月考一

江苏省海头高级中学2020学年度高三第一次月考
数 学 试 卷 (文科)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5 分，共40分）
1、已知全集{
}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==Q P ，则)(Q C P U I 等于 A.{
}1 B.{}4,1 C.{}2,1 D.{}3,2 2、下列函数为奇数函数的是
A.2
x y = B. 3
x y = C. x
y 2= D. x y 2log = 3、对于直线l 和平面βα,，下列命题中，真命题是
A.若α∥β且l ∥β，则l ∥α
B.若,βαβ⊥⊂且l 则α⊥l
C. 若βαβ⊥⊥且l ，则l ∥α
D. 若l β⊥且α∥β，则α⊥l 4、已知向量=（4，5），=（ααcos ,sin ），且⊥，则αtan 等于
A ．4
5-
B ．5
4-
C ．
4
5 D ．
5
3 5、直线)2(+=x k y 与圆12
2
=+y x 有公共点，则常数k 的取值范围是
A.]3
3
,33[-
B. ]3,3[-
C. ),33[]33,(+∞--∞Y
D. ),3[]3,(+∞--∞Y 6、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,荐
535,9a a =则95
S
S =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．1
2
7、将函数sin()(0)y x ωω=>的图象向左平移6
π
个单位，平移后的图象如图所示，则平移 后的图象所对应的一个解析式是
A ．y=sin(x+π6 )
B ．y=sin(x －π
6 )
C ．y=sin(2x+π3 )
D ．y=sin(2x －π
3 )
8、函数⎩
⎨⎧≥<-+-=0,0
,33)(x a x a x x f x
（10≠>a a 且）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是
A.),1(+∞
B.]3
2
,0( C.)1,3
2[ D. )1,0(
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在题中横线上）
9、已知函数⎩⎨
⎧≤>=)0(2
)0(log )(3x x x x f x
，则 )]91
([f f = 10、己知等差数列{}n a 中,79416,1,a a a +==则12a =____________.
11、已知向量a r 与b r 的夹角为ο
60，||2,||3a b ==r r ，则 ||a b -=r r 。

12、已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则 y x z 42+=的最小值为 。

13、偶函数()f x 在（－∞,0）上单调递减,如果()()1lg f f x -<,则x 的取值范围是________. 14、设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针
方向旋转ο
90得到直线2l ，则2l 的方程是 。

15、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸
（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是 。

16、给出下列四个命题:
①若z ∈C,2
2
z z =,则z ∈R; ②若z ∈C,z z =-,则z 是纯虚数;
③若z ∈C,2z zi =,则z=0或z=i ; ④若121212,,z z C z z z z ∈+=-则120z z =. 其中真命题的个数为 。

第13题
左视图
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数 学 试 卷
9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 。

三、解答题（共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知2
()sin 2f x x x =+
（1）求()f x 的最小正周期，及单调减区间； （2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值.
学校 姓名 班级 考试号 座位号
18、（本题满分12分）
要建一间地面面积为202m ，墙高为m 3的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。

已知含门一面的平均造价为300元2
/m ，其余三面的造价为200元2
/m ，屋顶的造价为250元2
/m 。

问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？ 19、（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，
3,1===AB AD PA ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

⑴ 求三棱锥PAB E -体积；
⑵ 当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由；
⑶ 求证：AF PE ⊥
P
F
E
D
C
B
A
20、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分） 已知曲线2
2
:2(410)10200C x y kx k y k ++++++=，其中1k ≠-； (1)求证：曲线C 都是圆，并且圆心在同一条直线上；
(2)证明：无论k 为何值，曲线C 过定点； (3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值.
21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知等比数列{}n a 的通项公式为1
3-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有
11a b +22a b +33a b +┅+n
n a b =n 2+1恒成立. （1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）求+++321b b b ┅+2005b 的值.
22、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
设函数()log (3)(01)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =
(2,)
Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点。

（1）求出函数()y g
x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -≤，试确定a 的取值范围。

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9、 -4 ； 10、 15 ； 11 12、 -6 ；
13、 ； 14、 ；
15 16、 1 。

三、解答题（共6小题，满分80分. 17、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知2
()sin 2f x x x =+
（1）求()f x 的最小正周期，及单调减区间；
（2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值. 解：（1）∵()2sin 2f x x x =++1
2(
cos 2sin 2)22
x x =⨯+2cos(2)6
x π
=-+4分
∴()f x 的周期是π，单调递减区间是7[]12
12
k x k π
π
ππ+≤≤+
，k Z ∈。

……6分 (2) 当[0,]2
x π
∈时,526
6
6
x π
π
π
-
≤-
≤
. …………………………………8分 所以当12
x π
=
时, ()f x 取到最大值2+;
220x y -+=1010x x ><或
当2
x π
=
时, ()f x 取到最小值0。

………………………………………12分
18、（本题满分12分）
要建一间地面面积为202
m ，墙高为m 3的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。

