2018-2019上学期九年级数学专题课：利用二次函数求“最值”的应用举例
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B 1.5,3.05 A 3,1.7
略解：如图，以地平线为x轴，过篮球运动 的最高点垂直于地平线的直线为y轴建立平 面直角坐标系(其它条件见图中标示).
把抛物线设为y=ax2 +k.由题中题中条件可知A(-3,1.7)、B(1.5,3.05) 的坐标代入列方程组：
9a k 1.7 9 a k 3.05 4 1 a 5 解得： k 3.5
1 2 故此二次函数的解析式为 y x 3.5 5
因此，当二次函数 x 0 时，y有最大值 y 3.5 . 所以篮球离地面到达的最大高度为3.5m.
例2.如图，某公路隧道的横断面为抛物线，其中最大高度为6m,底部宽 度OM为12m,现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系. ⑴.直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； ⑵,求出这条抛物线的解析式； ⑶.若要搭建一个矩形“支撑架”ADDC-CB;使C、D点在抛物线上；A、B点在 地面OM上，则这个“支撑架”的总长的 最大值是多少？ 分析：⑴问可以根据高度、宽度等直接写出；⑵问在⑴问的基础上 把解析式设成顶点式，把顶点P和点M的坐标代入即可解决；⑶问以 通过函数坐标表示出“支撑架”长宽，以周长建立二次函数解决问 题；要注意的是“支撑架”总长未包括AB的长,应为AD+DC+CB的和.
3.提高学习过程中 的“动手操作”能力，培养合作学习的 意识和对知识探索精神.
y ax 2 bx c a 0 可配方为
b 4ac b 2 y a x a 0 2a 4a
2
若a>0, 若a<0,
b 则 x 时, y 2a b 则 x 时, y 2a
2 b 3 , 4ac b 25 2a 2 4a 4
4
题型一. 最大面积
探究 :( 新人教版九年级数学上册 49 页探究 1 ） 用总长60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S lm 与矩形一边长 l 的变化而变化；当 l 是多少米 30 l m 时，场地的面积S最大？ 分析:先可以表示出S与 l 的函数解析式，并求出使S最大的 l 的值.
y x1
2, 3
27 1 ∴当 x 时， △APC的面积有最大值，最大值为 8 . 2 追问： 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点Q，E为直线 AC上的任意一点，过点E作EF∥BQ交抛物线于点F， 以Q，D，F，E为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； (提示:本问注意分类讨论，作为同学们课外研究.）
略解：矩形的周长为60m,所以矩形的两邻边和为30m,由于矩形的 一边长为 l m ，所以另一边长为 30 l m ，根据矩形的面积得： 2 即 S l 30l 0 l 30 S l 30 l 由于表示出的是S关于l 的二次函数，我们都知道当a<0时，二 次函数有最大值.
b 30 因此，当二次函数 t 2a 2 5 3
4 ac b 2 30 2 时，h有最大值 h 4 a 4 5 45
.
也就是说小球的运动时间为3s时，小球最高，小球 在空中的最大高度为45m.
师生共同重温前面的“复习”.
例1.小强某次练习投篮恰好命中篮筐中心，篮球的运动路线是一条抛 物线,篮球在离地面垂直距离1.7m处出手，篮球在水平距离为3m处到达 的最高点；小强与篮筐中心的水平距离L是4.5m,篮筐中心到地平面的 垂直距离为3.05米；求篮球离地面到达的最大高度为多少？ 分析：由于篮球的运动路线是一条抛物线， 所以可以通过建立适当的平面直角坐标系， 利用二次函数的“最值”来解决问题.
略解： ⑴.M(12,0)、P(6,6);
⑵.设该抛物线为y=a(x+m)2+n, 由P(6,6)得y=a(x-6)2+6. 1 2 a 又M(12,0),则 a 12 6 6 0 解得:
1 2 y x 6 6 故此二次函数的解析式为： 6
1 2 y x 2x 即 6
⑵.可采用割补法来表示出△APC的面积(这 里采用“割”的办法，通过作垂线化成两个 三角形，见后面的解答），以此建立二次函 数解决问题.这里用二次函数的解析式表示 出动点的横纵坐标比较关键. 2 y x 2x 3 略解： ⑴.(请同学们在草稿上完成书面解答) y x1
⑵.过P作x轴的垂线，垂足为点M,交直线AC于 1.注意利用平行于y轴的两点的 K；过C作x轴的垂线，垂足为点 N. x , x2 2 x 3 横坐标相同进行纵坐标的转换；
求几何图形“最大面积”注意用同一个未知数（自变量） 表示与面积相关的线段的长！在平面直角坐标系中要注意 用坐标来表示与面积相关的线段长，有的坐标还需要借助 于题中函数来转换（比如例2），最终把问题转化为一个二 次函数来解决，是“数学建模”思想的一个具体体现.
