人教版九年级数学下册期末高效复习：专题6 反比例函数

人教版九年级数学下册期末高效复习：专题6 反比例函数
人教版九年级数学下册 第26章 反比例函数
题型一 反比例函数的图象和性质
典例 [2018·鄂州]如图Z6－1，已知一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m
x 的图象相交于A (2，n )和B (－1，－6)两点，则不等式kx ＋b ＞m
x 的解集为__－1＜x ＜0或x ＞2__．
图Z6－1
【解析】 由图可知，当x ＜－1时，m x ＞kx ＋b ；当－1＜x ＜0时，kx ＋b ＞m
x ；当0＜x ＜2时，m x ＞kx ＋b ；当x ＞2时，kx ＋b ＞m
x .故当－1＜x ＜0或x ＞2时，kx ＋b ＞m x .
【点悟】 在反比例函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．
变式跟进 1.[2018·日照]已知反比例函数y ＝－8
x ，下列结论：①图象必经过(－2，4)；②图象在第二、四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x >－1时，则y >8.其中错误的结论有( B )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【解析】 将(－2，4)代入y ＝－8
x ，等式成立，①正确；∵k ＝－8<0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，②正确；反比例函数在每一象限内y 随x 的增大而增大，③错误；当－1＜x ＜0时，则y >8，④错误，∴错误的结论有2个，故选B.
2．[2018·滨州]若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝k2－2k＋3
x
(k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y2＜y1＜y3__．【解析】∵k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，
∴在每个象限内，y随x增大而减小．
∵－2＜－1＜0＜1，∴y2＜y1＜y3.
3．[2017·义乌]如图Z6－2，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝k
x(x＞0)
的图象上，AC∥x轴，AC＝2.若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为__(4，1)__．
图Z6－2
【解析】∵点A的坐标为(2，2)，∴k＝4，∵AC∥x轴，AC＝2，∴点C的横坐标为4，∵BC∥y轴，∴点B的横坐标为4，代入反比例函数解析式，得点B 的纵坐标为1，∴点B的坐标为(4，1)．
题型二求反比例函数的解析式
典例[2018·遵义]如图Z6－3，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，
若点A在反比例函数y＝6
x(x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为
(C)
A．y＝－6
x B．y＝－
4
x
C．y＝－2
x D．y＝
2
x
图Z6－3 典例答图
【解析】如答图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，易
得△BNO ∽△OMA ，相似比等于BO
AO ， 在Rt △AOB 中，∠OAB ＝30°， ∴BO AO ＝tan30°＝33，∴S △BNO S △OMA ＝13，
∵点A 在反比例函数y ＝6
x 的图象上， ∴S △AOM ＝3，∴S △BNO ＝1，∴k ＝－2，
经过点B 的反比例函数解析式为y ＝－2
x ，故选C.
【点悟】 因为反比例函数的解析式y ＝k
x (k ≠0)中只有一个待定系数k ，所以只需要一个条件(一个点的坐标或对应值)即可求出反比例函数的解析式．另外求反比例函数的k 值，最简单的方法是利用k ＝xy 求解．
变式跟进 4．[2017·扬州]如图Z6－4，已知点A 是反比例函数y ＝－2
x 的图象上的一个动点，连接OA ，若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，则点B 所在图象的函数解析式为__y ＝2
x __．
图Z6－4
【解析】 分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为G 和H ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义可以知道△AOG 的面积是1，于是△BOH 的面积也始终为1，再结合点B 在第一象限的位置，可以知道点B 在反比例函数图象上且k ＝2，所以所求的函数解析式为y ＝2
x .
5．[2018·安徽]如图Z6－5，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝6
x 的图象有一个交点A (2，m )，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y ＝kx ，使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数解析式是__y ＝3
2x －3__．
图Z6－5
【解析】 将点A (2，m )代入反比例函数y ＝6x ，得m ＝6
2＝3，∴交点A 的坐标为(2，3)，正比例函数y ＝3
2x ，又∵AB ⊥x 轴于点B ，∴点B 的坐标为(2，0)，可设直线l 的函数解析式为y ＝3
2x ＋b ，代入B (2，0)可得b ＝－3，∴直线l 对应的函数解析式是y ＝3
2x －3.
