2023届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{}sin ,M y y x x ==∈R ，{}
2
20N x x x =--<，则M
N =（ ） A ．(]1,1- B ．[)1,2-
C ．()1,1-
D ．[)1,1-
【答案】A
【分析】由正弦函数性质可得集合M ，解一元二次不等式可得集合N ，然后由交集定义可得.
【详解】由正弦函数值域可知{|11}M y y =-≤≤， 由220x x --<解得{|12}N x x =-<< 所以{|11}M N x x =-<≤，即(]1,1-
故选：A
2．设i 为虚数单位，若复数()()1i 1i a ++是纯虚数，则实数=a （ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解. 【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++， 因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，
所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩
，解得1a =，
故选：C
3．4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．24- B ．24 C ．16- D ．16
【答案】B
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】4(12)x -的展开式中含2x 的项为()2
2
24
224C x x ⋅-=，系数为24. 故选：B
4．已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（ ）
A ．22(1)2x y -+=
B ．22(1)4x y -+=
C ．22(1)2x y +-=
D ．22(1)4x y +-=
【答案】D
【分析】求得ABC 外接圆的方程即可进行选择. 【详解】设ABC 外接圆的方程为()2
22()x a y b r -+-= 则有()()()222
222
2
22(3)0(3)0(0)3a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪+-=⎨⎪-+-=⎪⎩
，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-= 故选：D
5．已知一个半径为4的扇形圆心角为()02θθπ<<，面积为2π，若()tan 3θϕ+=，则
tan ϕ=（ ） A ．0 B ．1
2
C ．2
D ．12
-
【答案】B
【分析】由扇形面积公式可求得θ，由两角和差正切公式可构造方程求得结果.
【详解】扇形面积2
1422
S θπ=⋅=，4πθ∴=，
()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕ
θϕθϕϕ+++===--∴，解得：1tan 2ϕ=.
故选：B.
6．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s ，如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果s 是偶数，则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7【答案】B
【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.
【详解】第一次循环，15
Z
22
s=∈不成立，35116
s=⨯+=，011
i=+=，1
s=不成立；
第二次循环，1
8Z
2
s=∈成立，
1
168
2
s=⨯=，112
i=+=，1
s=不成立；
第三次循环，1
4Z
2
s=∈成立，则
1
84
2
s=⨯=，213
i=+=，1
s=不成立；
第四次循环，1
2Z
2
s=∈成立，则
1
42
2
s=⨯=，314
i=+=，1
s=不成立；
第五次循环，1
1Z
2
s=∈成立，则
1
21
2
s=⨯=，415
i=+=，1
s=成立.
跳出循环体，输出5
i=.
故选：B.
7．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（）
A．4
7
B．1
2
C．
3
7
D．
1
35
【答案】B
【分析】根据排列组合知识求得基本事件的个数后可得概率．【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观，
所求概率为223135354
8C C 1
C 2
C C P +==． 故选：B ．
8．设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（ ） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂
C ．//l n ，n α⊥
D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥
【答案】C
【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；
对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误； 对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；
对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.
9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，313S =，则3a 为（ ） A ．1或9 B ．1 C ．9 D ．3
【答案】A
【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，易知1q ≠，则 由题意可知，()13
131131a q a q q =-=-⎧⎪⎨⎪⎩
，解得19
13a q ⎧==⎪⎨⎪⎩或113a q =⎧⎨=⎩，
所以2
2
311913a a q ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭
或2231139a a q ==⨯=.
故选：A.
10．已知F 是椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交
于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）． A 7
B ．13
C 21
D 21 【答案】C
【分析】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，由椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.
【详解】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，
根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=． 因为120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒．
所以62PF PF PF a ''+==，则13PF a '=，5
3
PF a =．
由余弦定理可得()()2
2
2
2
22cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-，
即2
2
22574433c a a a =-=，即227
12
c a =
故椭圆离心率22
721
12c e a = 故选：C ．
11．设0.01a =，()ln 1sin0.01b =+， 1.1ln1.01c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<
【答案】D
【分析】分别构造函数()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，
1.1()(1)e x g x x =+-，利用其单调性判断.
