高考数学总复习 第2章1.1 椭圆及其标准方程课时闯关(含解析) 北师大版

20##高考数学总复习第2章1.1 椭圆及其标准方程课时闯关
〔含解析〕北师大版
[A级基础达标]
错误!已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到其一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为< >
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：选D.由方程知a＝5,设椭圆的两个焦点为F1、F2,则|PF1|＋|PF2|＝10,所以点P 到另一个焦点的距离为10－3＝7.
错误!<2012·##调研>椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是< >
A．<±2,0>
B．<0,±2>
C．<±2错误!,0>
D．<0,±2错误!>
解析：选B.椭圆标准方程为错误!＋错误!＝1,
∴椭圆焦点在y轴上,且c2＝8－4＝4,
∴焦点为<0,±2>．
错误!已知△ABC的顶点B、C在椭圆错误!＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是< >
A．2错误!
B．6
C．4错误!
D．12
解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F<如图>,则△ABC的周长为<|AB|＋|BF|>＋<|CA|＋|CF|>＝2a＋2a＝4a.而a2＝3,a＝错误!,∴4a＝4错误!,
即△ABC的周长为4错误!.
错误!已知圆x2＋y2＝1,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′,则线段PP′的中点M的轨迹方程是________．
解析：设点M<x,y>,P<x0,y0>,则x＝错误!,y＝y0.
∵P<x0,y0>在圆x2＋y2＝1上,∴x错误!＋y错误!＝1.①
将x0＝2x,y0＝y代入①得4x2＋y2＝1.
答案：4x2＋y2＝1
错误!<2012·##质检>过点A<－1,－2>且焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是________．
解析：错误!＋错误!＝1的焦点坐标为<0,错误!>,<0,－错误!>,
∴2a＝错误!＋错误!,
∴a2＝6,∴b2＝a2－c2＝6－3＝3,
∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
答案：错误!＋错误!＝1
错误!写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
<1>两个焦点在坐标轴上,且经过A<错误!,－2>和B<－2错误!,1>两点；
<2>a＝4,c＝错误!；
<3>过点P<－3,2>,且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的焦点．
解：<1>设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1<m>0,n>0,m≠n>,由A<错误!,－2>和B<－2错误!,1>两点在椭圆上可得
错误!,即错误!,
解得错误!.
故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
<2>因为a＝4,c＝错误!,所以b2＝a2－c2＝1,所以当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程是错误!＋y2＝1；当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程是错误!＋x2＝1.
<3>因为所求的椭圆与椭圆错误!＋错误!＝1的焦点相同,所以其焦点在x轴上,且c2＝5.
设所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1<a>b>0>．
因为所求椭圆过点P<－3,2>,所以有错误!＋错误!＝1①
又a2－b2＝c2＝5,②
由①②解得a2＝15,b2＝10.
故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
[B级能力提升]
错误!<2012·##检测>椭圆错误!＋错误!＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于< >
A．2
B．4
C．8
D.错误!
解析：选 B.设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|＋|MF2|＝10,知|MF2|＝10－2＝8,ON
错误!MF2,所以|ON|＝错误!|MF2|＝4.
错误!<2012·##质检>"m>n>0”是"方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的< > A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.椭圆方程为错误!＋错误!＝1,
当m>n>0时,有错误!<错误!,∴椭圆焦点在y轴上．
当椭圆焦点在y轴上时,有错误!>错误!>0,
∴m>n>0.∴是充要条件．
错误!
如图所示,F1、F2分别为椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为错误!的正三角形,则b2的值是________．
解析：因为F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,且正三角形POF2的面积为错误!,所以S△POF2＝错误!|OF2|·|PO|sin 60°＝错误!c2＝错误!,所以c2＝4.
∴点P的坐标为错误!,即<1,错误!>,∴错误!＋错误!＝1,
又b2＋c2＝a2,所以错误!,解得b2＝2错误!.
答案：2错误!
错误!在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的三边分别是a,b,c,且|BC|＝2,求满足b,a,c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．
解：由已知条件可得b＋c＝2a,则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|,结合椭圆的定义知点A 在以B,C为焦点的一个椭圆上,且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴,BC的中点为原点O,建立平面直角坐标系,如图所示．
设顶点A所在的椭圆方程为错误!＋错误!＝1<m>n>0>,则m＝2,n2＝22－12＝3,从而椭圆方程为错误!＋错误!＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点,结合图形,易知x>0,y≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆错误!＋错误!＝1的右半部分<x>0,y≠0>．
错误!<创新题>
船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m,一条30 m长的绳子,两端系在桅杆的顶上,并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内,求绳子与甲板接触点P到桅杆AB 的距离．
解：以两根桅杆的顶端A,C所在的直线为x轴,线段AC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则P点在以A,C为焦点的椭圆上,依题意,此椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.因为P点的纵坐标为－7.5,代入椭圆方程可解得P点的坐标为<－12.25,－7.5>,所以P到桅杆AB的距离为12.25－7.5＝4.75<m>．。