方程组的解集

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求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二 元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二 元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方 程.
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4．求方程组x2＋xy＝2y＝ －421，②① 的解集． [解] ∵方程①是 x 与 2y 的和，方程②是 x 与 2y 的积， ∴x 与 2y 是方程 z2－4z－21＝0 的两个根，解此方程得 z1＝－3， z2＝7，
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5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元 5 世纪)里，有一道著 名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三， 值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)
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[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买 x 只、y 只、z 只． x＋y＋z＝100，①
根据题意，得5x＋3y＋3z＝100.② ②×3－①，得 7x＋4y＝100，y＝1004－7x＝25－74x.
＝( )
A．{(x，y)|(1,4)}
B．{(x，y)|(2,3)}
C．{(x，y)|(3,2)}
D．{(x，y)|(4,1)}
C [根据题意，得x2＋x－y＝y＝5， 4，
由代入消元法可求得 x＝3，y＝2，故 A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ]
8
4．已知2x＋x＋2yy＝ ＝78， ， 那么 x－y 的值是________． －1 [两式相减可得结果 x－y＝－1.]
【例 3】 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)， (5,158)，求这个二次函数的解析式．
[思路点拨] 把 a，b，c 看成三个未知数，分别把三组已知的 x， y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求 出 a，b，c 的值．
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a－b＋c＝2，①
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[解] (1)法一：将③分别代入①②，得
5y＋z＝12， 6y＋5z＝22，
解得yz＝＝22，，
把 y＝2 代入③，得 x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
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法二：②－①，得 y＋4z＝10，④ ②－③，得 6y＋5z＝22，⑤ 联立④⑤，得y6＋y＋4z5＝z＝102，2， 解得yz＝＝22，， 把 y＝2 代入③，得 x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
21
联立④⑤，得x1＋0x8＋z＝7z1＝1，37， 解得xz＝＝13，， 把x＝3，z＝1代入①，得y＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,2,1)}．
22
求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加 减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化 为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.
)
A．{(பைடு நூலகம்，y)|(1,2)} C．{(x，y)|(－1,2)}
B．{(x，y)|(1,0)} D．{(x，y)|(1，－2)}
A [由加减消元法可求得 x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为
{(x，y)|(1,2)}．]
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x＋y－z＝11，

2．求方程组x＋z＝5， x－y＋2z＝1
的解集时，要使运算简便，消元
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因为 x，y 均为正数，所以 x 一定是 4 的倍数，且 x 是小于1700的 正整数，所以 x 的取值只能为 4,8,12.
若 x＝4，则 y＝18，z＝78； 若 x＝8，则 y＝11，z＝81； 若 x＝12，则 y＝4，z＝84. 故鸡翁为 4 只，鸡母为 18 只，鸡雏为 78 只或鸡翁为 8 只，鸡母 为 11 只，鸡雏为 81 只或鸡翁为 12 只，鸡母为 4 只，鸡雏为 84 只．
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求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元 法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示 形式.
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1．求下列方程组的解集． 4x＋8y＝12，①
(1)3x－2y＝5.② 8x＋9y＝73，①
(2)7x＋18y＝2.②
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[解] (1)由②，得 2y＝3x－5.③
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x＋y＝1，①

2．求方程组y＋z＝6，② z＋x＝3 ③
的解集．
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[解] ①＋②＋③，得 2(x＋y＋z)＝10， 即 x＋y＋z＝5.④ ④－①，得 z＝4；④－②，得 x＝－1；④－③，得 y＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．
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待定系数法求函数的解析式
把③代入①，得 4x＋4(3x－5)＝12，解得 x＝2.
把 x＝2 代入③，得 y＝12.
所以原方程组的解集为x，y2，12

.

16
(2)由①×2，得 16x＋18y＝146，③
由③－②，得 9x＝144，解得 x＝16.
把 x＝16 代入①，得 8×16＋9y＝73，解得 y＝－595.
所以原方程组的解集为x，y16，－595

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三元一次方程组的解集 【例 2】 求下列方程组的解集．
x＋y＋z＝12，①

(1)x＋2y＋5z＝22，② x＝4y.③ 2x＋y＋3z＝11，①
(2)3x＋2y－2z＝11，② 4x－3y－2z＝4.③
5
1．用代入法解方程组yx＝－12－y＝x4 时，代入正确的是(
)
A．x－2－x＝4
B．x－2－2x＝4
C．x－2＋2x＝4
D．x－2＋x＝4
C
y＝1－x，① [x－2y＝4，②
把①代入②得，x－2(1－x)＝4，去括号得，
x－2＋2x＝4.故选 C.]
6
2．已知二元一次方程组2x＋x＋2yy＝＝78，， 解集为(
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[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度 ＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路 时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路 时间＋下坡时间＝2.3 h.
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[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是 x km，y km 和 z km.
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x＝－3， x＝7，
∴2y＝7
或2y＝－3，
x＝－3， x＝7，
即y＝27
或y＝－23.
所以原方程组的解集为
x，y－3，27，7，－23

