2018年5月湖北省高考冲刺数学试题(文)附答案

湖北省2018届高三5月冲刺试题
数学（文）第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则等于（ ）
{}11A x x =
-<<{}2
,B y y x x A ==∈A B A ．
B ．
C ．
D ．
{}01x x ≤<{}10x x -<≤{}01x x <<{}
11x x -<<2.已知向量，，则等于（ ）
()1,2AB =- ()4,2AC =
BAC ∠A ． B ． C ． D ． 30︒45︒60︒90︒
3.随着中央决定在海南省全岛建立自贸区的政策公布以来，海南各地逐步成为投资热点.有24名投资者想到海南某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为1-24号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到海南某地实地考察.其中年龄不超过55岁的人数为（ ）
394011255136677888
9
6
1
2
3
3
4
5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．不确定
4.设函数，若，则实数的值为（ ）
()21223,0
1log ,0
x x f x x x -⎧+≤=⎨->⎩()4f a =a A ．
B ． C. 或 D ．12181218116
5.若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
x y 230
03x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
3y x -A ．-12 B ．-4 C. 6 D ．12
6.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．
B ． C. D ．2x y -=3y x -=sinx
y x
=
()()
lg 2lg 2y x x =-
-+7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的为（ ）
10n
=T
A ．64
B ．81 C. 100 D ．121
8.某几何体的三视图如图所示（在网格线中，每个小正方形格子的边长为 1），则该几何体的表面积是（ ）
A ．． D ．6+8+8++6++9.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个m （为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（ ）
m A ．
B ． C. D ．1817161
5
10.给出下列四个结论：①若
为真命题，则为假命题；
()p q ∧⌝()()p q ⌝∨⌝②设正数构成的等比数列
的前项和为，若，则（）
；{}n a n n S 858a a =2n n S a <*n N ∈③，使得成立；
0x R ∃∈3
002018x x +=④若，则是的充分非必要条件
x R ∈2
4x
≠2x ≠其中正确结论的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个 C. 3个 D ．4个
11.已知
（为自然对数的底数）有二个零点，则实数的取值范围是（ ）
()32x f x x e ax =+e a
A ．
B ． C. D ．22a e <-
22a e >-220a e -<<2
2a e =-12.设双曲线（，）的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，
22
221x y a b
-=0a >0b >A B C 的三内角分别用、、表示，若，则双曲线的渐近线的方
ABC A B C tan tan 3tan 0A B C ++=程是（ ）
A ．
B ． C. D ．3y
x =±y =2y x =±y =第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知为实数，为虚数单位，若
为纯虚数，则实数 ．a i 21ai
i
-+a =14.过抛物线的焦点，向圆：的作切线，其切点为，则
2
8x
y =F ()()2
2
3316x y +++=P ．
FP =15.在中，内角，，的对边分别为，，，若
，且，ABC A B C a b c 12cos a C b =+2cos 3
B =则
的值为 ．a
b
16.在数列中，，其前项和为，用符号表示不超过的最大整数.当{}n a 22
22
2n n n a n n
++=+n n S []x x 时，正整数为 ．
[][][]1263n S S S +++= n 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某学生用“五点法”作函数
（，，）的图像
()()sin f x A x B ωϕ=++0A >0ω>2
π
ϕ<
时，在列表过程中，列出了部分数据如下表：
x ωϕ
+0
2
π
π
32
π2π
x 3
π
712
πy
3
-1
(1) 请根据上表求
的解析式；
()f x (2)将的图像向左平移
个单位，再向下平移1个单位得到图像，若
()y
f x =12
π
()y
g x =（为锐角）
，求的值
.645g πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭θ()f θ18.如图，已知四棱锥的底面是正方形，为等边三角形，平面平面
P ABCD -
PAD PAD ⊥，为中点，平面交于.
ABCD M PD MAB PC N (1)证明：平面；
PD ⊥MABN (2)若平面将四棱锥分成上下两个体积分别为、的几何体，求
的值.MABN P ABCD -
1V 2V 1
2
V V 19. 某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：
、、、、、
(]50,100(]100,150(]150,200(]200,250(]250,300得到频率分布直方图如图所示.
(]300,350
用频率估计概率.房产销售公司卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：每一套
房
价格区
间(]
50,100(]
100,150(]
150,200(]
200,250(]
250,300(]
300,350
买一套
房销售
公司佣
金收入
123456 (1)求的值；
a
(2)求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；
(3)该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：
月总佣金销售成本占佣金比例
不超过100万元的部分5%
超过100万元至200万元的部分10%
超过200万元至300万元的部分15%
超过300万元的部分20%
若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月利润（利润=总佣金-销售成本）.
20. 已知的三个顶点都在椭圆：（）上，且椭圆的中心和右
ABC Γ22
221x y a b
+=0a b >>ΓO 焦点分别在边、上，当点在椭圆的短轴端点时，原点到直线的距离为
F ABC AB AC A O AC .1
2
a
(1)求椭圆的离心率；Γ
(2)若面积的最大值为，求椭圆的方程.
ABC Γ21. 设
（）.
()3ln f x ax x x =+a R ∈(1求函数的单调区间；
()()
f x
g x x
=(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
()12,0,x x ∀∈+∞12x x >()()
1212
2f x f x x x -<-a 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的
xOy C 2cos 22sin x y θ
θ
=⎧⎨=+⎩θO x
非负半轴为极轴的极坐标系中，两直线与（）的交点为.
sin 4πρθ
⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭4πθ=R ρ∈P (1)求曲线的普通方程与点的直角坐标；C P (2)若过的直线与曲线相交于、两点，设，求的取值范围.
P l C A B PA PB λ
=-λ
23.选修4-5：不等式选讲已知函数
.
