山东省武城县第二中学高中数学《第二章 平面向量》单

必修4第二章《平面向量》复习题一
(本卷共150分，考试时间120分钟)
一、选择题（ 12 小题，每小题 5分）
1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →
等于( )
A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →
2.在四边形ABCD 中，DC AB =，且|AB |＝|BC |，那么四边形ABCD 为
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．长方形
D ．正方形 3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为
A ．（2，2）
B ．（－6，0）
C ．（4，6）
D ．（－4，2） 4.有下列命题：①AC BC AB ++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若AB 的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则BA 与x 轴正向所夹角的余弦值是
5
4
.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③ C ．②④
D ．③④
5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于
A ．（－1，
25） B ．（1，－2
5
） C ．（－4，10） D ．（4，－10）
6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为
3
π
时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23 7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为
A ．－6
B ．6
C ．3
D ．－3 8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于
A ．（－
51,1511） B ．（－1511
,51） C ．（－51,154） D ．（5
1
,154）
9.等边△ABC 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于
A ．0
B ．1
C ．－21
D ．－2
3
10.把函数y ＝31
2-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为
A ．y ＝372+x
B ．y ＝352-x
C ．y ＝392-x
D ． y ＝3
32+x
11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．0
12. 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
二、填空题（ 4小题，每小题 4分）
13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝ .
14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 . 15.在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________． 16.已知向量a 、b 的夹角为3
，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 三、解答题：（共74分） 17.（本小题满分10分）
已知A （4，1），B （1，－2
1），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x .
已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值.
19.（本小题满分12分）
已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
20. (2011年高考天津卷改编)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是
腰DC 上的动点，求|PA →＋3PB →
|的最小值．
设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且OA ＝－2i ＋m j ，OB ＝n i ＋j ，OC ＝5i －j ，OA ⊥OB ，求实数m 、n 的值.
22.（本小题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．
(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →
的夹角．
必修4第二章《平面向量》复习题一答案 (本卷共150分，考试时间120分钟)
一、选择题（ 12 小题，每小题 5分）
1．解析：选B.AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →
＝0.
2.解析：由AB ＝DC 可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB |＝|BC |得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
答案：B
3.解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），DC ＝（－1－x ，3－y ），
AD ＝（x ＋2，y －1），BC ＝（－4，－1）. 又∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0， 解得x ＝－6，y ＝0. 答案：B
4.解析：∵AC AC BC AB 2=++，∴①错. ②是数量积的分配律，正确.
当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错.
在④中，BA ＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是
5
4
，故④正确. 答案：C
5.解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D. 答案：D
6.解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：
a ·e ＝|a ||e |cos
3π＝8×1×2
1
＝4. 答案：B
7.解析：∵a ⊥b ∴a ·b ＝0
又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ） ∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0
得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2
=1 解得k ＝6. 答案：B
8.解析：b ＝（x －1，3x －2） ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0
即3（x －1）＋4（3x －2）＝0， 解得x ＝
15
11. 答案：C
9.解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a
＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－2
3. 答案：D
10.解析：把函数y ＝
3
1
2-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可
得y －2＝
3
1
)1(2-+x . 整理得y ＝3
7
2+x
答案：A
11.解析：∵a 与b 共线 ∴a ＝λb （λ∈R ）， 即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），
∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0 ∵e 1、e 2不共线. ∴⎩
⎨
⎧=-=-010
k k λλ
解得k ＝±1，故选A. 答案：A
12. 解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →
＝b －c . ∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1.
又∵a ·b ＝－1
2
，
∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－1
2
，
∴cos ∠AOB ＝－1
2
.∴∠AOB ＝120°.
又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，
∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，
∴|OA |＝1
2
|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.
13.解析：AB AC BC -=＝b －a ， ∴MN ＝313
1
=BC （b －a ）. 答案：
3
1
（b －a ） 14.解析：∵（a －b ）2
＝7
∴a 2－2a ·b ＋b 2
＝7 ∴a ·b ＝3 ∴cos θ＝2
1
||||=⋅b a b a
∴θ＝
3π. 答案：3
π
15.解析：因为四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →
，
设D (x ，y )，又∵AB →＝(8,8)，DC →
＝(8－x,6－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－x ＝86－y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝－2，所以D 点的坐标为(0，－2)． 答案：(0，－2)
16.解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos
3π＝2×1×2
1
＝1 ∴|a +b |2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝22
＋2×1＋12
＝7，
|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22
－2×1＋1＝3
∴|a ＋b |2|a －b |2
＝3×7＝21 ∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21
17.（本小题满分10分） 解：∵AB ＝（－3，－2
3），BC ＝（x －1，－1） 又∵AB ∥BC
∴根据两向量共线的充要条件得－2
3
（x －1）＝3 解得x ＝－1.
18.（本小题满分12分）
解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3 ∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0 即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0
∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2
＝0 ∴27m ＋3（5m －3）－20＝0 解得m ＝
42
29. 19.（本小题满分12分） 解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0， （a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，
即7a 2＋16a ·b －15 b 2
＝0 ①
7a －30a ·b ＋8 b 2
＝0 ②
①－②得2a ·b ＝b 2
代入①式得a 2＝b 2
∴cos θ＝
2
1||21||||22==⋅b b b a b a ， 故a 与b 的夹角为60°.
20. 解：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .
∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →
＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →
＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2
≥25， ∴|PA →＋3PB →
|的最小值为5.
法二：设DP →＝xDC →
(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12
DA →，
∴PA →＋3PB →＝52
DA →＋(3－4x )DC →，
|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52
×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2
≥25，
∴|PA →＋3PB →
|的最小值为5. 21.解：∵⊥， ∴－2n ＋m ＝0 ①
∵A 、B 、C 在同一直线上，
∴存在实数λ使＝λ，
＝－＝7i ＋［－（m ＋1）j ］
＝－＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，
∴7＝λ（n ＋2） m ＋1＝λ（m －1）
消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0 ②
由①得m ＝2n 代入②解得
m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝
2
3. 22.解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →
＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →
＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
得cos 2＋sin 2
α－3(cos α＋sin α)＝－1，
∴cos α＋sin α＝2
3，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →
|＝13，
∴(3＋cos α)2＋sin 2
α＝13，∴cos α＝12
，
∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，32，
∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，
则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|
＝33
23＝3
2.
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝π
6即为所求的角.。