
25c a =，又222
c a b =+，所以2232
b a
=，所以6b a =，故渐近线为6
2y x =± 故答案为：6
y x =±
．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
10．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查 21 【分析】
设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得
14QF a m a
⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得222
52
43a c a -=，进而得答案. 【详解】
解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，
∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m a
QF a m a
QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩，
此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：
222
22211
12116992
cos 22433
QF PQ PF a a a FQF QF PQ
a a +-+-∠=
==⨯⨯
2
2
2
22222
1212
122
12
16445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a +-+--∠=
==
⨯⨯； 所以222
5243
a c a -=，即22
37c a =，故2273c a =， 所以21
3
c e a =
=
． 故答案为：21
. 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
11．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系 解析：31-
【分析】
根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到
,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】
如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，
所以2
2
2
12122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =， 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=， 即
3131
c
a ，所以31e =-.
故答案为：31-.
【点睛】
本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.
12．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考
【分析】
由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】
由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有
()
()2
2
2+2++x d x x d =，解得3x d =；
由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，
21BF a BF ==；
在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2
e =．
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.
13．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题
【分析】
由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】 解：如图，
由椭圆2
214
x y +=，得2a =，1b =，
则24a =，223c a b =-=
1224PF PF a ∴+==，
由余弦定理可得：2
22
12
12122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，
()
2
212
1243c PF PF PF PF ∴=+-，
即1243
PF PF =
． 12F PF ∴的面积1211433sin 6022323
S PF PF =︒=⨯⨯=．
故答案为：33
． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，
二、解答题
14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】
（1）由()()120m m --<，
得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞
（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．
命题q ∶
22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，
则102021
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩
，解得312m <<，
因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，
则31
342a a ≥⎧⎪
⎨≤⎪⎩
，解得1338a ≤≤，
故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
15．（1）22
1(2)412
x y x -=≠±；（2）不能，理由见解析.
【分析】
（1）设出点(),M x y ，利用斜率之积即可求出轨迹方程； （2）设出()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法可求出. 【详解】
（1）设(),M x y ，2x ≠±，
02AM y k x -=
+，0
2
BM y k x -=-， 3AM BM k k ⋅=，即
00
322
y y x x --⋅=+-， 整理得：()2
2
3122x y x -=≠±，
即轨迹C 方程为：22
1(2)412
x y x -=≠±；
（2）显然直线m 的斜率存在，设为k ，
设()()1122,,,P x y Q x y ，
则22
1122
2214121
412
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得()()()()121212120412x x x x y y y y -+-+-=，
整理可得
12121212
3y y x x
x x y y -+=⨯-+， N 是线段PQ 的中点，∴
12124
326
y y x x -=⨯=-，即2k =， 故直线m 的方程为()322y x -=-，即210x y --=，
将直线代入双曲线可得24130x x -+=，()2
44130∆=--⨯<，此时直线与双曲线不相交.
故不能作出这样的直线. 【点睛】
方法点睛：解决中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
16．（1）任选一个条件，抛物线方程都为24y x =；（2
） 【分析】
（1）选①：由抛物线的性质可得02
p
PF x =+，即可求出p ；选②：由题将点P 代入抛物线即可求出p ；选③：由题可得222
p p
PF p =
+==； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积. 【详解】
解：（1）若选①：
由抛物线的性质可得02
p PF x =+ 因为01PF x =+，所以0012
p
x x +
=+，解得2p =． 故抛物线C 的标准方程为2
4y x =． 若选②：
因为0022y x ==所以002,1y x ==，
因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2
002y px =，
即24p =，解得2p =， 故抛物线C 的标准方程为2
4y x =． 若选③：
因为PF x ⊥轴，所以22
p p
PF p =
+=，
因为2PF =，所以2p =． 故抛物线C 的标准方程为2
4y x =．
（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）可知(1,0)F ． 联立2
204x y y x
--=⎧⎨
=⎩，整理得2
480y y --=，