1.在一幅长60cm，宽40cm矩形风景画的四周 镶一条宽度一样的金色纸边，制成一幅矩形 挂图(如图所示),若要使这个挂图的面积为y cm2 ,设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x 的函数为 （A ） A. y 60 2x 40 2x B. y 60 x 40 x C. y 60 2x 40 x D. y 60 x 40 2x 2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动 点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B 重合）,动点Q从点B开始沿 BC以4cm/s的速度移动 （不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么经过 3 秒，四边形APQC的面积最小.
0 x6
(2). 当x=3时，S有最大值36； (3).当x=4时，花圃的最大面积32.
y 1 2 4 x x4 3 3
4 x6
4.如图,已知二次函数 的图 OC=6 象与x轴交于B、C两点，A是抛物线与y轴的 交点，点D是线段AC上的动点，过点D作x轴 的垂线与抛物线相交于点E，四边形ABCE的 面积有最大值吗？如果有，最大值是多少？ 并求出此时点E的坐标. 2 1 1 4 2 1 S 8 4 6 x 4 x 2 x 4 x 3 25 25 (3,-5)
整理配方：y x 4 x x 2 4 ∵a=-1<0 ∴ 抛物线的开口向下，y有最大值. ∴ P、Q分别从A、B同时出发2秒后△PBQ的面 积y最大,最大面积为4.
2 2
2
x
8 2x
例2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线 交于A(-1,0)、C(2,3)两点，与y轴交于点 G，其顶点为D. ⑴.求抛物线和直线AC的解析式； ⑵.若P点是抛物线上位于直线AC的上方的 一个动点，求△APC的最大面积. 略析： ⑴.可以直接通过点A、C的坐标利用待定 系数法的解答方式求得两个的解析式.
某烟花厂为庆祝一运动会圆满闭幕而专门研制了一种新型礼炮这种礼炮的升空的高度hm与飞行时间ts之间的关系式这种礼炮点火升空到最高处引爆则从点火升空到引爆需要的时间为3x6x2x8x当x1时y有最大值12当x2y有最小值75
1.熟悉用二次函数 的“最值”来解决实际问题的几种常见 题型，掌握其解答的基本思路，继续巩固二次函数的性质； 2.认识到数学建模思想独特作用，感受数学的价值和魅力；
b 30 因此，当二次函数 l 2a 2 1 15
时，S有最大值
4 ac b 2 30 2 l 225. 4a 4 1
也就是说当 l 是15m时，S的面积最大.
例1.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=6cm，∠B =90°；点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/ 秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点B以 1厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同 时出发，几秒后△PBQ的面积最大？最大面积 为多少？ 分析：可先用时间来表示△PBQ的两直角边，并以此表示△PBQ 的面积，可建立起一个二次函数，通过其“最值”解决问题. 略解：设经过x秒后△PBQ的面积为ycm2, AP =2xcm,PB=(8-2x)cm,QB=xcm.根据题意，得： 1 2x y x 8 2x 0 x 4
2.也要注意利用平行于 x轴的两点的纵 若设点 K的横坐标为x,则代入 y=x+1后可得 坐标相同进行横坐标的转换 . 后可得点P x , x 1 点K(x,x+1); 同样代入 y=-x2+2x+3 主要就是横纵坐标都要用代表自 (x,-x2+2x+3) ；所以得到PK=(,-x2+2x+3)-(x 1, 0 . +1)=-x2变量的同一个字母的式子表示 +x+2;又A(-1,0)、C(2,3)，所以 AN=3. 水平距离. AN=3 2 ∵S△APC=S△AKP+S△PKC y x 2x 3 2 1 1 3 1 27 2 ∴S△APC PK AN 3 x x 2 x 2 2 2 2 8 3 ∵ a2 0
最大值3
最大值2
直线x=5
2.写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标，并写出其最值. ⑴ .y=x2-4x-5; (配方法) (2).y=-x2-3x+4.(公式法)
⑴.略解:先直接添项配方为y=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴： 直线x=2；顶点坐标:(2，-9)；最小值:-9.
