中考数学一轮复习第五章 相交线与平行线知识点-+典型题及答案

中考数学一轮复习第五章 相交线与平行线知识点-+典型题及答案
一、选择题
1．（2017•十堰）如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于F ，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
2．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A ．14°
B ．15°
C ．16°
D ．17° 3．如果A ∠与B 的两边分别平行，A ∠比B 的3倍少36，则A ∠的度数是( )
A ．18
B ．126
C ．18或126
D ．以上都不对 4．一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（ ） A ．先右转30，后左转60︒
B ．先右转30后左转60︒
C ．先右转30后左转150︒
D ．先右转30，后左转30 5．如图a 是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则
图c 中的∠CFE 的度数是（ ）
A ．102°
B ．108°
C ．124°
D ．128°
6．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A ．一对邻补角的平分线互相垂直
B ．一对同位角的平分线互相平行
C ．一对内错角的平分线互相平行
D ．一对同旁内角的平分线互相平行
7．在同一平面内，有3条直线a ，b ，c ，其中直线a 与直线b 相交，直线a 与直线c 平行，那么b 与c 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．不能确定
8．如图，1∠与2∠是同位角的共有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
⊥于点B，在直线l上取一点C，连接9．如图，A是直线l外一点，过点A作AB l
=，P在线段BC上，连接AP．若3
AC AB
AC，使2
AB=，则线段AP的长不可能是（）
A．4B．5C．2D．5.5
10．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：
④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（）
A．①②B．②④C．②③D．②③④
二、填空题
11．如图，在平面内，两条直线1l，2l相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分
p q为点M的“距离坐标”．根据上述规定，
别是点M到直线1l，2l的距离，则称(,)
“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
12．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为____________．
13．如果1∠的两边分别平行于2∠的两边，且1∠比2∠的2倍少30，则
1∠=________．
14．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．
15．已知∠ABC=70︒，点D 为BC 边上一点，过点D 作DP//AB ，若∠PBD=12∠ABC ，则∠DPB=_____︒.
16．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠DFB ＝
12
∠CGE ；③∠ADC ＝∠GCD ；④CA 平分∠BCG ．其中正确的结论是_______．
17．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A ，B ，C 三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE ∥CD )，若∠A =120°，∠B =150°,则∠C 的度数是________
18．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少40°，则∠B ＝_____度．
19．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．
三、解答题
21．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．
彤彤是这样做的：
过点E 作EF //AB ，
则有∠BEF ＝∠B ．
∵AB //CD ，
∴EF //CD ．
∴∠FED ＝∠D ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
即∠BED ＝∠B +∠D ．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； （2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
22．()1如图1，//,40,130AB CD AEP PFD ∠=︒∠=︒．求EPF ∠的度数．
小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：
如图1，过点P 作//,PM AB
140AEP ∴∠=∠=︒（ ）
//,AB CD (已知)
//,PM CD ∴（ ）
2180PFD ∴∠+∠=．（ ）
130,PFD ∠=︒
218013050∴∠=︒-︒=．
12405090∴∠+∠=︒+︒=．
即90EPF ∠=．
()2如图2，//,AB CD 点P 在,AB CD 外，问,,PEA PFC P ∠∠∠之间有何数量关系．请说明理由；
()3如图3所示，在()2的条件下，已知,P a PEA ∠=∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点,G 用含有a 的式子表示G ∠的度数是 ____．(直接写出答案，不需要写出过程)
23．如图，直线MN ∥GH ，直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点，直线l 2分别交直线MN 、GH 于C 、D 两点，且直线l 1、l 2交于点E ，点P 是直线l 2上不同于C 、D 、E 点的动点．
（1）如图①，当点P 在线段CE 上时，请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系： ；
（2）如图②，当点P 在线段DE 上时，（1）中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 ．
24．已知，90AOB ︒∠=，点C 在射线OA 上，//CD OE ．
（1）如图 1，若120OCD ︒∠=，求∠BOE 的度数；
（2）把“90AOB ︒∠=°”改为“120AOB ︒∠=”，射线OE 沿射线OB 平移，得到O E '，其它条件不变（如 图 2 所示），探究,OCD BO E '∠∠ 的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO OB '⊥，垂足为O ' ，与OCD ∠ 的角平分线CP 交于点P ，若BO E α'∠= ， 用含 α 的式子表示CPO '∠（直接写出答案）．
25．（1）①如图1，//AB CD ，则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ；
②如图2，//AB CD ，则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ；
（2）①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3)．证明：
123BPD ∠=∠+∠+∠
②将图2中AB 绕点A 顺时针旋转一定角度交CD 于H (如图4)证明：
360E C CHA A ∠+∠+∠+∠=︒
（3）利用（2）中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=
26．如图，已知直线//AB CD ，,M N 分别是直线,AB CD 上的点.
