高中数学同步练习 数列求和跟踪训练含解析

第一章 数 列
§3 等比数列 3.2 等比数列的前n 项和 第2课时 数列求和
[A 组 学业达标]
1．设数列1,(1＋2),…,(1＋2＋22
＋…＋2
n －1
),…的前n 项和为S n ,则S n ＝( )
A ．2n
B ．2n
－n C ．2
n ＋1－n D ．2
n ＋1
－n －2
解析：因为a n ＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
＝1－2n
1－2＝2n －1,所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n
）1－2
－n ＝2
n ＋1
－n －2.
答案：D
2．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22
＋…＋2×2
n －2
＋2
n －1
的结果是( )
A ．2
n ＋1
＋n －2 B ．2n ＋1
－n ＋2 C ．2n －n －2
D ．2
n ＋1
－n －2
解析：因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22
＋…＋2×2n －2
＋2
n －1
,所以2S n ＝n×2＋(n －1)×22
＋(n －
2)×23
＋…＋2×2n －1
＋2n ,有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2
n －1
＋2n
－n,得S n ＝2n ＋1
－2－n.
答案：D
3．已知数列{a n }：12,13＋23,14＋24＋34,15＋25＋35＋45,…,设b n ＝1
a n a n ＋1
,那么数列{b n }的前n 项和为( )
A ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1
B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－1n ＋1
C ．1－1
n ＋1
D.12－1n ＋1
解析：由题意知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2,b n ＝1a n a n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1,所以
b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 答案：A
4．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n
＋2n －1,则数列{a n }的前n 项和S n 为( )
A ．2n
＋n 2
－1 B ．2
n ＋1
＋n 2
－1
C ．2
n ＋1＋n 2
－2
D ．2n
＋n 2
－2
解析：S n ＝(2＋22
＋23
＋ (2)
)＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n
）1－2＋n （1＋2n －1）2
＝2n ＋1－2＋
n 2
. 答案：C
5．数列{n·2n
}的前n 项和为( )
A ．(n －1)2
n ＋1＋2 B ．n·2
n ＋1
＋2
C ．(n －1)·2n
＋2
D ．n·2n
＋2
解析：设数列{n·2n
}的前n 项和为S n ,则S n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n×2n
,① 所以2S n ＝1×22
＋2×23
＋…＋(n －1)×2n
＋n×2n ＋1
.②
由②－①得S n ＝n×2
n ＋1
－(2＋22＋23＋ (2)
)
＝n×2n ＋1
－2－2n
×21－2
＝n·2
n ＋1
－2
n ＋1
＋2
＝(n －1)2n ＋1
＋2.
答案：A
6．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110,则ln x ＋ln 2 x ＋ln 3 x ＋…＋ln 10
x ＝________．
解析：由ln x ＋ln x 2
＋…＋ln x 10
＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110,所以ln x ＝2.
从而ln x ＋ln 2
x ＋…＋ln 10
x ＝2＋22
＋23
＋…＋210
＝2（1－210
）1－2
＝211
－2＝2 046.
答案：2 046
7．已知等比数列{a n }的公比q≠1,且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4,则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前4项和为________． 解析：∵等比数列{a n }中,a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4, ∴3q 2
＝2q ＋q 3
.又∵q≠1,∴q＝2,∴a n ＝2
n －1
,
∴1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1,即⎩⎨
⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12,公比为14的等比数列, ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1441－14＝85
128.
答案：85
128
8．已知等比数列{a n }及等差数列{b n },其中b 1＝0,公差d≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列
1,1,2,…,则这个新数列的前10项和为________．
解析：设数列{a n }的公比为q,则{a n }的前三项分别为1,q,q 2
,{b n }的前三项分别为0,d,2d,于是
⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝0，d ＝1(舍去)或⎩
⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝－1.于是新数列的前10项和为(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋
b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－210
1－2＋10×0＋10×（10－1）
2×(－1)＝978.
答案：978
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋n
2
,n∈N ＋.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n
a n ,求数列{
b n }的前2n 项和． 解析：(1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝1；
当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2
＋n 2－（n －1）2
＋（n －1）
2＝n.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)由(1)知,a n ＝n,故b n ＝2n
＋(－1)n
n. 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则
T 2n ＝(21
＋22
＋ (22)
)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A ＝21
＋22
＋ (22)
, B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n, 则A ＝2（1－22n
）1－2
＝22n ＋1
－2.