题型三 反比例函数中k 的几何意义
典例 [2018·江北区模拟]如图Z6－6，反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB ，BC 交于点 D ，E ，若四边形ODBE 的面积为24，则k 的值为( D )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
图Z6－6 典例答图
【解析】 由题意得E ，M ，D 位于反比例函数图象上，则S △OCE ＝12|k |，S △OAD ＝12|k |，如答图，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， 则S 矩形ABCO ＝4S 矩形ONMG ＝4|k |， 由于函数图象在第一象限，∴k ＞0，
则k 2＋k
2＋24＝4k ，∴k ＝8.
【点悟】 反比例函数y ＝k
x (k ≠0)中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常被考查的一个知识点，它充分体现了
数形结合的思想．
变式跟进 6.如图Z6－7，点A 在函数y ＝－1
x (x ＜0)的图象上，将线段AO 绕点O 按顺时针方向旋转180°后得到线段CO ，若点B ，D 在y 轴上，且AD ∥BC ∥x 轴，则四边形ABCD 的面积等于__2__．
图Z6－7
【解析】 设点A (x ，y )，
∵点A 在函数y ＝－1
x 的图象上，∴xy ＝－1， ∵线段AO 绕点O 按顺时针方向旋转180°得到CO ， ∴C (－x ，－y )，
∵AD ∥BC ∥x 轴，AD ＝BC ，
∴B (0，－y )，D (0，y )，四边形ABCD 是平行四边形． ∴S ▱ABCD ＝BC ·BD ＝－x ·(y ＋y )＝－2xy ＝－2×(－1)＝2.
7．[2018·宿迁]如图Z6－8，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象与正比例函数y ＝kx ，y ＝1
k x (k ＞1)的图象分别交于点A ，B .若∠AOB ＝45°，则△AOB 的面积是__2__．
图Z6－8 变式跟进7答图
【解析】 如答图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为点C .
过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为点M ，过点B 作BN ⊥x 轴，垂足为点N .
设点A 的横坐标为a ，则点A 的纵坐标为2
a . ∵点A 在一次函数y ＝kx 上，∴2a ＝ka ，∴k ＝2
a 2， ∴OB 所在直线的解析式为y ＝a 2
2x . 令a 22x ＝2x ，得x ＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2a 舍去，∴y ＝a ，
∴OA ＝OB ，BN ＝AM ，ON ＝OM ， ∴△OAM ≌△OBN .
∵∠AOB ＝45°，∴∠AOC ＝∠AOM . ∴△OAM ≌△OAC ，∴S △OAB ＝2S △OAM ＝2. 题型四 反比例函数与一次函数的综合运用
典例 [2018·枣庄]如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝n
x (n 为常数，且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝12. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；
图Z6－9
(2)记两函数图象的另一个交点为E ，求△CDE 的面积； (3)直接写出不等式kx ＋b ≤n
x
的解集．
解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝12，∴OA ＝6，OB ＝12，OD ＝4， ∴A (6，0)，B (0，12)，D (－4，0)，
把点A 和点B 的坐标代入y ＝kx ＋b ，得0＝6k ＋b ，b ＝12， ∴k ＝－2，直线的解析式为y ＝－2x ＋12；
∵点C 与点D 的横坐标相同，∴点C 的横坐标为－4，
代入y ＝－2x ＋12，得点C 的纵坐标为20，
即C (－4，20)，∴20＝k
－4
，k ＝－80，
∴反比例函数的解析式为y ＝－80
x ；
(2)联立y ＝－2x ＋12和y ＝－80x ，得－2x ＋12＝－80
x ，解得x 1＝－4，x 2＝10，∴E (10，－8)，
∴△CDE 的面积为1
2×20×(10＋4)＝140； (3)由图象可得－4≤x ＜0或x ≥10.
变式跟进 8.[2017·襄阳]如图Z6－10，直线y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k
x 的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，点A 的纵坐标为6，点B 的坐标为(－3，－2)．
图Z6－10
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出y 1＜0时x 的取值范围． 解：(1)∵点B (－3，－2)在反比例函数y 2＝k
x 的图象上， ∴k
－3
＝－2，解得k ＝6. ∴反比例函数的解析式为y 2＝6
x
.
把y 2＝6代入y ＝6
x ，得x ＝1， ∴点A 的坐标为(1，6)．
∵直线y 1＝ax ＋b 经过点A (1，6)，B (－3，－2)， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝6，－3a ＋b ＝－2，解得⎩
⎨⎧a ＝2，b ＝4，
∴直线的解析式为y 1＝2x ＋4；
(2)由y 1＝0，得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)．当y 1＜0时，x 的取值范围是x ＜－2.
