可交换矩阵几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质
在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵.
§1 矩阵可交换成立的几个充分条件
定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换。

(2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换。

(3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换。

(4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换。

(5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换。

(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换。

(7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换。

(8)设E AB =,则A ,B 可交换.
证 (1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换。

(2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换。

(3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换。

(4),(5)显然成立。

(6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换。

(7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换。

(8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数, 则A ,B 可交换,
(2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换.
证 (1)由B A AB βα+=可得E E B E A αβαβ=--))((,即
E E B E A =--))((1αβαβ,故依定理 1.1(8)得E E A E B =--))((1βααβ,于是E E B A BA αβαββα=+--,所以
AB B A BA =+=βα。

(2)由E AB A m =+α得E B A A m =+-)(1α,故依定理1.1(8)得E A B A m =+-)(1α,于是E BA A m =+α,所以可得BA AB =.
定理1.3(1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换。

(2)设A ,B 均可逆,若对任意实数k ,均有B kE A A )(-=,则A ,B 可交换. 证 (1)若O AB =,由A 可逆得O AB A B A A B ===--)()(11,从而O BA =,故BA AB =。

若AB A =,同理可得E AB A B A A B ===--)()(11,故BA AB =。

若BA A =,则E A BA AA B B ===--11)()(,故BA AB =.
(2)因A ,B 均可逆,故由B kE A A )(-=得kE A -可逆,且A kE A B 1)(--=,则
,))(())((])[()(])[(])[(''1
''''1'''''1
'''''1'''A B kE A kE A A B kE A kA A A B kE A A kE A B A kE A B kE A B A =--=--=--=--=----
两边取转置可得BA AB =.或由
,)
(])[()()()
()(])[(])[(111112*********--------------=--=--=--=--=A B kE A A kE A B kE A kA A B kE A A kE A B A kE A B kE A B A
两边取逆可得BA AB =.
§2 矩阵可交换成立的几个充要条件
定理2.1下列均是A ,B 可交换的充要条件:
(1)***)(B A AB =。

(2)''')(B A AB =。

(3)))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-。

(4)2222)(B AB A B A +±=±.
证 (1))⇐因为***)(B A AB =,两边同时取伴随矩阵可得BA AB =。

)⇒因为BA AB =,两边同时取伴随矩阵可得***)(B A AB =。

(2))⇐因为''')(B A AB =,两边取转置可得BA AB =。

)⇒因为BA AB =,两边取转置可得''')(B A AB =。

(3))⇐因为22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,))((22B A B A B A -+=-, 所以BA AB =。

同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证BA AB =,
)⇒因为BA AB =,且22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,
所以))((22B A B A B A -+=-。

同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证))((22B A B A B A -+=-。

(4))⇐因为222)(B BA AB A B A -±±=±,又由条件知2222)(B AB A B A +±=±,所以BA AB =。

)⇒因为BA AB =,222)(B BA AB A B A -±±=±,所以2222)(B AB A B A +±=±。

定理2.2可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是111)(---=B A AB . 证 )⇐因为111)(---=B A AB ,两边取逆可得BA AB =。

)⇒因为BA AB =,两边取逆可得111)(---=B A AB 。

定理2.3(1)设A ,B 均为(反)对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵。

(2)设A ,B 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.
证 (1)设A ,B 均为对称矩阵,由定理2.1(2)AB B A AB ==''')(,因此AB 为对称矩阵。

若A ,B 均为反对称矩阵,则AB B A B A AB =--==))(()(''',因此AB 也为对称矩阵.
(2)若A ,B 中有一个为对称矩阵,不妨设A 为对称矩阵,则B 为反对称矩阵,则
,)()('''AB B A B A AB -=-==
因此AB 为反对称矩阵.
定理2.4设A ,B 均为对称正定矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称正定矩阵.
证 充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.
因A ,B 为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P ,Q ,使'PP A =,'QQ B =,于是
''QQ PP AB =,'''1))((Q P Q P ABP P =-
所以ABP P 1-为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB 与ABP P 1-相似,从而AB 的特征值也全为正数,因此AB 为对称正定矩阵.
§3 可交换矩阵的一些性质
定义3.1(1)幂等矩阵:若A 为矩阵,且A A =2,则A 幂等矩阵.
(2)幂零矩阵:若A 为矩阵,且)(*Z k O A k ∈=,则A 为幂零距阵.
(3)幂幺矩阵:若A 为矩阵,且E A k =,E 为单位矩阵,则A 为幂幺矩阵.
性质3.1设A ,B 可交换,则有:
(1)))(B ()
B )((1-m 211-m 21B A B A
A B A A B A B A m m m m m m -+⋯++=+⋯++-=-----。

(2)∑=-=+n
k k k n k n
n B A C B A 0)((矩阵二项式定理). (3)A B AB m m =,k k k B A AB =)(,l l BA B A =,其中l k m ,,都是正整数。