（1）在图1中，判断,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系（不需要证明）； （3）在图3中，MB 平分EMF ∠，NE 平分DNF ∠，且2180F E ∠+∠=，求FME ∠的度数.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：由AB ∥DE ，∠CDE=40°，
∴∠B=∠CDE=40°，
又∵FG ⊥BC ，
∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
考点：平行线的性质
2．C
解析：C
【分析】
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出
∠1=∠EBC=16°．
【详解】
如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
【点睛】
考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．C
解析：C
【分析】
由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补．
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°．
所以∠A=18°或126°．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．
4．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质分别判断即可．
【详解】
解：因为两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，
所以两边拐弯的方向相反，形成的角是同位角，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，
∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
6．D
解析：D
【解析】试题分析：A、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故
本选项正确；
B 、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；
C 、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；
D 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误； 故选：D ．
7．B
解析：B
【分析】
根据a ∥c ，a 与b 相交，可知c 与b 相交，如果c 与b 不相交，则c 与b 平行，故b 与a 平行，与题目中的b 与a 相交矛盾，从而可以解答本题．
【详解】
解：假设b ∥c ，
∵a ∥c ，
∴a ∥b ，
而已知a 与b 相交于点O ，
故假设b ∥c 不成立，
故b 与c 相交，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
8．B
解析：B
【分析】
根据同位角的概念对每个图形一一判断，选出正确答案即可．
【详解】
图1：1∠与2∠是同位角；
图2：1∠与2∠不是同位角；
图3：1∠与2∠不是同位角；
图4：1∠与2∠是同位角；
只有图1、图4中1∠与2∠是同位角．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查同位角的概念，熟记同位角的概念是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．
【详解】
3AB =，
26AC AB cm ∴==，
结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：①∵∠1＝∠2，
∴AB ∥CD ，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴BC ∥AD ，符合题意；
③∵AB ∥CD ，
∴∠B+∠BCD ＝180°，
∵∠ADC ＝∠B ，
∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，
∴∠B+∠BCD ＝180°，
∵∠BCD ＝∠BAD ，
∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； 故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
二、填空题
11．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；同理，点M在与2l的距离是1的点，在与2l平行，且到2l的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
12．68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，
∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．
13．或
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两
解析：30或110
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
14．互相垂直．
【解析】
【分析】
依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：，，，
，
按此规律，，
又，，
，
以此类推，
，
，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要
解析：互相垂直．
【解析】
【分析】
依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，
14a a ∴⊥，
按此规律，58a a ⊥，
又45a a ⊥，⋯，
18a a ∴⊥，
以此类推，14n a a ⊥
100425=⨯，
1100a a ∴⊥，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 15．35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P 在∠ABC 的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.
详解：如图，当P 点在∠ABC 的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=∠ABC，∠A
解析：35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70︒
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=35°.
当点P在∠ABC的外部时，
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70︒
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC+∠DPB=105°
∵PD∥AB
∴∠DPB+∠ABP=180°
∴∠DPB=75°.
故答案为：35或75.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是明确P点的位置，分两种情况进行求解. 16．①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴
解析：①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2
（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，则②
正确；
③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误.
故答案为①②③.
17．150°
【解析】
如图，过点B作BG∥AE，
因为AE∥CD，所以AE∥BG∥CD.
所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.
因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=
解析：150°
【解析】
如图，过点B作BG∥AE，
因为AE∥CD，所以AE∥BG∥CD.
所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.
因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=30°.
所以∠C=180°-30°=150°，故答案为150°.
18．55或20
【分析】
根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，求出∠A＝3∠B﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B＝180
解析：55或20
【分析】
根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，求出∠A＝3∠B﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，
∵∠A比∠B的3倍少40°，
∴∠A＝3∠B﹣40°③，
把③代入①得：3∠B﹣40°+∠B＝180°，
∠B＝55°，
把③代入②得：3∠B﹣40°＝∠B，
∠B＝20°，
故答案为：55或20．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B或∠A＋∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．
19．（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18
解析：（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：
∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，
∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵，，
∴，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵，
∴∠2
解析：55︒
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵//a b ，135∠=︒，
∴335∠=︒，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵////a b c ，
∴∠2=∠4=55°.
故答案为：55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．（1）65°；（2）
11 180
22
αβ︒-+
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=30°，∠EDC=
1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA =12∠ABC =12α，∠EDC =12∠ADC =12
β， ∴∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC =180°﹣1
2α +
12β． 答：∠BED 的度数为180°﹣12α +
12
β． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
22．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）,PFC PEA P ∠=∠+∠理由见解析；（3）1.2
G α∠=
【分析】
（1）根据平行线的性质与判断，即可解答．
（2）过P 点作PN//AB ，则PN//CD ，根据平行线的性质得出∠PEA=∠NPE ，进而得到∠FPN=∠PFC ；
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF EF 如图3，在△GFE 中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P ，得到∠PEA=∠PFC −α，即可解答.
【详解】
解：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）PFC PEA P ∠=∠+∠
理由如下：过点P 作//PN AB ，则//PN CD
∴PEA NPE ∠=∠
∵FPN NPE FPE ∠=∠+∠
∴FPN ∠=PEA FPE ∠+∠
∵//PN CD
∴F FPN P C ∠=∠
∴PFC PEA FPE ∠=∠+∠
即PFC PEA P ∠=∠+∠.