9．[2018·成都]如图Z6－11，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A (－2，0)，与反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象交于点B (a ，4)． (1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)设M 是直线AB 上一点，过M 作MN ∥x 轴，交反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象于点N ，若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标．
图Z6－11 第9题答图
解：(1)∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过A (－2，0)， ∴0＝－2＋b ，得b ＝2， ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2；
∵一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象交于B (a ，4)， ∴4＝a ＋2，得a ＝2，∴4＝k
2，得k ＝8， 即反比例函数的解析式为y ＝8
x (x ＞0)； (2)如答图，设M (m ，m ＋2)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8m ＋2，m ＋2，
∵MN ∥x 轴，∴当MN ＝OA 时，以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形． ∵MN ＝|x M －x N |，∴⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪m －8m ＋2＝2，
当m －8
m ＋2＝2时，解得m 1＝23，
m 2＝－23，经检验都是方程的根， ∵m ＞0，∴m ＝23；
当m－
8
m＋2
＝－2时，解得m3＝－2＋22，
m4＝－2－22，经检验都是方程的根，
∵m＞0，∴m＝－2＋22，
∴M的坐标为(23，23＋2)或(－2＋22，22)．
题型五反比例函数的应用
典例[2018·贵阳模拟]实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内(包括1.5 h)其血液中酒精含量y(mg/100mL)与时间x(h)的关系可近似地用二次函数y
＝－200x2＋400x表示；1.5 h后(包括1.5 h)y与x可近似地用反比例函数y＝k x(k
＞0)表示(如图Z6－12所示)．
图Z6－12
(1)求k的值；
(2)假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72 mg/100 mL？(用min表示)
解：(1)当x＝1.5时，y＝－200x2＋400x＝－200×2.25＋400×1.5＝150，
∴k＝1.5×150＝225；
(2)将y＝72代入y＝－200x2＋400x，得200x2－400x＋72＝0，
解得x1＝0.2，x2＝1.8(不合题意，舍去)，
将y＝72代入y＝225
x，得x＝3.125，故(3.125－0.2)×60＝175.5(min)，
∴175.5 min内其酒精含量不低于72 mg/100 mL.
变式跟进10.[2018·泰安]如图Z6－13，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为
3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝m
x的图象经过点E，与AB交于点F.
图Z6－13
(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的表达式； (2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的表达式．
解：(1)∵B (－6，0)，AD ＝3，AB ＝8，E 为CD 的中点，∴E (－3，4)，A (－6，8)，
∵反比例函数图象过点E (－3，4)， ∴m ＝－3×4＝－12.
设图象经过A ，E 两点的一次函数表达式为y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎨⎧－6k ＋b ＝8，－3k ＋b ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝0， ∴y ＝－43x ；
(2)∵AD ＝3，DE ＝4，∴AE ＝5， ∵AF －AE ＝2，∴AF ＝7，∴BF ＝1.
设E 点坐标为(a ，4)，则点F 坐标为(a －3，1)， ∵E ，F 两点在y ＝m
x 图象上， ∴4a ＝a －3，解得a ＝－1， ∴E (－1，4)，∴m ＝－4，∴y ＝－4
x .
1．关于反比例函数y ＝2
x 的图象，下列说法正确的是( B )
A ．图象经过点(1，1)
B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
C ．图象的两个分支关于x 轴成轴对称
D ．图象的两个分支分布在第二、四象限
2．[2018·天水]在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋1与函数y ＝1
x 的图象可能是( B )
A B C D
【解析】 一次函数y ＝x ＋1经过一、二、三象限，反比例函数y ＝1
x 位于一、三象限，所以B 符合题意．
3．[2018·遂宁]已知反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象过点A (－1，2)，则当x ＞0时，y 随x 的增大而__增大__．
【解析】 ∵反比例函数y ＝k
x 的图象过点A (－1，2)，∴k ＝－2，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．
4．[2018·宜宾]已知点P (m ，n )在直线y ＝－x ＋2上，也在反比例函数y ＝－1
x 图象上，则m 2＋n 2的值为__6__．
【解析】 ∵点P (m ，n )在直线y ＝－x ＋2上，∴n ＋m ＝2，∵点P (m ，n )在反比例函数y ＝－1
x 图象上，
∴mn ＝－1，∴m 2＋n 2＝(n ＋m )2－2mn ＝4＋2＝6.