()21f x x a x =-++(1)当时，
的最小值为3，求的值；
x R ∈()f x a (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
[]1,2x ∈
-()4f x ≤a 试卷答案
一、选择题
1-5: ADBBC 6-10: DCDBC 11、12：AD 二、填空题
13. 2 14. 16. 10
7
9
三、解答题
17.解：（1），∴ 31
12
B -=
=312A =-=又 ∴ 32712
π
πωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴
.
()2sin 216f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭（2）()2sin 2112sin 2126g
x x x ππ⎡
⎤
⎛⎫=+
-+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
∵，∴ 62sin 2425g ππθ
θ⎛⎫⎛
⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭3cos 25θ=-
又为锐角， ∴ θ4sin 25
θ
=
∴
()2sin 212sin 2cos cos 2sin 1
666f πππθθθθ⎛⎫⎛
⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
43121552⎡⎤⎛⎫=--⨯+=
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
18.解：（1）∵ 为正方形，∴ ABCD AB AD
⊥又平面平面，平面平面，∴ 平面PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =AB ⊥PAD
∴ ，
AB
PD ⊥∵ 为等边三角形，为中点，PAD M PD ∴ ，又PD AM ⊥AM AB A = ∴ 平面.
PD
⊥MABN
（2）∵ ，∴ 平面，又平面平面；
//AB CD //AB PCD MABN PCD MN =∴ ，∴ //AB MN //MN CD
而为中点，M PD ∴ 为中点N PC 由（1）知AB
AM
⊥
设，∴ ，AB
a =1
2
MN a
=AM
=21122ABNM S a a ⎛⎫
=+⨯= ⎪⎝
⎭23
11132V a a
=⨯⨯=作交于，∵ 平面平面，
PH
AD ⊥H PAD ⊥ABCD ∴ 平面，而，PH ⊥
ABCD PH =
又2313PABCD
V a =⨯=∴
3332
V =
-=∴
.
1235
V V ==19.解：（1）由得.
()500.00080.0020.00240.00400.00481a ⨯
+++++=0.0060a =（2）设卖出一套房的平均佣金为万元，则
x 10.0025020.0045030.0065040.00485050.002450
x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.
60.000850 3.2+⨯⨯=（3）总佣金为万元，3.2430384⨯⨯=月利润为万
()3841005%10010%10015%8420%y =-⨯+⨯+⨯+⨯38446.8337.2=-=元，
所以公司月利润为337.2万元.
20.解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设，()0,A b ()
,0F c ∴ ：即，则AC 1x y c b +=0bx cy bc +-
=12
d a ==∴ ，∴
，22a bc =22a =()42224a c a c =-()22141
e e =-∴
.e =
（
2）∵ ，∴
，c a
=a =b c ==：，设：Γ22
2212x y c c
+=AC x ty c =+由()22
222221222x y ty c y c c c x ty c ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩
即，
()222220t y cty c ++-=∴ ，12222
ct y y t +=-+21222c y y t =-+1212112222ABC OAC S S c y c y c y y ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭
22
2c
===
令1
m=≥
∴
2222
2
11
1
12
ABC
m
S
m m
m
==≤⋅=
++
当且仅当，即时，取“=”，∴
，∴.
1
m=0
t=2=22
c=：
Γ
22
1
42
x y
+=
21. 解：（1）（），
()2ln
g x ax x
=+0
x>()2
121
'20
ax
g x ax
x x
+
=+=>①当时，恒成立，∴在上单调递增；
a≥2
210
ax+>()
f x()
0,+∞
②当时，由得，
a<2
210
ax+>0x
<<
∴
在上单调递增，在上单调递减.
()
f x
⎛
⎝
⎫
+∞⎪
⎭
（2）∵，，∴，12
x x
>>
()()
12
12
2
f x f x
x x
-
<
-
()()
1212
22
f x f x x x
-<-
∴，
()()
1122
22
f x x f x x
-<-
即在上为减函数
()()2
F x f x x
=-()
0,+∞
，
()32ln
F x ax x x x
=-+
，
()22
'321ln31ln0
F x ax x ax x
=-++=-+≤
∴ ，21ln 3x a x
-≤0x >令，()21ln x h x x -=
，∴ ()()243121ln 2ln 3'0x x x x x h x x x
⎛⎫--- ⎪-⎝⎭===32
x e =当，，单调递减， 320,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()'0h x <()h x 当，，单调递增，32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
()'0h x >()h x ∴ ，∴ ，∴ ()32
min 3331122h x h e e e -⎛⎫===- ⎪⎝⎭3132a e ≤-316a e ≤-∴ 的取值范围是.a 31,6e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
22.解：（1）()222224cos 4sin 4
x y θθ+-=+=∴ 曲线：C ()22
2
4x y +-
=sin 4sin 24πρθπρρπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒=⇒=⎨⎪
=⎪⎩
，∴ ，，4P
π⎫⎪⎭
14x π==14y π==∴ 点直角坐标为.
P ()1,1
（2）设：（为参数）l 1cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩
θ∴ ，()()221cos 1sin 24t t θθ+++-=()22cos sin 20t t θθ+--=∴ ，()122cos sin t t θθ+=--1220t t =-<∴
122sin 2cos 4PA PB t t πλθθθ⎛⎫=-=+=-=- ⎪⎝
⎭∴
.λ-≤≤23.解：（1）()212121f x x a x x a x a =-++≥---=+∴ ，∴ 或.
213a +=1a =2a =-（2）时，，[]1,2x ∈-10x +≥，21214x a x x a x -++=-++≤，又，23x a x -≤-30x ->∴ ，
323x x a x -+≤-≤-∴ ，而， ∴ ，∴ . 23223a a x ≤⎧⎨≥-⎩231x -≤2321a a ≤⎧⎨≥⎩1322a ≤≤。