广西省钦州市2021届新高考第四次模拟数学试题含解析

广西省钦州市2021届新高考第四次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )
A ．1
B ．2
C D
【答案】D 【解析】 【分析】
设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】
由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，
可得222
337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，
5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，
设公比为q ，则()2
237q a a 4q 8+==，
则q =
负的舍去)，
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题． 2．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14
m n
+的最小值为（ ） A ．
97
B ．
53
C ．
43
D ．
1310
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】
22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，
当1,6m n ==时，
1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，1419
12m n +=，
当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，1425
6
m n +=，
14m n +最小值为13
10
. 故选:D. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 3．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=.
故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 4．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）
A ．5?n ≤
B ．6?n ≤
C ．7?n ≤
D ．8?n ≤
【答案】B 【解析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A ．()
85424π
B ．()
85824π
C ．()
8
54216π
D ．()
8
58216π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】
最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为
1
224π42π2
⨯=，下面圆锥的母
线长为2π48π⨯=，侧面积为
1
8π2
⨯=，没被挡住的部分面积为
22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()
16π，故选C.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 6．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）
A B
C ．2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】
解：由题意知，i 2i z =+，
()2
2212121
i i i i z i i i ++-+∴====--，
∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
7．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴
交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）
A ．22
14036
x y +=
B ．22
12016
x y +=
C ．22
1106
x y +=
D ．2
215
x y +=
【答案】D 【解析】 【分析】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==
a =，故可得椭圆的方程.
【详解】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，
又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，1b ∴=，
所以椭圆的方程为2215
x y +=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.
8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；
④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③
C ．②④
D ．③④
【答案】C 【解析】 【分析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】
解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图
因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，
则直线a β⊥，a l ⊥
又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥
因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
9．已知函数()
2
()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区
域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．
1e 2
- C ．1 D ．
2
e e - 【答案】D 【解析】 【分析】
依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为2
(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，
继而可得()
2
2
12
11a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭
，解之即可. 【详解】
解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝
⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
则()f x 在1,1e
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为2
(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，
所以()
2
2
12
11a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭
， 解得2
e
a e =
-， 故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到22
1(2)(1)1a e e e e
---=-是关键，考查运算能力，
属于中档题．
10．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2x
f x x m =++（m 为实数），则关于x 的不
等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-
C ．()1,1-
D ．()1,3
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】
据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21x
f x x =+-.分析知，函数()f x 在R
上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 11．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，
,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =
-<<，从而可得体积
()222114466
E ABC V x x x x -=
-=- 【详解】
因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为
,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，
所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==，
设AC x =，则)02BC x =<<，
所以11
22
ABC S AC BC x ∆=⋅=
以16E ABC
V x -==又因为()2
2222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭
，当且仅当()2
2222
44
2x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭
，即x 时等号成立，
所以()max 13
E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．
12．集合{
}
|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )
A ．7
B ．8
C ．31
D ．32
【答案】A 【解析】 【分析】
计算{}
M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】
{}{
}
|M y y x ==∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.
故选：A . 【点睛】
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()eln 2x f x x =，()2
2x g x x m
=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜
x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．
【答案】()11002⎛⎫
- ⎪⎝⎭
U ，
，
【解析】 【分析】
先根据题意，求出()()()
h x g f x m =+的解得(),2
m
f x =
或()f x m =-，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，分情况讨论求出()()()1232f x f x f x ++的取值范围. 【详解】
解：令t=f （x ），函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
即()2
2t g t t m =
-+m=0有两个不同的解，解之得12,2m t t m ==- 即(),2m
f x =
或()f x m =- 因为()eln 2x
f x x
=的导函数
()()2
1ln (0)2e x f x x x
'-=
>，令()0f x '<，解得x>e ，()0f x '>，解得0<x<e ，
可得f （x ）在（0，e ）递增，在(),e +∞递减； f(x)的最大值为()1
2
f e = ，且()()0,;,0x f x x f x →→-∞→+∞→ 且f(1)=0；
要使函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
（1）(),2
m
f x =
有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解； （2）()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =有一个解
当(),2m
f x =有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解，
此时11
,24
m m -==- ，不符合题意；
或是0,0m m -==不符合题意；
所以只能是01022m m -<⎧⎪
⎨<<⎪⎩
解得01m <<
()1f x m =-，()()23,2
m
f x f x ==
此时()()()1232f x f x f x ++=-m ， 此时10m -<-<
()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =
有一个解 此时
1
,122m m == ，不符合题意； 或是0,02
m
m ==不符合题意；
所以只能是021
02m
m ⎧<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得1
02m -<<
()12
m
f x =
，()()23f x f x m ==- 此时()()()1232f x f x f x ++=m -，
102
m <-<
综上：()()()1232f x f x f x ++的取值范围是()11002⎛⎫-⋃ ⎪⎝
⎭
，， 故答案为()11002⎛
⎫-⋃ ⎪⎝⎭
，
， 【点睛】
本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
14．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，满足()2f x '>-.则不等式()()()
2
132ln 312f x x x x -<-+-的解集为________. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】
构造函数()()()()2
132ln 312g x f x x
x x =-----，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，再将所
求不等式变形为()()1g x g <，利用函数()y g x =的单调性即可得解. 【详解】
设()()()()2
132ln 312g x f x x
x x =-----，则()()14ln 46g x f x x x x ''=-+-+，
设()4ln 46h x x x x =-+，则()4ln h x x '=.
当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增.。