5．[2018·安顺]如图6－1，已知直线y ＝k 1x ＋b 与x 轴、y 轴相交于P ，Q 两点，与y ＝k 2
x 的图象相交于A (－2，m )，B (1，n )两点，连接OA ，OB ，给出下列结论：①k 1k 2＜0；②m ＋12n ＝0；③S △AOP ＝S △BOQ ；④不等式k 1x ＋b ＞k 2
x 的解集是x ＜－2或0＜x ＜1，其中正确结论的序号是__②③④__．
图6－1
【解析】 由图象知，k 1＜0，k 2＜0，∴k 1k 2＞0，故①错误；
把A (－2，m )，B (1，n )代入y ＝k 2x 中，得k 2＝－2m ＝n ，∴m ＋1
2n ＝0，故②正确；
把A (－2，m )，B (1，n )代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧m ＝－2k 1＋b ，
n ＝k 1
＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝n －m
3，b ＝2n ＋m 3，
∵－2m ＝n ，∴y ＝－mx －m .∵直线y ＝－mx －m 与x 轴、y 轴相交于P ，Q 两点，∴P (－1，0)，Q (0，－m )．∴OP ＝1，OQ ＝m .∴S △AOP ＝12m ，S △BOQ ＝1
2m ，即S △AOP ＝S △BOQ ，故③正确；
由图象知，不等式k 1x ＋b ＞k 2
x 的解集是x ＜－2或0＜x ＜1，故④正确．故②③④正确．
6．如图6－2，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象交于点A (－3，2)，B (2，n )． (1)求反比例函数y ＝k
x 的解析式； (2)求一次函数y ＝ax ＋b 的解析式；
图6－2
(3)观察图象，直接写出不等式ax ＋b ＜k
x 的解集．
解：(1)把点A (－3，2)代入反比例函数解析式，得k ＝－6，则反比例函数解析式为y ＝－6
x ；
(2)把B (2，n )代入反比例函数解析式，得n ＝－3，即B (2，－3)，把A (－3，2)与B (2，－3)代入y ＝ax ＋b ， 得⎩⎨⎧－3a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1， 则一次函数解析式为y ＝－x －1；
(3)∵A (－3，2)，B (2，－3)，∴结合图象得不等式ax ＋b ＜k
x 的解集为－3＜x ＜0或x ＞2.
7．[2017·岳阳]已知点A 在函数y 1＝－1
x (x >0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k (k 为常数，且k ≥0)上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( A )
A ．有1对或2对
B ．只有1对
C ．只有2对
D ．有2对或3对
【解析】 ①k ＝0时，y 2＝1，y 1＝－1x (x >0)，则“友好点”坐标为A (1，－1)，B (－1，1)；
②k ≠0时，设A 点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ，－1x ，由于A ，B 关于原点对称，则可设B 点坐标为(－x ，－kx ＋1＋k )．
∵A ，B 两点纵坐标互为相反数，∴1
x ＝－kx ＋1＋k ，将其化为一元二次方程，得kx 2－(1＋k )x ＋1＝0，Δ＝(k －1)2≥0，∴当k ＝1时，有1对“友好点”，坐标为A (1，－1)，B (－1，1)；当k >0且k ≠1时，有两对“友好点”，故选A. 8．[2018·攀枝花]如图6－3，已知点A 在反比例函数y ＝k
x (x >0)的图象上，作Rt △ABC ，边BC 在x 轴上，点D 为斜边AC 的中点，连接DB 并延长交y 轴于
点E ，若△BCE 的面积为4，则k ＝__8__．
图6－3
【解析】 在Rt △ABC 中，D 是斜边AC 的中点， ∴BD ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB ，
又∵∠DBC ＝∠OBE ，∴∠OBE ＝∠DCB ， ∵∠ABC ＝∠EOB ＝90°，∴△ABC ∽△EOB ， ∴BC OB ＝AB
OE ，∴AB ·OB ＝BC ·OE ，
∵S △BCE ＝4，∴1
2BC ·OE ＝4， ∴k ＝AB ·OB ＝BC ·OE ＝8.
