08年汕头市高三数学二模文科

某某市2008年普通高校招生模拟考试
文 科 数 学
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2．第14题、15题为选答题，考生选答其中一题，两题都答的只计算前一题得分。

第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案填涂在答题卡上。

） 1.设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log 2x>0}，则A ∩B=( ) A ．{x| x>1}
B ．{x|x>0}
C ．{x|x<-1}
D ．{x|x<-1或x>1}
2.已知复数i z i z +=+=1,221，则2
1
z z z =
在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知命题p ：∃R x ∈，0332≤+-x x ，则()
A ．⌝p ：∃R x ∈，0332>+-x x ，且⌝p 为真命题。

B ．⌝p ：∃R x ∈，0332>+-x x ，且⌝p 为假命题。

C ．⌝p ：∀R x ∈，0332>+-x x ，且⌝p 为真命题。

D ．⌝p ：∀R x ∈，0332>+-x x ，且⌝p 为假命题。

4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=x 对称的是（ ）
A ．)3
2sin(π
-=x y B ．)62sin(π
-=x y
C ．)62sin(π
+
=x y
D ．)6
2
sin(π
+
=x y
5.已知函数()b ax x x f --=2的两个零点是2和3,则函数()12--=ax bx x g 的零点是（ ）
A ．1-和2-
B ．1 和2
C ．
21和31 D ．21-和3
1- 6．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )3cm ． A.π+8 B.328π+
C.π+12
D.3
212π
+
7．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( ) A ．– 24
B ．24
C ．±24
D ．–12
8.小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水2分钟;②洗菜6分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开10分钟;⑤煮面条和菜共3分钟。

以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序。

小明要将面条煮好，最少要用( )分钟。

A.13 B.14 C.15 C.23
9.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足=++，设
λ=，则λ的值为( )
A ．1
B ．
21 C ．2 D ．4
1
10.对于函数x x f lg )(=定义域中任意)(,2121x x x x ≠有如下结论： ①)()()(2121x f x f x x f +=+; ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅; ③
0)()(2121>--x x x f x f ；④)2(21x x f +<2
)()(21x f x f +.上述结论中正确结论的序号是 ( )
A.②
B. ②③
C. ②③④
D. ①②③④
侧视图
俯视图
C
D
B
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卷中的横线上.）
11．若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积)(2
1
c b a r S ++=
,根据类比思想,若四面体内切球半径为R,四个面的面积为S 1,S 2,S 3,S 4,则四面体的体积V=______ 12.如图，在矩形ABCD 中，3=
AB ，1=BC ，以A 为圆心，
1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ， 则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是
13.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，提出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是
▲ 选做题：（在下面两道小题中选做一题，两道小题都选的只计算第14小题的得分。

第一空2分，第二空3分。

） 14.如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 交⊙O 于点B 、C ， 若PB 、PC 的长是关于x 的方程0)2(82
=++-m x x 的 两根，且4=BC ，则m 的值为 ;PA 的长为 15．圆C 的极坐标方程为：)4
sin(22π
θρ+
=．则圆C 的直角坐标方程为;
直线l ：1cos =θρ与圆C 相交所得的线段AB 长为
P
B C
A
· O
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）
在ABC ∆中,a 、b 、c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,已知向量
m =(1,cos A +1),n =(cos A ,1),且满足m ⊥n 。

（Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若,2,32==c a 求ABC ∆的面积S 的大小。

17.（本小题满分12分）
青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了7名评委。

下面的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，程序框图用来编写程序统计每位选手的成绩（各评委所给有效分数的平均值），试根据下面所给条件回答下列问题：
a “
D
1
B
1
D
A
B
C
E
1
A
1
C
18.（本小题满分14分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点1C ，所爬的最短路程为22。

（Ⅰ）求证：E D 1⊥D A 1；
（Ⅱ）求长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积。

19.（本小题满分14分）
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针
方向）的轨迹方程为125
10022
=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹
是以y 轴为对称轴、)7
64
,
0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.
（Ⅰ）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（Ⅱ）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
20.（本小题满分14分）
已知：函数),(3
1)(23
R b a bx ax x x f ∈-+=。