则1212124,8,y y y y y y +==--=
==
故12AB y y =-==
因为点F 到直线l 的距离d =
=
，
所以ABF 的面积为11222
AB d ⋅=⨯= 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
17．（1）28y x =；（2）π
4
PAF ∠=． 【分析】
（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】
解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ． 由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ． 方法一：
点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为2
8y x =． 方法二：
因为
1MF r ==+，1x r +=，1x >-，
2x =+，化简得2
8y x =，
故曲线C 的方程为2
8y x =．
（2）方法一：设()00,P x y
，由PA ，
得()()2222
0000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦
，
又2
008y x =，解得02x =，故()42,P ±，
所以1PA k =±，从而π4
PAF ∠=
． 方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ． 由抛物线定义知，
PQ PF =，所以PA =，
在APQ 中，因为π2
PQA ∠=
， 所以sin 2
PQ QAP PA ∠==
， 从而π4QAP ∠=，故π4
PAF ∠=． 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 18．（1）24y x =（2）10x y ±+=． 【分析】
（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得p 的值即可确定曲线方程；
（2）首先确定曲线2C 的方程，设直线l '的方程为1x my =-，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定直线方程． 【详解】 （1）由已知得(
,0)2p F ，设直线l 的方程为2
p
y x =-， ∴22
230242p y x p x px y px
⎧
=-⎪⇒-+
=⎨⎪=⎩， 123x x p ∴+=，
又因为126x x +=， 所以2p =，
∴曲线1C 的方程为24y x =．
（2）由已知得2a =
，c =
1b ∴=，
∴曲线2C 的方程为2214
x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，
则2
2221
(4)2304
1x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩
， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，3434
2223
,44
m y y y y m m +=
=-⋅++，
∴3411||22OMN
S y y =⨯⨯-==△， 因为4
5
MON
S
=
所以42471101m m m +-=⇒=±，
∴直线l '的方程为10x y ±+=．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m ,求出直线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
19．（1）2211612
x y +=；（2
【分析】
（1）由题得2c =，2
10a c c
+=，联解可得.
（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.
【详解】
解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F
2c ∴=，2
10a c c
+=，
216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=
∴椭圆C 的方程为22
11612
x y +=
（2）:2AB y x =-
2
2
211612
y x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y
1212127367y y y y ⎧
+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-
⎪⎩
127
y y ∴-=
=
△AOB
的面积121122277
S OF y y =-=⨯⨯=
【点睛】
直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.
20．（1）2
214
x y +=
；（2）0x y --
=或0x y +
=
或20x -
-=
或
20x -=.
【分析】
（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a 、b 的值，进而可求出椭圆C 的方程；
（2）设直线
l 的方程为x my =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出OAB 的面积为121
2
OAB
S
OF y y =
⋅-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，将韦达定理代入OAB 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．
【详解】
（1
）由0x -=，令0x =可得1y =；令0
y =可得x =
因为直线0x +-=
经过椭圆的上顶点和右焦点， 所以半焦距为c =
1
b =，因此2a ==，
所以，椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2
）由（1）可得)
2F
，
设过)
2
F 的直线方程为x my =，
由22
14
x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得(
)22410m y ++-=， 显然22124164280m m ∆=++=+>. 设12(,)A x x ，12(,)B x x
，则12y y +=，12214y y m -=+，
从而1224y y m -=+.
所以121122OAB
S
OF y y =⋅-==，解得1m =±
或m = 所以直线l
的方程为0x y -=
或0x y +=
，20x --=
或
20x -=.
【点睛】 思路点睛：
求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.
21．（1
1；（2）最大值7
2
；最小值1-. 【分析】
（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120
AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=
，所以12,AF c AF ==
，所以
1212212F F c c e a a AF AF =
====+， （2
）若1a b =
=，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B
两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定
理得2122
412k x x k
+=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=
2227179
1222(12)
k k k -=-++，进而可求出其取值范围 【详解】 （1）
120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥
因为1260AF F ∠=。

所以2130AF F ∠=︒，
所以12,AF c AF ==，
所以1212212F F c c e a a AF AF =
====+ （2
）由于1a b =
=，得1c =，则12(1,0),(1,0)F F -.
①若AB 垂直于x
轴，则((1,A B --， 所以222(2,
),(2,)22
F A F B =-=--， 所以2217
422
F A F B ⋅=-
= ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+
由22
(1)
220
y k x x y =+⎧⎨+-=⎩ 得 2222(12)42(1)0k x k x k +++-= 2880k ∆=+>，∴方程有两个不等的实数根.