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF 如图3，在GFE 中，
180()G GFE GEF ∠=︒-∠+∠， ∵12GEF PEA OEF ∠=∠+∠，12
GFE PFC OFE ∠=∠+∠， ∴1122GEF GFE PEA PFC OEF OFE ∠+∠=
∠+∠+∠+∠， ∵由（2）知PFC PEA P ∠=∠+∠，
∴C PEA PF α=∠-∠，
而180180OF PF E OEF F E C O ∠+∠=-︒-∠∠=︒， ∴11()22GEF GFE PFC PFC α∠+∠=∠-+∠+11801802
PFC α︒-∠=︒-， ∴11180()18018022G GEF GFE αα∠=︒-∠+∠=︒-︒+
=． 故答案为：12
G α∠=
【点睛】 此题考查平行线的性质的运用，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算．
23．（1）∠APB ＝∠NAP +∠HBP ；（2）见解析；（3）∠HBP ＝∠NAP +∠APB
【分析】
（1）过P 点作PQ ∥GH ，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P 点作PQ ∥GH ，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P 点作PQ ∥GH ，
∵MN ∥GH ，
∴MN ∥PQ ∥GH ，
∴∠APQ ＝∠NAP ，∠BPQ ＝∠HBP ，
∵∠APB ＝∠APQ +∠BPQ ，
∴∠APB ＝∠NAP +∠HBP ，
故答案为：∠APB ＝∠NAP+∠HBP ；
（2）如图②，过P 点作PQ ∥GH ，
∵MN ∥GH ，
∴MN ∥PQ ∥GH ，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.
24．(1) 150°；(2) ∠OCD+∠BO'E=240°；(3) 30°+1
2 ．
【分析】
（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答．【详解】
解：（1）∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，∴∠OCD+∠BO'E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP=12∠OCD ， ∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-
12∠OCD =150°-12
（240°-∠BO'E ） =30°+1
2
α
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义，确定∠OCD 、∠B0'E 的数量关系是解答本题的关键．
25．（1）①B D P ∠+∠=∠，②360A E C ∠+∠+∠=︒；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）540︒．
【分析】
（1）①如图1中，作//PE AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
②作//EH AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
（2）①如图3中，作//BE CD ，利用平行线的性质即可解决问题；
②如图4中，连接EH ．利用三角形内角和定理即可解决问题；
（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和540︒即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图1中，作//PE AB ，
//AB CD ，
//PE CD ∴，
1B ∴∠=∠，D 2∠=∠，
12B D BPD ．
②如图2，作//EH AB ，
//AB CD ，
//EH CD ，
1180A ∴∠+∠=︒，2
180C ， 12360A C ，
360A AEC C ．
故答案为B D P ∠+∠=∠，360A E C ∠+∠+∠=︒．
（2）①如图3中，作//BE CD ，
3EBQ
，1EBP EBQ ， 2132BPD EBP ．
②如图4中，连接EH ．
180A
AEH AHE ，180C CEB CBE ， 360A
AEH AHE CEH CHE C ，
360A AEC C AHC ． （3）如图5中，设AC 交BG 于H ．
AHB A B F ，
AHB CHG ∠=∠， 在五边形HCDEG 中，540CHG C
D E G ， 540A B F C D E G
【点睛】
本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．
26．（1）BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明见析；（2）MEN BME DNE ∠=∠-∠；（3）120FME ∠=
【解析】
【分析】
(1)如图，过点E 作直线//EF AB ，由平行线的性质得到BME MEF ∠=∠，FEN DNE ∠=∠，即可求得MEN BME DNE ∠=∠+∠；
(2)如图，记AB 与NE 的交点为G ，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE ，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM ，由此即可得到结论；
(3)由角平分线的定义设BMF BME β∠=∠=∠，设22DNF DNE α∠=∠=∠，由(1)，得E αβ∠=∠+∠，由(2)，得2F βα∠=∠-∠，再根据2180F E ∠+∠=，可求得60β∠=，继而可求得2120FME β∠=∠=.
【详解】
(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明如下：
如图，过点E 作直线//EF AB ，
∵//EF AB ，
∴BME MEF ∠=∠，
又∵//AB CD ，
∴//EF CD ，
∴FEN DNE ∠=∠，
∴MEN MEF FEN BME DNE ∠=∠+∠=∠+∠；
(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠，理由如下：
如图，记AB 与NE 的交点为G ，
又∵AB//CD ，
∴∠EGM=∠DNE ，
∵∠BME 是△EMG 的外角，
∴∠BME=∠MEN+∠EGM ，
∴∠MEN=∠BME-∠DNE ；
(3)∵MB 平分EMF ∠，
∴设BMF BME β∠=∠=∠，
∵NE 平分DNF ∠，
∴设22DNF DNE α∠=∠=∠，
由(1)，得E BME DNE αβ∠=∠+∠=∠+∠，
由(2)，得2F BMF DNF βα∠=∠-∠=∠-∠，
又∵2180F E ∠+∠=，
∴22()180βααβ∠-∠+∠+∠=，
∴3180β∠=，
即60β∠=，
∴2120FME β∠=∠=.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。