2021年天津高考数学模拟仿真试卷(十一)(含答案)

2021年天津高考数学模拟仿真试卷（十一）
第I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：
·如果事件与事件互斥，那么． ·如果事件与事件相互独立，那么． ·球的表面积公式，其中表示球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}
12A x x =-<，{}1,0,1,2B =-，则A B 等于
A ．{}0,1,2
B ．
1,0,1,2
C ．{}1,0,2,3-
D ．{}0,1,2,3
2．设命题:22x p <，命题2:1q x <，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．函数()2
(
1)cos 1x
f x x e
=-+（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是 A ． B ．
C ．
D ．
4．已知向量a ，b 满足||3a =，||2b =，且
34(,)55
a b a b -=，则||a b -=
A
B ．2
C
．D ．3
5．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、1
4
，则密码被译出的概率为 A ．0.05
B ．0.4
C ．0.45
D ．0.6
6．已知定义在R 上的函数2()cos f x x x =-，若0.3(3)a f =，(log 3)b f π=，31(log )9
c f =，则a ，b ，
c 的大小关系是
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
7
．若棱长为 A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．144π
8．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=
6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 9．设函数()()2
,0
24,0
x x
x e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =﹣恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 A ．(0，2)
B ．(0，2]
C ．(2，+∞)
D ．[2，+∞)
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10． i 是虚数单位,若
21ai
i
++是纯虚数,则实数a 的值为______. 11
．已知二项式n
的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x
的系数为________．
12．直线3y x b =+与函数() x
f x e x =+相切，则实数b =______.
13．已知0a >，0b >且1a b +=，则31
1a b
++的最小值为____________. 14．设服从(),X
B n p 的随机变量X 的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 的值为
________，p 的值为_______．
15．已知函数2020
sin ,
01()log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨
>⎩，若实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++ 的取值范围是_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足()2cos cos 0c a B b A --=．
（1）求角B 的大小；
（2）若2b =，且()sin sin 2sin 2B C A A +-=，求ABC 的面积.
17．（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AB AD ⊥，
1DC AD ==，2AB =，45PAD ∠=︒，E 是PA 的中点，F 在线段AB 上，且满足0B C D F ⋅=.
（1）求证：DE 平面PBC ； （2）求二面角F PC B --的余弦值；
（3）在线段PA 上是否存在点Q ，使得FQ 与平面PFC
，若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.
18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11
·()3n n n n S S a n N n
++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{
}n
a n
是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
19．（本小题满分15分）已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =
，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当直线l 的斜率为
1
2
时，求弦长AB 的值； （3）设(),0M m 是线段OF （O 为坐标原点）上一个动点，且()
MA MB AB +⊥，求m 的取值范围. 20．（本小题满分16分）已知函数()()1
2f x lnx ax a R x
=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式221
1lnx m x x
>--恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．A 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．A 10．2- 11．135 12．22ln 2-
13．2. 14．6 0.4 15．()2,2021
16．(1)
3π；（2. 【解析】
（1）在ABC 中，∵()2cos cos 0c a B b A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0C B A B B A --=，
即()2sin cos sin 0C B A B -+=，即()sin 2cos 10C B -=，
sin 0C ≠，∴1cos 2B =
，()0,,3
B B π
π∈∴= . （2）在ABC 中，A B C π++=， 即()B A C π=-+，故()sin sin B A C =+，
由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=，可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =,若cos 0A =，则2
A π
=
，
于是由2b =，可得2tan c B =
=
，此时ABC 的面积为12S bc = 若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =，由正弦定理可知，2c a =，
代入222a c b ac +-=，整理可得234a =，解得3
a =
c =，
此时ABC 的面积为1sin 2S ac B =
=
∴综上所述，ABC ∆.
17．（1）见解析；（2）3；（3）
10
【解析】
（1）证明：取PB 的中点M ，AB 的中点N ，连接EM 和CM ，
∴CD AB 且1
2
CD AB =
，∴E ，M 分别为PA ，PB 的中点. EM AB ∥且12
EM AB =
∴EM CD ∥且EM CD =，四边形CDEM 为平行四边形，
∴DE CM ∥，CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE 平面BPC .