9．[2018·菏泽]如图6－4，已知点D 在反比例函数y ＝a x 的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B (0，3)，直线y ＝kx ＋b 经过点A (5，0)，与y 轴交于点C ，且BD ＝OC ，OC ∶OA ＝2∶5
图6－4
(1)求反比例函数y ＝a
x 和一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；
(2)请直接写出关于x 的不等式a
x ＞kx ＋b 的解集． 解：(1)∵A (5，0)，∴OA ＝5.
∵OC ∶OA ＝2∶5，∴OC ＝2，∴C (0，－2)． ∵B (0，3)，BD ＝OC ，∴D (－2，3)．
将D (－2，3)代入y ＝a x ，得3＝a
－2，∴a ＝－6，
∴反比例函数的解析式为y ＝－6
x .
将A (5，0)，C (0，－2)代入直线y ＝kx ＋b ，得 ⎩⎨⎧5k ＋b ＝0，
b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝－2. ∴一次函数的解析式为y ＝2
5x －2； (2)x ＜0.理由： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ，
y ＝25x －2，
整理得x 2－5x ＋15＝0，
∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4×15＝25－60＝－35＜0， ∴一元二次方程x 2－5x ＋15＝0无实数根，
即反比例函数y ＝－6x 与一次函数y ＝2
5x －2无交点，
∴当x ＜0时，反比例函数y ＝－6x 的图象在一次函数y ＝2
5x －2的图象上方；
当x ＞0时，反比例函数y ＝－6x 的图象在一次函数y ＝2
5x －2的图象下方，
∴不等式a
x ＞kx ＋b 的解集是x ＜0.
人教版九年级下册数学第二十六章反比例函数单元测试题（有答案）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．已知反比例函数y＝的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣2，6）C．（﹣2，﹣6）D．（﹣3，﹣4）
2．若点A（1，y1）和点B（2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1和y2的大小关系是（）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
3．已知y＝（m+1）x m+2是反比例函数，则函数的图象在（）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
4．已知一次函数y＝kx﹣1和反比例函数y＝，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）
A．v＝B．v+t＝480C．v＝D．v＝
6．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
7．反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），则这个反比例函数的解析式为（）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴
正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（）
A．5B．6C．7D．8
9．如图，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一个顶点在反比例函数的图象上，若将菱形向下平移1个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数的解析式为（）
A．B．C．D．y＝﹣
10．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，边CD所在直线过点O，对角线BD∥
x轴交AC于点M，双曲线y＝过点B且与AC交于点N，如果AN＝3CN，S
＝，
△NBC 那么k的值为（）
A．8B．9C．10D．12
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．已知A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是．
12．如图，点M（2，m）是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，则k的值为．
13．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为．
14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A，则△BEC的面积是．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数y＝
﹣（k＞0，x＞0）的图象上，纵坐标分别为1和3，求k的值．
16．（8分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交
于第二、四象限的A，B两点，点A的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2．请直接写出答案：．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC ⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．
18．（8分）如图，直线y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象相交于点A、B，过点A作AC ⊥x轴，垂足为点C（﹣2，0），连接AC、BC．
（1）求反比例函数的解析式；
；
（2）求S
△ABC
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式﹣x+1＜的解集．
19．（10分）如图所示，直线AB与双曲线y＝交于A，B两点，直线AB与x、y坐标轴
分别交于C，D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（﹣3，m）
（1）分别求一次函数与反比例函数式．
（2）连接OB，在x轴上求点P的坐标，△AOP的面积等于△AOB的面积．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函
数y2＝（k≠0）的图象交于A、C两点，与x轴交于点D，过点A作AB⊥x轴于点B，
点O是线BD的中点，AD＝2，cos∠ADB＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当x为何值时，y1≥y2．
21．（12分）如图，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y ＝
