【备课精选】2012年高中数学苏教版必修四教案1.3.1《三角函数的周期性》

第 8 课时：§1.3.1 三角函数的周期性
【三维目标】：
一、知识与技能
1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

2.了解周期现象在现实中广泛存在；感受周期现象对实际工作的意义；
3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

二、过程与方法
1.从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

2.通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

三、情感、态度与价值观
1. 培养数学来源于生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

2.通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

【教学重点、难点与关键】：
重点：周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性
难点：周期函数的概念的理解
关键：通过实例分析来认识周期和周期函数
【学法与教学用具】：
1.学法：数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

2.教学用具：实物、图片、投影仪
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

【问题】：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k 时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性．不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性．
●如何用数学语言刻画函数的周期性？
二、研探新知
1.周期函数定义
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足
()()f x T f x +=
那么函数()f x 就叫做周期函数，非零的常数T 叫做这个函数的周期．
【注意】：
①T 是非零常数。

②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。

③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。

理解定义时，要抓住每一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行
④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么T 2也是)(x f y =的周期.这是因为)()()]([)2(x f x t f x T T f x T f =+=++=+，若T 是)(x f y =的周期，,0≠∈k Z k 且则kT 也是)(x f 的周期.即2π是函数x y x y cos sin ==和的周期，那么x y x y k Z k k cos sin )0(2==≠∈和也是且π的周期. 如：),4
sin()24sin(πππ=+Λ),43sin()243sin(πππ=+ 【思考】：
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+
=，能否说23
π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？
（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ） 2.最小正周期的概念.
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫()f x 的最小正周期.
注意：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数)(t f y =的周期4=T .
3.三角函数的周期
【思考】：正弦函数x y sin =是周期函数吗？即能否找到非零常数T ，使x x T sin )sin(=+成立？[x x sin )2sin(=+π，x x sin )4sin(=+π，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）]
用几何画板展示周期函数x y sin =的图象，使学生感知其特征。

函数x y sin =的周期中，2π，－2π，4π，－4π，…，存在最小正数2π，那么，2π就是x y sin =的最小正周期.
【讨论】：(1)余弦函数x y cos =和正切函数x y tan =也是周期函数，并找出它们的周期。

函数x y cos =的最小正周期也是2π，x y tan =的最小正周期也是π。

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期
(2)是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1若钟摆的高度)(mm h 与时间)(s t 之间的函数关系如图1-3-1所示，（1）求该函数的周期；（2）求s t 10=时钟摆的高度。

例2求函数x x f 2cos )(=的周期
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，且)0,0>≠ωA ，的周期=T |
2ωπ. 四、巩固深化，反馈矫正
1.求下列函数的周期：
（1）sin 3y x =，x R ∈； （2）cos 3
x y =，x R ∈； （3）3sin 4x y =，x R ∈； （4）sin()10
y x π=+，x R ∈；
（5）cos(2)3y x π=+，x R ∈； （6）1)24
y x π=-，x R ∈． 五、归纳整理，整体认识
通过这节课的学习，你有哪些收获？
1.周期函数、最小正周期概念。

2.函数x y sin =和函数x y cos =是周期函数,且周期均为2π.
3.函数x y tan =是周期函数,且周期均为π.
4. 周期函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y (其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA )的周期的求法。

六、承上启下，留下悬念
1.求下列函数的周期
（1）y=sin
R x x ∈,43 （2）y=cos R x x ∈,4 （3）y=21sin R x x ∈,5 （4）y=3sin （R x x ∈+),3121π 2.预习三角函数的图象和性质
七、板书设计（略）
八、课后记：。