已知含门一面的平均造价为300元2
/m ，其余三面的造价为200元2
/m ，屋顶的造价为250元2
/m 。

问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？
解：设地面矩形在门正下方的一边长为xm ，则另一边的长为m x
20
………2分 设总造价为y 元，则
)0)(16
(15005000)20020232003(300325020>++=⋅⋅
⋅+⋅+⋅+⋅=x x
x x x x y …………………………………………………………………………………7分
因为 816
216=⋅≥+
x x x x 当且仅当x
x 16
= （)0>x 即4=x 时 取“=”…………………………9分
所以，当4=x 时y 有最小的值,17000此时520
=x
……………………11分
答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为m 4，另一边的长为m 5时，能使总造价最低
造价为17000元。

……………………………………………12分。

19、（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，
3,1===AB AD PA ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

⑴ 求三棱锥PAB E -体积；
⑵ 当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说
明理由；
⑶ 求证：AF PE ⊥ 解：（1）ΘABCD PA 平面⊥，
6
3131213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=
=∴∆--PA S V V ABE ABE P PAB E ……4分
（2）当点E 为BC 的中点时，PAC EF 平面||。

…………5分
理由如下：
Θ点F E ,分别为CD 、PD 的中点， ∴PC EF ||。

ΘPAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄
PAC EF 平面||∴…………………………………………8分 （3）ΘABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂ PA CD ⊥∴
P
F
E
D C
B
A
是矩矩形ABCD Θ，AD CD ⊥∴ A AD PA =⋂Θ，PAD CD 平面⊥∴
PAD AF 平面⊂Θ DC AF ⊥∴…………………………………10分 AD PA =Θ，点F 是PD 的中点 PD AF ⊥∴ 又D PD CD =I PDC AF 平面⊥∴
PDC ，PE 平面⊂Θ AF PE ⊥∴………………………………12分 20、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分） 已知曲线2
2
:2(410)10200C x y kx k y k ++++++=，其中1k ≠-；
(1)求证：曲线C 都是圆，并且圆心在同一条直线上； (2)证明：无论k 为何值，曲线C 过定点； (3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值.
解：（1）∵ 22
2(410)10200x y kx k y k ++++++=
∴2
2
2
()(25)21x k y k k k ++++=++
∵1k ≠-，∴2
210k k ++>
∴曲线C 都是圆；………………………………2分
设圆心坐标为(,)x y 则25
x k
y k =-⎧⎨
=--⎩
∴圆心在直线25y x =-上………………………………4分
(2) ∵ 22
2(410)10200x y kx k y k ++++++=
∴22
1020(2410)0x y y x y k ++++++=………………………………6分 ∵1k R k ∈≠-且
∴2210200250x y y x y ⎧+++=⎨++=⎩
∴1
3
x y =⎧⎨
=-⎩
∴无论k 为何值，曲线C 过定点（1，-3）………………………………9分 (3)若曲线C 与x 轴相切,则22
(25)21k k k +=++
∴24k k =-=-或……………………………………………………………14分
21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知等比数列{}n a 的通项公式为1
3-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有
11a b +22a b +33a b +┅+n
n a b =n 2+1恒成立. （1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）求+++321b b b ┅+2005b 的值.
解：（1）Θ对任意自然数n ，有
11a b +22a b +33a b +┅+n
n a b
=n 2+1 ① ∴当n =1时，31
1
=a b ,又11=a ，∴31=b ； ……… 2分 当2≥n 时，
11a b +22a b +33
a b +┅+1
1--n n a b =n 2-1 ② ∴②-①得 2=n
n a b ； 1
322-⨯==n n n a b ；……… 6分
∴⎩⎨
⎧≥⨯==)
2( 321)(
31
-n n n b n 。

……… 7分
（2）+++321b b b ┅+2005b
=)3
23232(32004
2
⨯++⨯+⨯+Λ
=)13
(332004
-+=2005
3………………………………………… 14分 22、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
设函数()log (3)(01)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =的图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点。

（1）求出函数()y g x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -≤，试确定a 的取值范围。

解：（1）设''(,)Q x y ，则''''
22x x a x x a y y y y ⎧⎧=-=+⎪⎪
⇒⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩
，又log (3)a y x a =-， 则''
log (23)a y x a a -=+-，所以()log ()a g x x a =--。

…………………… 8分
（2）|()()||log (3)log ()|1a a f x g x x a x a -=-+-≤，定义域为30
(3,)0x a x a x a ->⎧⇒∈+∞⎨
->⎩
，又[2,3]x a a ∈++，则有23101a a a a +>⇒<⇒<<，…………………… 10分
所以|()()||log (3)()|1a f x g x x a x a -=--≤
1log (3)()1,[2,3]a x a x a x a a ⇒-≤--≤ ∈++，…………………… 12分
令2222
()(3)()43(2)u x x a x a x ax a x a a =--=-+=--
22()a a u x <+ ∴Q 在区间[2,3]a a ++上单调增，1()a u x a
∴≤≤
2222
439011243x ax a a
a x ax a a ⎧-+≥⎪
∴⇒<≤⎨-+≤
⎪⎩
……………………………………… 16分。