的图象
交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝2
，
点B 的坐标是（m ，﹣4）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点E 在坐标轴上，且使得S △AED ＝2S △AOB ，求点E 的坐标．
22．（12分）已知平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数y
＝的图象上，过点A 的直线y ＝x +b 交x 轴于点B ．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求△OAB 的面积．
23．（14分）如图，一次函数y ＝﹣2x +8与函数y ＝（x ＞0）的图象交于A （m ，6），B （n ，2）两点，AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥x 轴于D
（1）求k 的值；
（2）根据图象直接写出﹣2x +8﹣＜0的x 的取值范围；
（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 坐标．
人教版九年级下册数学《第二十六章反比例函数》单元
测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【解答】解：A．把x＝3代入y＝得：y＝＝﹣4，即A项错误，
B．把x＝﹣2代入y＝得：y＝＝6，即B项正确，
C．把x＝﹣2代入y＝得：y＝＝6，即C项错误，
D．把x＝﹣3代入y＝得：y＝＝4，即D项错误，
故选：B．
2．【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点
又∵反比例函数y＝﹣在x＞0时，y随着x的增大而增大，且1＜2，
∴y1＜y2，
故选：A．
3．【解答】解：依题意有m+2＝﹣1，
解得m＝﹣3，
因而函数是y＝，
故函数经过第二、四象限．
故选：D．
4．【解答】解：当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限；
∵一次函数y＝kx﹣1与y轴交于负半轴，
∴D选项正确，
故选：D．
5．【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．
故选：A．
6．【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy＝10，
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故选：C．
7．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），∴k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．
8．【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D（x，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB（AAS），
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，
解得x＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣，
∴E（﹣，﹣4），
∴EH＝2﹣＝，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，
∴S
△CEB
＝CE•BM＝××4＝7；
故选：C．
9．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，如图，设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），
∴A（﹣a﹣a，a）
∵点A向下平移1个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣1），即（﹣a，a﹣1），
则，解得．
故反比例函数解析式是：．
故选：C．
10．【解答】解：设CN＝a，BM＝b，则AN＝3a，
设N（x，3a），B（x+b，2a），
则，解得：ax＝3，
∵N 在双曲线y ＝上，
∴k ＝3ax ＝3×3＝9，
故选：B ．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．【解答】解：∵A （1，y 1），B （2，y 2）两点在双曲线y ＝
上，
∴y 1＝m +3，y 2＝
∵y 1＞y 2，
∴m +3＞
∴m ＞﹣3
故答案为：m ＞﹣3
12．【解答】解：∵点M （2，m ）是函数y ＝x 与y ＝的图象在第一象限内的交点，
∴
解得k ＝4
故答案为：4
13．【解答】解：由题意可得：sh ＝3×2×1，
则s ＝．
故答案为：s ＝．
14．【解答】解：连接AE ，OA ，如图，
∵D 为AC 的中点，
∴S △AED ＝S △CED ，S △ABD ＝S △CBD ，
∴S △BCE ＝S △ABE ，
∵S △ABE ＝S △AOB ＝×|﹣2|＝1，
∴△BEC 的面积为1．
故答案为1．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．【解答】解：作AD⊥x轴于D，作BE⊥AD于E，如图，设A（k，1），B（，3）∵A、B点的纵坐标分别为1和3，
∴AD＝1，DE＝3，
∴AE＝2，
∵四边形AOCB为矩形，
∴∠OAB＝90°，
∵∠BAE+∠OAD＝90°，∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠BAE＝∠AOD，
∴Rt△ABE∽Rt△OAD，
∴＝，即＝，解得k＝或k＝﹣（舍去）
即k的值为．
16．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入一次函数y1＝﹣x+2得：
y1＝﹣1+2＝3，
即点A的坐标为：（﹣1，3），
把点A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝得：
3＝，
解得：k＝﹣3，
即反比例函数为y2＝﹣，
（2）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝﹣联立得：
，
解得：或，
即点A的坐标为：（﹣1，3），点B的坐标为：（3，﹣1），
由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2，
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．
17．【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，2），∴k＝2×2＝4；
（2）∵OB＝2AC，AC＝2，
∴OB＝4．
分两种情况：
①如果B（﹣4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得；