【详解】设()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，则()cos 10f x x '=-≤，
所以()f x 在0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，
设()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()1
10g x x '=->，()g x 递增，
则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，
所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，即b a < 因为1
0.0250ln e ln e a ==， 1.1ln1.01c =，
所以只要比较()1.1
0.01 1.1e , 1.01(10.01)x z ===+的大小即可，
令 1.1()(1)e x g x x =+-，则0.1() 1.1(1)e x g x x '=+-，0.9()0.22(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2210g ''=-<， 所以当0x >时，()0g x ''<， 所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，
因为(0) 1.110g '=->，0.10.1 1.10.1(0.1) 1.1 1.1e 1.1e g '=⨯-=-，
要比较 1.11.1与0.1e 的大小，只要比较 1.1ln1.1 1.1ln1.1=与0.1lne 0.1=的大小， 令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>， 所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，
所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.1ln1.10.1>， 所以 1.11.1>0.1e ，所以0.10.1 1.10.1(0.1) 1.1 1.1e 1.1e 0g '=⨯-=->， 所以当(0,0.1)x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,0.1)上递增，
所以()(0)0g x g >=，所以 1.1(1)e x x +>， 所以 1.10.01(10.01)e +>，所以z x >，即c a > 所以c a b >>， 故选：D
二、多选题
12．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，
()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）
A ．7324f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．()7f x +为奇函数
C ．()f x 在()6,8上为减函数
D ．()f x 的一个周期为8
【答案】ABD
【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫
⎪⎝⎭
、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案.
【详解】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，
所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--， 则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--， 由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称， 所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，
综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--， 故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确； 773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫
=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭
，A 正确；
由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；
由()1,0x ∈-时()2
1f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.
故选：ABD
三、填空题
13．已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________. 【答案】4
【分析】由题意可知，a b 和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.
【详解】因为(1,2),(,3)a b λ==，所以(2)a b λ-=（2-，1），而(2)a b a -⊥，所以(2)0a b a -=，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.
故答案为：4.
14．如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .
【答案】300(43)
【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.
【详解】由题设，一个底面的面积为11
61010sin 6015032S =⨯⨯⨯⨯︒=2cm ，
一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ， 所以茶叶盒的表面积为1226300(43)S S +=2cm . 故答案为：300(43)
15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2
a S
的最小值为______.
【答案】22【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1
cos 3
A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最
小值，注意取最小值的条件.
【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cos B C C B A A +=， 即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =， 又sin 0A ≠，则1cos 3A =，故22
sin A =
而22222
22cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，12sin 2bc S bc A ==
所以2222222a S bc bc
=
≥=b c =时等号成立， 故2
a S
的最小值为22故答案为：2216．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作倾斜角为60°的动直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线1l 、2l ，1l 与2l 交于点P ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为M ，N ，则四边形PMFN 的面积为______. 【答案】4
【分析】写出直线l 的方程，得到,A B 坐标，从而得到直线12,l l 方程，从而得到,,M N P 坐标，再根据PFMN FMN
PMN
S S
S
=+即可得到答案.
【详解】
由题意可知，()0,1F 且直线l 倾斜角为60︒，则3l k =则直线l 方程为)130y x -=-，即31y x + 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设A 在第一象限， 联立2314y x x y
⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y 得24340x x --=
解得1234x =，2234x =
代入直线方程，则(234,743A +，(234,743B - 因为直线1l 与抛物线相切于点A ， 即214y x =
，则1
2
y x '=，所以()
11234322l k =，
同理可得232l k =，
则可得直线1l 方程为()()
7433234y x ⎡⎤-+=-⎣⎦
，
即)
32743y x =
--
则其与x 轴交点，令)
327430x --，则32x =
所以)
32,0M
直线2l 的方程为((
)()
7332234y x ⎡⎤--=-⎣⎦
即)
32743y x =
-+
则其与x 轴交点，令
)
327430x -+，则32x =
所以)
32,0N
,所以4MN =
联立12,l l 方程))32743
3274
3y x y x ⎧=--⎪
⎨
=-+⎪⎩3
1x y ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩
即P 点坐标为()231-,，
PFMN FMN
PMN
S S
S
=+
11
1122
MN MN =⨯⨯+⨯⨯ 4MN ==
故答案为:4.
四、解答题
17．已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913
S S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列2n a
n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】(1)2n a n =；
(2)12
44
33
n n n +++-. 【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；
（2）由（1）得24n
n c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .
【详解】(1)由题设953S S =，则
19159()5()
322
a a a a ++=⨯，即533530a a ==， 所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =， 故1(1)2n a a n d n =+-=.
