山东省枣庄市坊上中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

山东省枣庄市坊上中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a＞b，则下列不等式正确的是（）
A．B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
参考答案：
B
【考点】不等关系与不等式．
【专题】证明题．
【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
2. 若函数x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()
A．1＋ B． 1＋ C． 4 D． 3
参考答案：
D
3. 设实数a使不等式|2x－a|＋|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合
是
( )
A. [-,]
B.
C.
D.
参考答案：
A
4. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）
A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙
C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙
参考答案：
B
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．
【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，
所以甲＜乙．
甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙
故选：B．
5. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】确定直线位置的几何要素．
【专题】数形结合．
【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a 与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．
【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选C．
【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．
6. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．至多有一次中靶B．只有一次中靶
C．两次都中靶D．两次都不中靶
参考答案：
D
略
7. 在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
B 略
8. 正四棱锥的所有棱长相等，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于
．
参考答案：
9. 已知向量a，b，若a∥b，则= ( ）
A． B．4 C．
D．16
参考答案：
C
10. 设函数是定义在R上周期为3的奇函数，若，则有
A .且 B. 或
C. D.
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是___________
参考答案：
．
考点：直线的斜率．
专题：计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
分析：由直线方程求得直线所过定点P ，然后求得PA ，PB 的斜率得答案． 解答：解：由y=k （x+1）+3，得直线y=k （x+1）+3过定点P （﹣1，3）， ∵A（2，﹣5），B （4，﹣2）， ∴k PA =﹣，k PB =﹣1．
∴满足直线y=k （x+1）+3与线段AB 有公共点的k 的取值范围是． 故答案为：．
点评：本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题 12. 直角坐标系下点(－2,－2)的极坐标为
______.
参考答案：
【分析】
由
，
将直角坐标化为极坐标。

【详解】，，又因为位于第三象限且，
所以，所以极坐标为
【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化，解题的关键是注意角的取值范围，属于基础题。

13. 设
，若
的夹角为锐角，则
的取值范围是
参考答案：
14. 双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为
F
1、F 2，若在C 上存在一点P ，使得
|PO|=|F 1F 2|（O 为坐标原点），且直线OP 的斜率为
，则，双曲线C 的离心率为 ．
参考答案：
+1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意可知|PO|=|F 1F 2|判断出∠F 1PF 2=90°，直线OP 的斜率为
，可求出出|PF 2|=
c ，
则|F 1P|=c ，进而利用双曲线定义可用c 表示出a ，最后可求得双曲线的离心率．
【解答】解：∵|PO|=|F 1F 2|， ∴|OF 1|=|OF 2|=|OP| ∴∠F 1PF 2=90°， ∵直线OP 的斜率为，
∴∠POF 1=60°， ∴|PF 1|=c ，|PF 2|=c ， ∴
c ﹣c=2a ，
∴==+1
∴e=
+1．
故答案为：
+1
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．
15. 在△ABC 中，若a ＝3，b ＝，∠A＝，则∠C 的大小为________．
参考答案：
16. （5分）按边对三角形进行分类的结构图，则①处应填入 _________ ．
参考答案：
等边三角形 17. 函数
的定义域为_______________
参考答案：
[－2,2) 【分析】
根据函数成立的条件，列出不等式，即可求出函数的定义域。

【详解】要使函数有意义，则，解得：，
故函数的定义域为
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
参考答案：
【考点】等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是3×5=15，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a
若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为．
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分
由得交点坐标为，
∴所求事件的概率为．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件
的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．
19. 已知分别是△ABC中角的对边,
(1)求角B的大小;
(2)若,求的值.
参考答案：
解：(1)由余弦定理有:∴
(2)由,根据正弦定理有(R为△ABC外接圆半径)
即,又∴
∴整理有∴
略
20. 抛物线（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点. （1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），比较x0与3p大小；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，求++…+的值.
参考答案：
解：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.
得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.
令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，
AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y－=－（x－）.
令y=0，得x0==p+.由上可知0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.
（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，….
∴点N n的坐标为（p+，0）.
|N n N n+1|=|（p+）－（p+）|=，=，
所求的值为［p3+p4+…+p21］=，因为0<k2<1，所以0<P<1
21. （本题12分）. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在ABC中，已知，，，求角A.
经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案是唯一确定的，试将条件补充完整，并说明理由.
参考答案：
（1）
，-------5分
检验：又，且，
----------------10分
检验：又，且，所以--12分
22. （本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
参考答案：
解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．…………6分
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，………10分故．…12分
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，，
，．……10分
于是，．…………12分略。