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方程组的实际应用
【例 5】 某汽车在相距 70 km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中 有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要 2.5 h，从乙地到甲 地需要 2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时 速分别是 30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平 路、下坡路的长度各是多少？
的方法应选取( )
A．先消去 x
B．先消去 y
C．先消去 z
D．以上说法都不对
B [根据系数特点，先消去 y 最简便，故选 B.]
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解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程 组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.
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3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－ 1，－12)，求这个二次函数的解析式．
a＋b＋c＝4，
a＝－5，


[解] 根据题意，得9a＋3b＋c＝－20， 解得b＝8，
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(2)法一：①＋②，得 6x＝12，所以 x＝2. 把 x＝2 代入②，得 3×2＋7y＝13，所以 y＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}． 法二：①－②，得－14y＝－14，所以 y＝1. 把 y＝1 代入①得，3x－7×1＝－1，所以 x＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.
)
A．{(x，y)|(2,3)}
B．{(x，y)|(3,2)}
C．{(x，y)|(－2,3)}
D．{(x，y)|(－2，－3)}
2x＋y＝7，① A [x＋2y＝8，② ①＋②得：3x＋3y＝15，解得 x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}， 故选 A.]
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3．已知 A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则 A∩B
单的实际问题．(重点、难点)
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自主预习 探新知
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1．方程组的解集 一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每 个方程的解集得到的 交集 称为这个方程组的解集． 2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是 消元 法． 3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}， 其中 a，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y， z)|(a，b，c)，…}，其中 a，b，c 为确定的实数．
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1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消 元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表 示形式．
2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图 像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所 求函数的解析式.
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当堂达标 固双基
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1．二元一次方程组xy＋－3x＝y＝17， 的解集是(
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合作探究 提素养
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二元一次方程组的解集
【例 1】 求下列方程组的解集． x＋y＝4，①
(1)2x－3y＝3.② 3x－7y＝－1，①
(2)3x＋7y＝13.②
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[解] (1)由①，得 y＝4－x.③ 把③代入②，得 2x－3(4－x)＝3. 解这个方程，得 x＝3. 把 x＝3 代入③，得 y＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．
第二章 等式与不等式
2.1 等式 第3课时 方程组的解集
2
学习目标 1.理解方程组的解集的定义及表
核心素养
示方法．(难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数
2．掌握用消元法求方程组解集的 学抽象的素养．
方法．(重点)
2．通过求方程组的解集，提升数
3．会利用方程组知识解决一些简 据分析、数学运算的学科素养.
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(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得 x－2y＝1 或 x－2y＝－2，
由x3－x＋2y2＝y－1，11＝0， 得xy＝ ＝31， .
由x3－x＋2y2＝y－－112＝，0，
得x＝94， y＝187.
所以原方程组的解集为x，y3，1，49，187
a－b＋c＝－12，
c＝1，
因此所求函数的解析式为 y＝－5x2＋8x＋1.
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二元二次方程组的解集
【例 4】 求下列方程组的解集． x＋y＝8，①
(1)xy＝12.② x2－4xy＋4y2＋x－2y－2＝0，①
(2)3x＋2y－11＝0.②
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[解] (1)由①得 y＝8－x，③ 把③代入②，整理得 x2－8x＋12＝0. 解得 x1＝2，x2＝6. 把 x1＝2 代入③，得 y1＝6. 把 x2＝6 代入③，得 y2＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．

[解] 根据题意，得4a＋2b＋c＝8，② 25a＋5b＋c＝158，③
②－①，得 a＋b＝2，④ ③－①，得 4a＋b＝26，⑤
联立④⑤，得a4＋ a＋b＝ b＝2， 26， 解得ab＝ ＝－8，6， 把 a＝8，b＝－6 代入①，得 c＝－12. 因此所求函数的解析式为 y＝8x2－6x－12.
20
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④ ④－②，得4x＋3y＝38，⑤ 联立③⑤，得x4＝x＋4y3，y＝38， 解得xy＝＝82，， 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x＋8z＝11，④ ①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
x＋y＋z＝70， 由题意得2x0＋3y0＋4z0＝2.5，
2z0＋3y0＋4x0＝2.3，
x＝12，

解得y＝54， z＝4，
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是 12 km，平路是 54 km，下 坡路是 4 km.
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根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.