(2)由（1）知：224n n
n b ==，则24n n c n =+，
所以11
2
2
(1)4(14)442(12...)(44...4)221433
n n n
n n n T n n n ++-=+++++++=⨯
+=++--. 18．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，
1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.
(1)证明：//CF 平面SAB ；
(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)
105
. 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=即可求解；
（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解； 【详解】(1)过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.如图所示
因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =， 所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有
()()
()()()130,0,0,3,0,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2D S A C B F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
,
所以()()
532,0,1,1,3,2,,,2AB AS CF ⎛⎫
=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =，则
00n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨
⎪=⎩
，即20
320x z x z -⎧=--=⎪⎨⎪⎩，令3x =5,3y z ==
所以(
)
3,5,23n =
，
所以5335023022CF n ⎛⎫
⋅=-⨯+
⨯+⨯= ⎪⎝⎭，即CF n ⊥， 又CF ⊄平面SAB ， 所以//CF 平面SAB .
(2)由（1）知，平面SAB 的法向量为(
)
3,5,23n =
，()()
0,0,0,1,3,0,D S -
()0,0,2,A 所以()()
0,0,2,1,3,2,AD AS =-=--
设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，则
00
m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨
⎪⎩=，即111120320z x y z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩，令13x =，则111,0y z ==， 所以(
)
3,1,0m =
，
设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则
()
()
()
2
2
2
2223315023
810
cos cos ,52210
3103523
m n m n m n
θ⨯+⨯+⨯⋅=<>=
=
=
=
⨯++⨯
++. 所以平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为
10
5
. 19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y （单位：千万辆）折线图．
（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）
(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．
参考数据：15.5y =，()()10
1160.1i i i t t
y y =--=∑，()
10
2
1
311.4i i y y =-=∑，()
10
2
1
82.5i i t t
=-=∑，
25550.5159.825690.5160.3≈．
参考公式：相关系数()()
()()
1
2
2
1
1
n
i
i
i n
n
i i i i t t y y r t t y y ===----∑∑∑ˆˆˆy
bt a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn
n
i
i i i i i n
n
i
i
i i t
t
y y t y nty
b
t
t
t
nt ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bt =-． 【答案】(1)说明见解析 (2)ˆ 1.94 4.83y
t =+，28.11千万辆 【分析】（1）根据相关系数公式及相关数据计算可求解；
（2）根据题中的数据及公式先求得ˆ 1.94 4.83y
t =+，再令12t =代入可求解. 【详解】(1)由题意得，
()()
()()
10
1
10
10
2
2
1
1
160.1
0.9988160.3
82.5311.425690.5i
i
i i
i
i i t t y y r t t y y ===--=
=
=≈≈⨯--∑∑∑，
相关系数0.9988r ≈，说明y 与t 的线性相关性很高， 所以，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由 5.5t =，()
10
2
182.5i i t t
=-=∑，
所以160.1ˆ 1.9482.5
b
=≈，因此ˆˆ15.5 1.94 5.5 4.83a y b
t =-⋅=-⨯=， 所以ˆ 1.94 4.83y
t =+．当12t =时，ˆ 1.9412 4.8328.11y =⨯+=． 所以2022年我国私人汽车拥有量约为28.11千万辆.
据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆．
20．已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆E 的方程.
(2)设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点.
【答案】(1)2
214
x y +=；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列出关于a ，b 的方程求解作答.
（2）设出直线l 的方程及点P ，Q 的坐标并表示出点M ，N 的坐标，再联立l 与E 的方程，借助韦达定理计算作答.
【详解】(1)依题意，2a b =，椭圆E 方程为：22
2214x y b b
+=，又椭圆E 过13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，于
是有221
3414b b +
=，解得2
1b =，24a =， 所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
(2)由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，()11,P x y ，
()22,Q x y ，
直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111
M x
x y =+，同理得点N 的横坐标为2
21
N x x y =
+， 由22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=， ()()2
2
2
2
64441440k m k m ∆=-+->，即2
2
41m k <+，122841km x x k -+=+，212244
41
m x x k -=+，
因此，()()()()1212
12121111M N x x x x x x y y kx m kx m =
=
++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++
()()222
222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++⋅++ ⎪++⎝⎭
，即()4121m m -=+，解得3m =， 直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3， 所以直线l 过定点()0,3.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，
借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
21．已知函数()e x
f x =，()sin cos
g x x x =+.