(Ⅰ)若)(x f y =图象上的点(1,3
11
-
)处的切线斜率为-4,求)(x f y =的极大值； (Ⅱ)若)(x f y =在区间[－1,2]上是单调减函数,求b a +的最小值。

21.（本小题满分14分）
已知：数列}{n a 是由正数组成的等差数列，n S 是其前n 项的和，并且32=a ，8135=S a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求不等式12)1
1()11)(11(21+≥+++
n a a a a n
对一切*N n ∈均成立最大实数a ； （Ⅲ）对每一个*N k ∈，在k a 与1+k a 之间插入1
2-k 个2，得到新数列}{n b ，设n T 是数列}
{n b 的前n 项和，试问是否存在正整数m ，使2008=m T ？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由.
某某市2008年普通高校招生模拟考试文科数学
参考答案
一、选择题：
11、)(3
14321S S S S R +++； 12、31
； 13、①②③；
14、10 ，32 15、2)1()1(22=-+-x x ，22=AB 。

1.解:由集合B 得x>1 ,∴A ∩B={x| x>1}。

2.解:i z z z
2
1
2321-==。

3.解:这是一个存在性命题，它的否定（⌝p ）是： R 中不存在这样的x ，使0332≤+-x x ，或者是：对所有的x ∈R ，都有0332>+-x x 为真. 故答案为C. 4.解:代入验证即可。

5. 解:方程的解为2和3,由根与系数关系(或直接代入)求得a=5,b=-6 ,∴g(x)=-6x 2
-5x-1 g(x)=0解得x 的值为21-
和3
1-。

6.解:几何体组合体为:下半部分为边长为2的正方体,上半部分为半径为1,高为2的半圆柱 ∴ππ+=⋅⋅⋅+
=8212
1
223V。

7.解：由a 4 = a 2·q 2
，得q 2
= 2，∴a 8 = a 4q 4
= –24。

8.解：①洗锅盛水2分钟+④用锅把水烧开10分钟（同时②洗菜6分钟+③准备面条及佐料2分钟）+⑤煮面条和菜共3分钟=15分钟。

9.解:0=++CP BP PA ⇒=-=,且B 、A 、P 、C 不共线 ∴四边形BAPC 为平行四边形，
D 为对角线AP 中点，2=。

10．解：观察x x f lg )(=的图象可得②③都正确。

11.解（略）
12．解：连结AC ，则3
1tan =
∠CAB
，6
π
=
∠CAB ，由几何概型的计算公式得312
6==ππ
P。

13．解：观察图象可得①②③都正确。

14．解：由题意知：（1）PB+PC=8，BC=PC －PB=2。

∴PB=2，PC=6∴PB ·PC=(m+2)=12∴m=10 。

∴PA 2
=PB ·PC=12∴PA=32。

15．解：)4
sin(22π
θρ+
=即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，
得圆C 的直角坐标方程为：2)1()1(2
2=-+-x x 。

直线l 的直角坐标方程为x=1, 相交所得的线段为直径。

故
22=AB 。

三、解答题：
分 分 （Ⅱ）ABC ∆ 中，∵2cos ,a
c b cb A =+-
∴3
2cos
4412
2πb b -+=.∴2
280.b
b
+-= 8分
∴4() 2.b
b =-=舍，10分
∴△
ABC 的面积 11sin 2222S bc A ==⨯⨯=12分 17．解: (Ⅰ)
7
3
=
p ； 3分 (Ⅱ) ①k>7，5分
②a=s1/5 ，7分
在计算每位选手的平均分数时，为了避免个别评委所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分。

9分 (Ⅲ) 2.8458886858478=++++=
甲
x , 855
87
86848484=++++=乙x 12分
18．（Ⅰ）证明：
方法一:
连结1AD ，由长方体的性质可知：AE ⊥平面11A ADD ， ∵⊂D A 1平面11A ADD , ∴AE ⊥1AD 3分 又∵11==AA AD ，∴1AD ⊥D A 1， A AE AD =⋂1, ∴D A 1⊥平面E AD 1, 5分 ⊂E D 1平面E AD 1,∴D A 1⊥E D 1。