②如果B（4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得．
综上，所求a的值为或﹣1．
18．【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣x+1，得y＝2+1＝3，∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）由，解得，或，
∴B（3，﹣2），
＝×3×5＝7.5；
∴S
△ABC
（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞3时，直线y＝﹣x+1落在双曲线y＝的下方，
所以关于x的不等式﹣x+1＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞3．
19．【解答】解：（1）过A作AE⊥OC与E，
∵tan∠AOC＝，
∴设AE＝2x，OE＝3x，
∴AO＝＝x＝2，
∴x＝2，
∴AE＝4，OE＝6，
∴A（﹣6，4），
∴线AB与双曲线y＝交于A，B两点，
∴k＝﹣6×4＝﹣3m，
∴k＝﹣24，m＝8，
∴反比例函数式为y＝﹣，B（﹣3，8），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+12；
（2）设P（n，0），
∵△AOP的面积等于△AOB的面积，
∴|n |×4＝（4+8）×3，
∴n ＝±9，
∴P （9，0）或（﹣9，0）．
20．【解答】解：（1）∵在Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，AD ＝2
，cos ∠ADB ＝，
∴BD ＝AD •cos ∠ADB ＝2×＝2，
由勾股定理得，AB ＝＝＝4， ∵点O 是线段BD 的中点，
∴点A 的坐标为（1，4），点D 的坐标为（﹣1，0）．
把A （1，4）代入y 2＝，得反比例函数的解析式为：y 2＝．
把A （1，4），D （﹣1，0）代入y 1＝ax +b ，
得，解得， ∴一次函数解析式为y 1＝2x +2；
（2）由，解得，或，
∴C （﹣2，﹣2）．
由图象可知，当﹣2≤x ＜0或x ≥1时，一次函数y 1＝ax +b （a ≠0）的图象在反比例函数y 2＝（k ≠0）图象的上方，
∴当﹣2≤x ＜0或x ≥1时，y 1≥y 2．
21．【解答】解：（1）如图，作AH ⊥x 轴于H ．
在Rt △AOH 中，∵OA ＝2，tan ∠AOH ＝，
∴AH ＝2，OH ＝4，
∴A （﹣4，2），
∵A （﹣4，2）在y ＝的图象上，
∴k ＝﹣8，
∵B （m ，﹣4），在y ＝﹣的图象上上，
∴m ＝2，
把A 、B 坐标代入y ＝kx +b ，则
，
解得，
∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2．
（2）由y ＝﹣x ﹣2，令x ＝0，则y ＝﹣2；令y ＝0，则x ＝﹣2，
∴D （0，﹣2），C （﹣2，0），
∴S △AOB ＝S △AOD +S △BOD ＝×2×（4+2）＝6，
若点E 在x 轴上，设E （x ，0），则DE ＝|y ﹣（﹣2）|．
由S △AED ＝2S △AOB ，可得×|y ﹣（﹣2）|×（4+2）＝2×6．
解得x ＝2或﹣6，
∴点E 的坐标为（2，0）或（﹣6，0）；
若点E 在y 轴上，设E （0，y ），则CE ＝|x ﹣（﹣2）|．
由S △AED ＝2S △AOB ，可得×|x ﹣（﹣2）|×4＝2×6．
解得y ＝4或﹣8，
∴点E 的坐标为（0，4）或（0，﹣8）；
综上所述，点E 的坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，4）或（0，﹣8）．
22．【解答】解：（1）∵点A（2，5）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×5＝10
∴反比例函数解析式：y＝，
（2）∵点A在直线y＝x+b上，
∴5＝2+b
∴b＝3
∴一次函数解析式y＝x+3
∵直线y＝x+b交x轴于点B
∴点B（﹣3，0）
＝×3×5＝
∴S
△AOB
23．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象经过A（m，6），B（n，2）两点，∴﹣2m+8＝6，﹣2n+8＝2，
解得：m＝1，n＝3，
∵函数y＝（x＞0的图象经过A（m，6），B（n，2）两点，
∴k＝6，
（2）﹣2x+8﹣＜0，
即﹣2x+8＜，
由图象可知：x的取值范围为0＜x＜1或x＞3，
（3）设直线y＝﹣2x+8上点P的坐标为（x，﹣2x+8）．由△PCA和△PDB面积相等，
×AC×|y A﹣y P|＝×BD×|x B﹣x p|，即×1×[6﹣（﹣2x+8）]＝×2×（3﹣x），
解得：x＝2，
则y＝﹣2x+8＝4，
∴点P的坐标为（2，4）．
人教版九年级下数学第二十六章反比例函数单元练习题（含答案）
一、选择题
1.)函数y＝(a－2)是反比例函数，则a的值是()
A．1或－1
B．－2
C．2
D．2或－2
2.对于反比例函数y＝，当x＞1时，y的取值范围是()
A．y＞3或y＜0
B．y＜3
C．y＞3
D．0＜y＜3
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为()
A．
B．
C．
D．
4.对于反比例函数y＝(k≠0)，下列说法不正确的是()
A．它的图象分布在第一、三象限
B．点(k，k)在它的图象上
C．它的图象关于原点对称
D．在每个象限内y随x的增大而增大
5.下列两个变量x、y不是反比例函数的是()
A．书的单价为12元，售价y(元)与书的本数x(本)
B．xy＝7
C．当k＝－1时，式子y＝(k－1)中的y与x
D．小亮上学用的时间x(分钟)与速度y(米/分钟)
6.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是()
A．
B．
C．
D．
7.一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()
A．
B．
C．
D．
8.给出的六个关系式：①x(y＋1)；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤y＝；⑥y＝；其中y是x的反比例函数是()
A．①②③④⑥
B．③⑤⑥
C．①②④
D．④⑥
9.如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为(2,1)，则点B的坐标是()
A．(1,2)
B．(－2,1)
C．(－1，－2)
D．(－2，－1)
10.下列各变量之间是反比例关系的是()
A．存入银行的利息和本金
B．在耕地面积一定的情况下，人均占有耕地面积与人口数
C．汽车行驶的时间与速度
D．电线的长度与其质量
二、填空题
11.长方形的面积为100，则长方形的长y与宽x间的函数关系是____________．
12.某奶粉生产厂要制造一种容积为2升(1升＝1立方分米)的圆柱形桶，桶的底面面积s与
桶高h有怎样的函数关系式______________.