(4)A B f B Af )()(=,其中)(B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换。

证 (1)对m 用数学归纳法可证得.
当1=m 时,明显成立.
假设当k m =时,有
),)((121---+⋯++-=-k k k k k B B A A B A B A
下证当1+=k m 时结论也成立.
),
)(())()(()
)()(()
)((1121121111B A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B A B B A A B A B A k k k k k k k k k k k k k k -+⋯++=-+⋯++-=+⋯++--=+⋯++-=---------++
故对一切正整数m ,结论成立.
(2)用数学归纳法
当1=n 时,B A B A B A +=+=+111)(,结论成立.
假设当k n =时,有
,C )(11-k k 11k k k k k k B AB
B A
C A B A ++⋯++=+-- 下面证当1+=k n 时结论也成立.由BA AB =得i j j i A B B A =,于是
,)(C )1())(C ()()()(111i k 1111-k k 111+-+-+--++⋯+++⋯+++=+++⋯++=++=+k i i k i k k k k k k k k k k k B B A C B A C A
B A B AB
B A
C A B A B A B A 而i k i k i k C i k i k i k i i k i k k i k i k i k i k C C 11)!
1(!)!1()!1(!!)1(!)!1()!1(!)!(!!+-=-++=-++-+=-+-+-=+. 所以11k 1111C )(+++++++⋯++=+k k k k k k k B
AB B A C A B A . 故对一切正整数n ,二项式定理成立.
（3）由BA AB =可得
A B A B BB B B m m )1(=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=-
个
个个m m m BB BA BB A AB , 同理可证k k k B A AB =)(,l l BA B A =.
(4)由(3)可证得.
性质3.2设A ,B 可交换,
(1)若A ,B 均为幂等矩阵,则AB ,AB B A -+也为幂等矩阵。

(2)若A ,B 均为幂零距阵,则AB ,B A +均为幂零距阵。

(3)若A ,B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵。

证 (1)由BA AB =,A A =2,B B =2,AB B A AB ==222)(,及
,
222222)()(222222AB B A AB AB AB AB B A BAB
B A AB AB B A AB B A -+=--+++=--+++=-+
即可证得。

(2)设O A k =,O B l =,取},max{l k h =,则O B A AB h h h =)(,即AB 为幂零距阵。

令
1-+=l k m ,则O B A C B A m
k k k m k m m
==+∑=-0)(,所以B A +为幂零距阵. (3)由BA AB =,E A k =,E B k =,E E B A AB k k k ===2)(可证得。

性质3.3设A ,B 可交换,若A ,B 分别为n 阶Hermite 正定矩阵和非负定矩阵,则AB 为Hermite 非负定矩阵。

证 因为AB BA A B AB H H H ===)(,所以AB 是Hermite 矩阵.
又因为0>A ,所以存在n 阶可逆Hermite 矩阵C 使2C A =.于是
,)(1BC C CBC C AB C H ==-
则AB 与BC C H 具有相同的特征值.由0≥B 知0≥BC C H ,故BC C H 的特征值均为非负数,从而AB 的特征值均为非负数.即0≥AB .
性质 3.4(1)AB 与BA 的特征多项式相等,即)()(λλBA AB f f =,从而AB 与BA 的特征值也相同(包括重数也一致).
(2)多项式||AB E +λ与||BA E +λ相等,即||||BA E AB E +=+λλ. 推论3.4.1(1)AB E -与BA E -的特征多项式相等.
(2)AB E +与BA E +的特征多项式相等.
证 因为|)1(||)(|AB E AB E E +-=+-λλ,|)1(||)(|BA E BA E E +-=--λλ,由性质3.4可知|)1(||)1(|BA E AB E +-=+-λλ,所以|)(||)(|BA E E AB E E --=--λλ. 同理可证|)(||)(|BA E E AB E E +-=+-λλ.
推论3.4.2(1)A AB -与A BA -的特征多项式相等.
(2)A AB +与A BA +的特征多项式相等.
证 (1)因为)(E B A A AB -=-,A E B A BA )(-=-.根据性质 3.4知)(E B A -与A E B )(-的特征多项式相等,故A AB -与A BA -的特征多项式相等. 同理可证A AB +与A BA +的特征多项式相等.
性质3.5(1)矩阵AB E +λ与BA E +λ的秩相等)0(≠λ,即秩)(AB E +λ=秩)(BA E +λ.
特别地,秩)(AB E +=秩)(BA E +.
(2)AB 与BA 的特征矩阵的秩相等)0(≠λ,即秩)(AB E -λ=秩)(BA E -λ.特别地, 秩)(AB E -=秩)(BA E -.
性质3.6若A ,B 中有一个是可逆的,则AB 与BA 相似.
证 不妨设A 可逆,由A AB A BA )(1-=知,AB 与BA 相似.
性质3.7(1)AB 与BA 同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵.
(2)||||BA AB =.
(3)AB 与BA 的迹相等,即)()(BA tr AB tr =.
性质3.8(1)BA AB -不可能相似于)0(≠k kE .
(2)对可逆矩阵A ,不可能有A BA AB =-.
证 (1)因为0)()()(=-=-BA tr AB tr BA AB tr ,而0(≠=kn kE tr (当0≠k 时),由于相似矩阵的迹相等,所以BA AB -不可能相似于非零矩阵kE .
(2)若存在可逆矩阵A ,使A BA AB =-则E BA A B =--1,于是E B BA A -=-1,即B 与E B -相似,从而)()()(B tr n B tr E B tr =-=-这是不可能的.
性质3.9(1)设A ,B 同为(反)对称矩阵,则BA AB +是对称矩阵,BA AB -是反对称矩阵.
(2)设A ,B 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则BA AB +是反对称矩阵,BA AB -是对称矩阵.
推论3.9.1(1)设A ,B 同为实(反)对称矩阵,则BA AB -的特征值的实部为零.
(2)设A ,B 有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则BA AB +的特征值的实部为零.
证 (1)由性质3.9(1)知BA AB -是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数,所以BA AB -的特征值的实部为零.
同理可证(2).
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社，2003.
[2]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.
[3]戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J].华东地质学院学报.2002:353-355.
[4]闫家灏,赵锡英.可交换矩阵[J].兰州工业高等专科学校学报.2002:51-54.
[5]李瑞娟,张厚超.可交换矩阵浅析[J].和田师范专科学校学报.2009:199-200.。