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n. 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1
＋n －2.
10．在等差数列{a n }中,a 3＝4,a 7＝8.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝a n
2n －1,求数列{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)因为d ＝a 7－a 3
7－3＝1,
所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1. (2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋1
2
n －1,
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋1
2n －1,①
12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋1
2
n ,② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
2
2＋…＋12n －1＋1－n ＋12n
＝1－12n
1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－n ＋12n
＝3－n ＋32n ,
所以T n ＝6－n ＋3
2
n －1.
[B 组 能力提升]
11．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)
n －1
·(4n－3),则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
解析：S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案：B
12.12＋12＋38＋…＋n
2
n 等于( ) A.2n
－n －12n
B.2n ＋1
－n －2
2n
C.2n －n ＋12
n
D.
2
n ＋1
－n ＋2
2
n
解析：法一：令S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ,①
则12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n
2
n ＋1,② ①－②,得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2
n ＋1.
∴S n ＝
2n ＋1
－n －2
2
n
.故选B. 法二：取n ＝1时,n 2n ＝1
2,代入各选项验证可知选B.
答案：B
13．求和：S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
4
＋…＋12n －1＝________．
解析：被求和式的第k 项为：
a k ＝1＋12＋14＋…＋1
2
k －1＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12k
1－12
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋1
2
3＋ (12)
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n
1－12
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n ＋1
2n －1－2.
答案：2n ＋1
2
n －1－2
14．数列{a n }中,a 1＝1,a n a n ＋1＝λ·2n
(n∈N ＋,λ＞0),其中λ满足：对于任意的k∈N ＋,均有a 2k －1,a 2k ,a 2k ＋1
成等差数列．数列{a n }的前20项和S 20＝________．
解析：λ满足：对于任意的k∈N ＋,均有a 2k －1,a 2k ,a 2k ＋1成等差数列, 可得2a 2k ＝a 2k －1＋a 2k ＋1,即有2a 2＝a 1＋a 3. 由a 1＝1,a n a n ＋1＝λ·2n
(n∈N ＋,λ＞0), 可得a 2＝2λa 1＝2λ,a 3＝4λ
a 2
＝2.
由4λ＝1＋2,解得λ＝34,则a n a n ＋1＝3·2n －2
,
可得a n －1a n ＝3·2
n －3
,即有a n ＋1
a n －1
＝2.
数列{a n }的前20项为1,3
2,2,3,4,6,…,其中奇数项是首项为1,公比为2的等比数列；偶数项为首项为
3
2
,公比为2的等比数列, 则S 20＝1－210
1－2＋32（1－210）1－2＝210
－1＋32(210－1)＝5 1152
.
答案：5 115
2
15．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和． 解析：(1)∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n,① ∴n≥2时,a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)② ①－②得,(2n －1)a n ＝2,a n ＝2
2n －1(n≥2),
又n ＝1时,a 1＝2适合上式,∴a n ＝2
2n －1
.
(2)由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1
2n ＋1,
∴S n ＝a 13＋a 25＋…＋a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1 ＝2n 2n ＋1
. 16．已知数列{a n }的前n 项和S n ,满足S n ＝n(n －6),数列{b n }满足b 2＝3,b n ＋1＝3b n (n∈N ＋)
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；
(2)记数列{c n }满足c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，求数列{
c n }的前n 项和T n .
解析：(1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝－5,当n≥2时, a n ＝S n －S n －1＝n 2
－6n －(n －1)2
＋6(n －1)＝2n －7,
∵n＝1也适合上式,∴a n ＝2n －7.∵b n ＋1＝3b n (n∈N ＋)且b n ≠0,∴b n ＋1b n
＝3,∴{b n }为等比数列,∴b n ＝3
n －
1
,
(2)由(1)得,c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2n －7，n 为奇数，
3n －1，n 为偶数，
当n 为偶数时, T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝n 2（－5＋2n －9）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－9n 21－9
＝n （n －7）2＋3（3n
－1）
8.
当n 为奇数时, T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝n ＋12（－5＋2n －7）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－9n －121－9
＝（n ＋1）（n －6）2＋3（3n －1
－1）
8.
综上所述
T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n －7）2＋3（3n
－1）
8
，n 为偶数，（n ＋1）（n －6）2＋3（3n －1
－1）
8
，n 为奇数.。