13.某种大米单价是y元/千克，若购买x千克花费了 2.2元，则y与x的表达式是________________．
14.已知反比例函数y＝的图象过点A(－2,1)，若点B(m1，n1)、C(m2，n2)也在该反比例函数图象上，且m1＜m2＜0，比较n1________n2(填“＜”、“＞”或“＝”)．
15.小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x成______比例函数，表达式为________．
16.三角形的面积一定，它的底和高成______比例．
17.若点A(1，m)在反比例函数y＝的图象上，则m的值为________．
18.已知y＝(a－1)是反比例函数，则a＝__________.
19.已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h＝____，这时h是a的______函数．
20.某工厂每月计划用煤Q吨，每天平均耗煤a吨．如果每天节约用煤x吨，那么Q吨煤可以多用y天，写出y与x的函数关系式为________________．
三、解答题
21.k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数．
22.已知反比例函数y＝(k≠0，k是常数)的图象过点P(－3,5)．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)判断点Q是否在图象上．
23.如果函数y＝k是反比例函数，求函数的解析式．
24.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比)．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
25.如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
(2)当砝码的质量为24 g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
(3)将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
26.湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
27.画出反比例函数y＝的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)根据图象指出x＝－2时y的值．
(2)根据图象指出当－2＜x＜1时，y的取值范围．
(3)根据图象指出当－3＜y＜2时，x的取值范围．
28.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例函数k是多少？
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－；(4)y＝－3；
(5)y＝；(6)y＝.
答案解析
1.【答案】A
【解析】∵函数y＝(a－2)是反比例函数，
∴a2－2＝－1，a－2≠0.
解得a＝±1.
故选A.
2.【答案】D
【解析】当x＝1时，y＝3，
∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，
∴在第一象限内y随x的增大而减小，
∴0＜y＜3.
故选D.
3.【答案】D
【解析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据图象发现当x ＝1时y＝a＋b＋c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝－＞0，
∴b＜0，
∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，
∴y＝bx＋a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，
反比例函数y＝图象在第二、四象限，
只有D选项图象符合．
故选D.
4.【答案】D
【解析】A.反比例函数y＝(k≠0)，因为k2＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，故本选项错误；
B．把点(k，k)，代入反比例函数y＝(k≠0)中成立，故本选项错误；
C．反比例函数y＝(k≠0)，k2＞0根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，是关于原点对称，故本选项错误；
D．反比例函数y＝(k≠0)，因为k2＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项正确．
故选D.
5.【答案】A
【解析】根据反比例函数的三种表达形式，即y＝(k为常数，k≠0)、xy＝k(k为常数，k≠0)、y＝kx－1(k为常数，k≠0)即可判断．
A．书的单价为12元，售价y(元)与书的本数x(本)，此时y＝12x，y与x成正比例，正确；B．y＝，符合反比例函数的定义，错误；
C．当k＝－1时，y＝－符合反比例函数的定义，错误；
D．由于路程一定，则时间和速度为反比例关系，错误．
故选A.
6.【答案】C
【解析】由反比例函数的图象可知，kb＜0，
当k＞0，b＜0时，
∴直线经过一、三、四象限，
当k＜0，b＞0时，
∴直线经过一、二、四象限，
故选C.
7.【答案】A
【解析】观察函数图象可知，a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选A.
8.【答案】D。