设11(,)A x y ，22(,)B x y .2122
412k x x k
+=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+ 211222(1,),(1,)F A x y F B x y ∴=-=-
22212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)
F A F B x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++
222
22
22
2(1)4(1)(1)()11212k k k k k k k
-=++--++++ =22271791222(12)k k k -=-++
222
1
0,121,0112k k k
≥+≥<
≤+ 227[1,]2F A F B ∴⋅∈-，所以当直线l 垂于x 轴时，22F A F B ⋅取得最大值7
2
当直线l 与x 轴重合时，22F A F B ⋅取得最小值1- 【点睛】
关键点点睛：此题考查由焦点三角形三边关系求椭圆方程，考查椭圆与向量相结合求最值
问题，解题的关键是将利用韦达定理求出2122
412k x x k +=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+，然后将
22F A F B ⋅用含k 的式子表示出来，即22F A F B ⋅=
2227179
1222(12)
k k k -=-++，再利用不等式的性质可求出其取值范围，考查计算能力，属于中档题
22．（1）2
214
y x +=；（2）12.
【分析】
（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；
（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】
（1
）因为c a =
2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
在椭圆上，所以222
22
1
314c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，所以2241a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆方程为：2
214
y x +=；
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB 的斜率存在，故
设直线:AB y kx =-
因为()112121111
22
F AB
S
F F x x F A F B AB R =
⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==
，122F F c ==
124x x R -=
R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，
又22
44
y kx x y ⎧=-⎪⎨
+=⎪⎩，所以(
)22
410k x +--=
，所以121221
4
x x x x k +=
=-+， 所以
12244
x x k -=
=
=+，
所以
1243+3x x -==
≤
=
，
=
，即k =
所以1
2
R =≤=，所以内切圆的半径最大值为12.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合1
2
⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为
1212AB x x ⋅⋅-或121
2
EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()1
2
a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）.
23．（1）2214x y +=；（2 【分析】
（1）设(),M x y ，利用已知条件得到(),2P x y ，代入圆的方程整理即可得出结果；
（2）由（1）得12F F =)N t 在曲线C 上，可得2
t =，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】
（1）设(),M x y ，则(),0D x ， 由1
2
DM DP =
， 知(),2P x y ，
因为点P 在圆2
2
4x y +=上， 所以2
2
44x y +=，
故动点M 的轨迹C 的方程为2
214x y +=；
（2）由（1）得曲线C 的方程为：2
214
x y +=，
得122F F c ====
又点)N t 在曲线C 上，
得
22142
t t +=⇒=
，
所以12
121122F NF S F F t =
=⨯=
所以12F NF △ 【点睛】
方法总结：求点的轨迹方程的方法：
（1）定义法；（2）直接法；（3）代入法；（4）参数法.
24．（1）12；（2）1C 的标准方程为22
143
x y +=，2C 的标准方程为24y x =.
【分析】
（1）设椭圆1C 的右焦点为(c,0)F ，其中c 物线2C 的方程为：2
4y cx =，分别将x c =代入椭圆和抛物线方程可求出||AB 和||
CD 的长度，利用4
||||3
CD AB =
得到关于,,a b c 的等量关系，根据离心率公式可得解；
（2）根据1C 的离心率得到2a c =，b =，求出2C 的准线方程为：x c =-，根据1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6列方程解得,,a b c ，从而可得1C 与2C 的标准方程. 【详解】
（1）因为椭圆1C 的右焦点为(c,0)F ，其中c = 所以抛物线2C 的方程为：2
4y cx =
由于椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=
将x c =代入椭圆1C 的方程，得42
2b y a =，所以2 b y a =±，因此2
2||b
AB a
=；
将当x c =代入2C 的方程，得2y c =±，所以||4CD c =，
由4||||3CD AB =得，2843b c a
=，即22
32()ac a c =-，
即2
322c c a a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭
，所以22320e e +-=，解得12e =或2e =-(舍去)
所以1C 的离心率为1
2
（2）由（1）知1
2
c e a =
=，所以2a c =，b =，故2C 的准线方程为：x c =-. 因为1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，所以226a c +=， 解得1c =，2a =.
所以1C 的标准方程为22
143
x y +=，2C 的标准方程为24y x =.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中。