(1)己知()1f x ax ≥+恒成立，求a 的值；
(2)证明：当4
π
x >-时，()()f x g x ≥； (3)当4
π
x >-
时，不等式()()20f x g x ax +--≥（R a ∈），求a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)2
【分析】（1）由已知，可设函数()e 1x
F x ax =--，即证()0F x ≥恒成立即可，通过对
参数a 进
行分类讨论，求解函数()F x 的最小值，得到()min ln 1F a a a x =--，然后构造函数
()ln 1G a a a a =--借助导数求得函数的最值，从而得到满足题意的参数；
（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π
04x -＜＜和0x ≥分别研究
函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；
（3）构造函数()e sin cos 2x
G ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得
参数的值，然后验证当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可. 【详解】(1)由已知，函数()e x f x =，()1f x ax ≥+，即()10f x ax --≥，
令()e 10x
a F x x =--≥，()e x F x a '=-，
①当0a ≤时，()0F x '≥，所以函数()F x 在R x ∈上单调递增，而0(0)e 010F =--=，所以此时()0F x ≥不恒成立；
②当0a ＞时，()0F x '=，解得ln x a =，当ln x a ＞，()0F x '＞，函数()F x 单调递增， 当ln x a ＜，()0F x '＜，函数()F x 单调递减， 所以函数()F x 在ln x a =上取得极小值，即
()ln min (ln )e ln 1ln 1a F F a a a a x a a ==--=--，
要使()0F x ≥在R x ∈上恒成立，即满足ln 10--≥a a a ，令()ln 1G a a a a =--， 所以
()1ln 1ln G a a a '=--=-，又因为0a ＞，所以：
当01a ＜＜
时，()0G a '＞，函数()G a 单调递增，当1a ＞时，()0G a '＜，函数()G a 单调递增，
所以()max (1)0a G G ==，因此()0G a ≤， 所以要使ln 10--≥a a a 恒成立，a 的值为1.
(2)由已知，()e x
f x =，()sin cos
g x x x =+，
令()()e π2(4))x f x g x x x ϕ-+==，所以()πe 2)4
x
x x ϕ'=+，()00f '=，
①当π04x -＜＜时， ππ44x +0＜＜，所以π
2)24
x +1＜＜e 1x ＜，
则()πe 2)04x
x x ϕ'=+＜，所以，函数()x ϕ在)π04
⎛- ⎝，
上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；
②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，可证得sin x x ≥，由（1）e 1x x ≥+，、所以
当0x ≥时，()e sin ?cos e 10x x
x x x x ϕ=-≥--≥，当且仅当0x =时等号成立，
综上所述，对任意4
π
x >-时，()()f x g x ≥. (3)当4
π
x >-
时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（R a ∈）， 不妨设()e sin cos 2x
G ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，
因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值，
由于函数()G x 为可导函数，()πe 2)4
x
G x a x '=+-，
则0x =为函数()G x 的极小值点，故()0
πe 2)2004G a a '=-=-=，解得2a =，
下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点， 由（2）问可知，当4
πx >-
时，()e cos sin 2x
x G x x '=+--， 令()e cos sin 2x h x x x =+--，所以()()e sin co 0s x
h x x x x ϕ'=--≥=，
故函数()G x '在)π
4∞⎛+ ⎝，上单调递增，因为()00G '=， 所以当π
04
x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，
所以函数()G x '在)π
04⎛- ⎝
，上单调递减，在)(0∞+，上单调递增， 所以0x =为函数()G x 的极小值点，合乎题意. 综上所述，2a =.
【点睛】在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1x x ≥+”或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.
22．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线1C 的参数方程为13231x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以
坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为
()cos 0a a ρθ=>．
(1)求曲线1C 的普通方程；
(2)若曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为1
2，求实数a 的值．
【答案】340x y --= (2)(1023a =
【分析】（1）曲线1C 的参数方程消去参数即可求出曲线1C 的普通方程；
（2）首先曲线2C 的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线2C 是圆，要使曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为1
2，圆心到直线的距离12
d r =-，求解方程即可.
【详解】(1)由已知得(23t x =代入3
1y =-，消去参数t 得
曲线1C 340x y --=．
(2)由曲线2C 的极坐标方程cos a ρθ=得2cos a ρρθ=， 又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，
所以2
2
x y ax +=，即22
222a a x y ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以曲线2C 是圆心为,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径等于2a 的圆．
因为曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为1
2， 所以圆心,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
340x y --=的距离122a d =-，
即()
()
2
2
341
2
2231a a ⨯--=+-(1023a =．。