（1）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如果，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别是x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()100A ，，，()120B ，，，()010C ，，，()001P ，，，1
102
2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
设平面PBC 的法向量为()m x y z =，， ()110BC =--，，，()011CP =-，，
00m BC x y m CP y z ⎧⋅=--=⎨
⋅=-+=⎩∴x y
y z
=-⎧⎨=⎩，令1y =∴()111m =-，，
又11022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
，，∴0m DE ⋅=，∴DE m ⊥ DE ⊄平面PBC ∴DE 平面PBC
（2）设点F 坐标为()10t ，，
则()110CF t =-，
，，()120DB =，，， 由0B C D F ⋅=得12t =
，∴1102F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，， 设平面FPC 的法向量为()n x y z =，
，，1102
CF ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，， 由00n PC n FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0
102y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩
即2y z
y x =⎧⎨
=⎩令1x =∴()122n =，， 1223m n ⋅=-++=
则cos 33n m n m n m ⋅===
⋅，
又由图可知，该二面角为锐角 故二面角F PC D -- （3）设()0AQ AP λλλ==-，，
，[]
01，λ∈，∴FQ FA AQ =+ 12
，，λλ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
∴1n FQ λ⋅=
-
∴
cos FQ n
=
=
，
∵FQ 与平面PFC
所成角的余弦值是
3
=
220810λλ+-=，解得：110λ=
，1
2
λ=-（舍） ∴存在满足条件的点Q ，1
101010AQ ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，，
，且10
AQ =
18．（1）证明见解析；（2）99314423n
n n S ⎛⎫ ⎛⎫
=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭
⎪⎝.
【解析】
（1）证明：根据题意可得，11
·3n n n n S S a n
++-=
， 11·3n n n a a n ++∴=
，∴11·13n n a a
n n
+=+， 11a =，∴数列{}n a n
是以1为首项，以1
3为公比的等比数列，
（2）由（1）可得1
1()3
n n a n -=，
11
·()3n n a n -∴=，
01211111
1()2()3()()3333
n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，
∴12311111
1()2()3()()33333
n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， 123111************()()()()()()()()1333333322313
n
n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=
-⋅=-+⋅-9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.
19．（1）2
215
x y +=；
（2
（3）8(0,)5 【解析】
（1）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆C 的方程为22
221(0)x y
a b a b
+=>>，
椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即1b =
由c e a ==25a =，
所以椭圆C 的标准方程为2
215
x y +=；
（2）由得(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线l 的方程为1
(2)2
y x =-，代入椭圆方程，消去y 可得22009x x -= 则21200,9
x x =
=，
20
9AB == （3）由(),0M m 是线段OF （O 为坐标原点）上一个动点可得02m ，
直线l 的方程(2)(0)y k x k =-≠，代入椭圆方程，消去y 可得2222(51)202050k x k x k +-+-=
则21222051k x x k +=+，2122
205
51k x x k -=+， 1212(4)y y k x x +=+-,1212()y y k x x -=-,
12(2MA MB x x m +=+-，12)y y +，21(AB x x =-，21)y y -
()MA MB AB +⊥，()0MA MB AB ∴+⋅=， 12212112(2)()()()0x x m x x y y y y ∴+--+-+=
∴2222204205151
k k m k k --=++285m k m ∴=-，2
085m k m ∴=
>-， 解得：805m <<，∴当8
05m <<时， 故m 的范围为8
(0,)5
20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(]
,0-∞.
【解析】
（1）由题意得()221
,0f x a x x x
=+->' ∴()324
f a '=+
， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=-
即32214y a x ln ⎛⎫
=+
+- ⎪⎝⎭
， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-，
∴()()2
22
12110x f x x x
x
--=
--=≤'
函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠， 原不等式
2
21
1lnx m x x >--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭， 设()()22
111
211g x lnx x f x x x x ⎛⎫=
-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，
当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，
假设存在正数b ，使得()0g x b >>，
若01b <≤，当1x b >
时，()2211
1lnx g x b x x x
=
+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()2211
1lnx g x b x x x
=
+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(]
,0-∞.。