全国百强名校“领军考试”2020-2021学年下学期3月高三联考文数答案

15．【答案】
11π 36
，+
【命题意图】本题考查三角变换及三角函数的性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
【解析】
f
x
sin x
π 6
sin
x
2π 3
=
sin
x
π 6
cos
x
π 6
1 2
sin
2
x
π 3
,
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对任意 x R , f f x f ,则 f 1 , f = 1 ,
3．【答案】B 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数公式及特殊角的三角函数值；考查数学运算核心素养.
【解析】 3 cos 285 sin 285 2 cos 30 cos 285 2sin 30 sin 285 = 2cos 315 = 2 cos 360 45 =
2cos 45 = 2 ,故选 B.
【解析】由 x 1时 f x x 3 且 7 1 3 ,
2
2
可得 x 7,1 时 f x x 3 的图象关于直线 x 3 对称,
2
x 7, 3时 f x 2 , x 1 时 f x 2 ln x 2 ,且 x 1 时 f x 单调递增,
所以 x1 x2 6 , 7 x1 3, 3 x2 1 , x3 > 1 ,
则该点落在△ADE
内的概率为
a2 b2
a b2
a2 b2 2 a2 b2
1 2
，故选
B.
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7．【答案】D
【命题意图】本题考查圆与双曲线的几何性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
【解析】因为双曲线
C
的渐近线
y
b
x
被圆
x2
y2
4x
0
16
截得的线段长为 ,则圆心
2, an1
1 2
an
1 2 3n
, bn
an
1 3n1
,
所以
bn1
an1
1 3n
bn
an
1 3n1
1 2
an
1 2 3n
1 3n
an
1 3n1
1 2
an
2
1 3n
1
an
1 3n1
1
,
2
又 b1 a1 1 1 ,
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所以数列
bn
是首项为
1,公比为
1 2
的等比数列.(6
2
2
5．【答案】A
【命题意图】本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义；考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
【解析】 f x 的图象关于 y 轴原点对称,则 f x f x 2 a 2 x3 0 ,
所以 a 2, f x cos x 2x2 1 , f x sin x 4x ,所以 f 0 2, f 0 0 ,
(2)因为 2 p1+p2 =0.05 , p1 p2 p3 0.1 ,
所以 100 名学生测试分数的平均数为
35 p1 45 p2 550.1 p1 p2 65 0.1 75 0.2 85 0.4+95 0.2
=5.5 102 p1 p2 6.5 15 34+19
=79.5.(7 分) (3)列联表如下：
2．【答案】A 【命题意图】本题考查复数的运算及复数的模；考查数学抽象及数学运算核心素养.
x
【解析】由
1 yi
1
i
得
x
=
(1+
i)(1+
yi)
=1-
y
+ (1 +
y)i ,所以
ìïí x ïî0
=1=1+
y y
,解得
x
=
2,
y
=
-1 ,
所以 x yi = 2 i 22 12 5 ,故选 A.
【解析】不失一般性,设直线
AB
的倾斜角为
0
π 2 ,
AF
1
p cos
,
BF
p 1 cos
,
由
AB
BP
得
AF
2
BF
p ,所以 1 cos
2
1
p cos
,解得 cos
1, 3
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所以
AF
BF
p p 1 cos 1 cos
9p 2 ,故选 B. 8
12．【答案】B 【命题意图】本题考查函数的单调性及导数的应用；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
又 BG
AB2 AG2
12
1 2
2
3, 2
所以△GBC 的面积 S 1 BG BC 1 3 1 3 ,
2
22
4
所以 VE GBC
=
1 3
DE
S
1 1 3
3 3 4 12
。(12 分)
20．【命题意图】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系；考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
所以 f x 的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2 ,故选 A.
6．【答案】B 【命题意图】本题考查几何概型及基本不等式；考查数学抽象与数学运算的核心素养.
【解析】四边形 ABCD 的面积为 a b a b a b2 ，△ADE 是腰为 a2 +b2 的等腰直角三角形，
2
2
其面积为 a2 b2 ，所以在四边形 ABCD 内任取 1 点， 2
所以
f
x1
f
x3
1 2
x1
3 2
2 ln
x3
4 ,整理得 ln
x3
x1 2
7 2
,
由
7
x1
3, 得 0
x1 2
7 2
2 ,又
x3
> 1 , ln
x3
0
,所以 0
ln
x3
2,
所以
ln x3 x1 +x2
=
ln x3 6
1 3
,
0
,故选
B
13．【答案】 2，+
【命题意图】本题考查函数的单调性与值域；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
【解析】f x 的定义域为 x x 2 ,且 x 2 时 y 2 x 与 y x2 6x 10 都是减函数,所以 f x 是
减函数, f x f 2 2 ,所以 f x 的值域为 2，+ .
14．【答案】 2, 9
【命题意图】本题考查线性规划；考查直观想象与数学运算的核心素养.
DE
EF
,
DF
3 2
,
EF 1, DFE 是异面直线 AC 与 PB 所成角,且 cos DFE EF 2 ,故选 A. DE 3
10．【答案】D 【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
【解析】由余弦定理可得 a 2c 2b cos A 2b b2 c2 a2 ,整理得 a2 c2 b2 ac , 2bc
4．【答案】B 【命题意图】本题考查向量的数量积；考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
【解析】因为菱形 ABCD 中 AB BD 1,所以 BAD 60 ,因为点 E 为 BC 中点,
则 AD AE AD
AB BE
AD
AB
AD
1
AD
=11
cos 60
1
12
1
,故选
B.