7分
方法二: 连结
1AD ，由长方体的性质可知：AE ⊥平面11A ADD ， ∴1AD 是1ED 在平面11A ADD 内的射影。

4分 又∵11==AA AD ，∴1AD ⊥D A 1，∴E D 1⊥D A 1（三垂线定理）7分 （Ⅱ）设x AB =，∵四边形11A ADD 是正方形，∴小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点1C 可能有两种途径。

D 1
B
1
D
A B C
E 1
A
1
C
1
1D A B 1A 1
B 1
C 1 图甲
1
C
1
A B
C
x 1A 1B 图乙 1
如图甲的最短路程为4||21+=x AC ， 9分 如图乙的最短路程为221)1(||
221++=++=x x x AC ， 11分
1>x 42222222+=++>++∴x x x x ，
22242=∴=+∴x x 。

∴长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是V=2×1×1=2. 14分
19．解：（Ⅰ）设曲线方程为
7
64
2+
=ax y ，2分 由题意可知，7
64
640+
⋅=a . 7
1
-
=∴a . 5分 ∴ 曲线方程为7
64
712+
-
=x y . 6分 （Ⅱ）设变轨点为),
(y x C ，根据题意可知
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-==+)2(,76471)1(,
12510022
2x y y x 8分 得 036742
=--y y ，
4=y 或4
9
-=y （不合题意，舍去）. ∴4=y . 10分
得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(，11分 4||,52||==BC AC .13分
答：当观测点
B A 、测得B
C AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.14分
20．解：(Ⅰ)∵b ax x x f -+='2)(2, 1分
∴ 由题意可知：4)1(-='f 且3
11
)1(-=f ,
∴⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+-=-+,311
3
1,
421b a b a 得：⎩⎨⎧=-=31b a ， 3分 ∴x x x x f 33
1)(2
3--=,)3)(1(32)(2-+--='x x x x x f .
令0)(='x f ，得3,121=-=x x ，
由此可知：
∴ 当x=－1时,f(x)取极大值3
6分 (Ⅱ) ∵
)(x f y =在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴02)(2
≤-+='b ax x x f 在区间[－1，2]上恒成立. 7分 根据二次函数图象可知0)1(≤-'f 且0)2(≤'f ，
即：⎩⎨⎧≤-+≤--,044,021b a b a 也即⎩⎨⎧≤+-≥-+.
044,012b a b a 9分
作出不等式组表示的平面区域如图： 11分 当直线b a z
+=经过交点P(－
2
1
, 2)时， b a z +=取得最小值2
3
221=+-=z
∴b a z +=取得最小值为23
21．解0>d ，且⎩⎨⎧=++=+81)33)(4(3
11
1d a d a d a ， 2分
2,11==∴d a ，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n 。

3分
(Ⅱ)由题意)1
1()11)(11(1
2121n
a a a n a
+++
+≤
对*N n ∈均成立，4分 记)11()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
则
1)1(2)1(21
)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F 。

)()1(,0)(n F n F n F >+∴> ，)(n F ∴随n 增大而增大，6分
)(n F ∴的最小值为3
3
2)1(=
F ， 332≤
∴a ，即a 的最大值为33
2。

8分 (Ⅲ)12-=n a n
，
word
11 / 11 ∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为
22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m ， 10分 21562211200811222210112102=-+<<=-+ ，即11102008a a <<， 12分 又10a 在数列}{n b 中的项数为：5212
21108=++++ ，13分 且244388611222008⨯==-，
所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m
S 。

14分 (第（Ⅱ）用数学归纳法证明：∵n ∈N ， ∴只需证明1233
2)11()11)(11(21+≥+++n a a a n 成立。

（i ）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。

（ii ）假设当n=k 时不等式成立，即
1233
2)11()11)(11(21+≥+++k a a a k 。

那么当n=k+1时，
)11)(11()11)(11(1
21+++++
k k a a a a 1
222332)11(123321++=++≥+k k a k k ， 以下只需证明323321222332+⋅≥++k k k 。

即只需证明321222++≥+k k k 。

∵01)3212()22(22>=+⋅+-+k k k 。

∴32332)11()11)(11(121+≥++++k a a a k 1)1(2332++=k 。

综合（i ）（ii ）知，不等式对于n ∈N 都成立。