分)
(2)由(1)得 bn
an
1 3n1
1 2n1
,
所以 an
1 2n1
1 3n1
,
所以
Sn
1
1 2
1 22
1 2n1
1
1 3
1 32
1 3n1
=
1
1 2n
1 1
1
1 3n
1 1
2
1 2n1
3 2
2
1 3n 1
2
3 2
7 2
.(12 分)
2
3
19.【命题意图】本题考查垂直关系的证明及三棱锥的体积；考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
32
32
17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、独立性检验；考查数据分析及数学建模核心素养. 【解析】(1)设这 100 名学生测试分数的中位数为 a,由前 5 组频率之和为 0.4,前 6 组频率之和为 0.8,可得
80 a 90 ,
所以 0.4+a 80 0.04 0.5 , a 82.5 .(3 分)
【解析】(1)因为四边形 ADEF 为正方形,所以 DE DA ,
由题意可得 DE DC 1,CE 2 ,所以 DE DC ,(1 分)
因为 DA DC D ,所以 DE 平面 ABCD,
因为 DE 平面 ADEF,所以平面 ADEF 平面 ABCD.(3 分)
由题意可得△ABD 是正三角形,因为点 G 为 AD 中点,所以 BG AD ,
2
2
因为 BG GE E ,所以 HF 平面 BGE,
因为 BE 平面 BGE,所以 FH BE .(7 分)
(2)VBCEG VEGBC ,(8 分)
由平面 ADEF 平面 ABCD,可得三棱锥 E GBC 的高 DE 1 ,
因为 BG AD, AD∥BC,所以 BG BC ,(9 分)
优秀 不优秀
男生 45 25
女生 15 15
K 2 100 45 15 25 15 2 1.786 <3.841.
70 30 60 40
所以没有 95%的把握认为测试优秀与性别有关.（12 分）
18.【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和；考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
【解析】(1)因为 a1
y2 x2
b2 a2
,即
2 3 24
b2 a2
,所以
b2 a2
3 4

,（3
分）
又直线 l 的方程为 y 1 3 x 1 ,令 x 0 ,得 y 7 ,
2, 0
到渐近线
a
5
的距离 d
b 2
a b 2 1
2b c
6 5 ,所以 3c 5b , 9c2
25
c2
a2
,整理得 e2 25 , e 5 ,故选 D. 16 4
a
8．【答案】C 【命题意图】本题考查指数式与对数式大小的比较,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
【解析】由 y 0.89x 是减函数, y x0.89 在 0, 上是增函数,可得 0 0.890.98 0.890.89 0.980.89 1,
因为 OA OB OC ,所以 DA DB DC ,所以 CA CB ,因为 CA CB, 所以 CD AB ,
因为球 O 的半径为 4,且球 O 上的点到平面 ABC 的最大距离为 5,所以 OD 1 , CD OC2 OD2 15 ,
所以三棱锥 O ABC 的体积V 1 1 AB CD OD = 1 1 2 15 15 1=5 .
所以 cos B a2 c2 b2 1 , sin B 3 ,不失一般性,设 a 5 t,c 5,b 5 t t 0 ,
2ac
2
2
代入 a2
c2
b2
ac
得t
2
,所以 a
3, c
5
,△ABC
的面积为
1 2
ac sin
B
= 15 4
3
,故选
D.
11．【答案】B 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质；考查数学抽象及直观想象核心素养.
2
2
由 x 3, 0 可得 6 π 2x π π ,所以 6 π 3π ,解得 11π .
3
33
32
36
16．【答案】5 【命题意图】本题考查球的性质及三棱锥的体积；考查直观想象及逻辑推理核心素养.
【解析】取 AB 中点 D,则 OD AB ,因为平面 ABC 平面 ABO,所以 OD 平面 ABC, OD DC ,
xy0
【解析】约束条件
x
2y
3
0
表示的可行域是以
A1, 1, B 2, 2,C 3, 3 为顶点的三角形区域,
x 5y 12 0
设 z 2x y ,则 y 2x z ,当直线 y 2x z 经过点 B 时 z 取得最小值, zmin 2 2 2 2 ,
当直线 y 2x z 经过点 C 时 z 取得最大值, zmax 23 3 9 ,所以 2x y 的取值范围是 2,9 .
2020—2021 学年下学期全国百强名校
“领军考试”高三数学（文数）答案与解析
1．【答案】C 【命题意图】本题考查集合的运算；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
{ } { } 【解析】因为 A = {-3, -1,3,5,7} , B = x x2 - 5x > 0 = x x < 0或x > 5 ,所以 A B = 3, 1,7 ,故选 C.
【解析】(1)设 A x1, y1 , B x2, y2 ,则 x1 x2 2, y1 y2 2 ,
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且
x12 a2
y12 b2
1,
x22 a2
y22 b2
1 ,两式相减得
x12 x22 a2
y12 y22 b2
,
即
y1 x1
y2 x2
y1 x1
由 y log0.98 x 是减函数,可得 log0.98 0.89 log0.98 0.98 1 ,可得 z y x ,故选 C.
9．【答案】A
【命题意图】本题考查异面直线所成的角；考查直观想象及逻辑推理的核心素养.
【解析】如图所示,取
PA
中点
F,连接
DF,EF,由
DE
PB,
及三角形中位线性质可得
所以 BG 平面 ADEF,
因为 HF 平面 ADEF,所以 BG HF ,(5 分)
因为四边形 ADEF 为正方形,点 G 为 AD 中点,点 H 为 DE 中点,
所以 tan HFE tan GED 1 , HFE GED . 2
因为 GEF GED π ,所以 GEF HFE π ,从而 HF GE ,