⑵.略解:先计算 .开口方向：向下；对称轴：直 3 25 3 25 线 x 2 ；顶点坐标： . 2 , 4 ；最大值：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.如图，在一面靠墙的空地上用一长为24米的篱笆，围成中间隔 两道篱笆的长方形花圃；设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. ⑴.求S与x的函数关系式及自变量的取值范围： ⑵.当x为何值时花圃的面积最大，最大值为多少？ ⑶.若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 . 因为 a<0 时，在对称轴的右 2 2 y 24 x 4 x 3 36 (1). S AB BC x 24 4 x 4 x 侧 随 x 的增大而减小！
4ac b 2 . 最小 4a 4ac b 2 . 最大 4a
预备练习
1.填表：
函 数
项 目 顶点坐标
对称轴 y轴(x=0) 直线x=1 直线x=-2
y的“最值”
最大值4
最小值-5
y= -x2+4 y= 3(x-1)2-5 y= -(x+2)2+3 y= -0.2(x-5)2+2
(0,4) (1,-5) (-2,3) (5,2)
6
⑶.设A(m,0). 则B(12-m,0).
1 1 C 12 m, m 2 2m , D m, m 2 2m 6 6
∴“支撑架”的总长=AD+DC+CB
1 1 m 2 2m 12 2m m 2 2m m m 6 6 1 2 1 m 2 2m 12 m 3 15 由抛物线和矩形的轴对称性易证OA=MB=m. 3 3
2 2 3 3 3
题型二. 高度、长度的最值
探究:(新人教版九年级数学上册49页问题）
从地面竖直向上跑出一个小球，小球的而高度h(单位：m)与小球的运 动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0 ≤t≤ 6),小球运动的 时间为多少时，小球最高？小球运动的最大高度是多少？ 3, 45 探究： 画出h=30t-5t2(0 ≤t≤ 6)的图象发现是 一条开口向下的抛物线；既然是开口向下的 抛物线，所以当t取最高点顶点的横坐标时， 这个函数有最大值，即h最大.
略解：如图，以地平线为x轴，过篮球运动 的最高点垂直于地平线的直线为y轴建立平 面直角坐标系(其它条件见图中标示).
把抛物线设为y=ax2 +k.由题中题中条件可知A(-3,1.7)、B(1.5,3.05) 的坐标代入列方程组：
9a k 1.7 9 a k 3.05 4 1 a 5 解得： k 3.5
1 2 故此二次函数的解析式为 y x 3.5 5
因此，当二次函数 x 0 时，y有最大值 y 3.5 . 所以篮球离地面到达的最大高度为3.5m.
例2.如图，某公路隧道的横断面为抛物线，其中最大高度为6m,底部宽 度OM为12m,现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系. ⑴.直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； ⑵,求出这条抛物线的解析式； ⑶.若要搭建一个矩形“支撑架”ADDC-CB;使C、D点在抛物线上；A、B点在 地面OM上，则这个“支撑架”的总长的 最大值是多少？ 分析：⑴问可以根据高度、宽度等直接写出；⑵问在⑴问的基础上 把解析式设成顶点式，把顶点P和点M的坐标代入即可解决；⑶问以 通过函数坐标表示出“支撑架”长宽，以周长建立二次函数解决问 题；要注意的是“支撑架”总长未包括AB的长,应为AD+DC+CB的和.
3.提高学习过程中 的“动手操作”能力，培养合作学习的 意识和对知识探索精神.
y ax 2 bx c a 0 可配方为
b 4ac b 2 y a x a 0 2a 4a
2
若a>0, 若a<0,
b 则 x 时, y 2a b 则 x 时, y 2a
2 b 3 , 4ac b 25 2a 2 4a 4
4
题型一. 最大面积
探究 :( 新人教版九年级数学上册 49 页探究 1 ） 用总长60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S lm 与矩形一边长 l 的变化而变化；当 l 是多少米 30 l m 时，场地的面积S最大？ 分析:先可以表示出S与 l 的函数解析式，并求出使S最大的 l 的值.
y x1
2, 3
27 1 ∴当 x 时， △APC的面积有最大值，最大值为 8 . 2 追问： 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点Q，E为直线 AC上的任意一点，过点E作EF∥BQ交抛物线于点F， 以Q，D，F，E为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； (提示:本问注意分类讨论，作为同学们课外研究.）
略解：矩形的周长为60m,所以矩形的两邻边和为30m,由于矩形的 一边长为 l m ，所以另一边长为 30 l m ，根据矩形的面积得： 2 即 S l 30l 0 l 30 S l 30 l 由于表示出的是S关于l 的二次函数，我们都知道当a<0时，二 次函数有最大值.
b 30 因此，当二次函数 t 2a 2 5 3
4 ac b 2 30 2 时，h有最大值 h 4 a 4 5 45
.
也就是说小球的运动时间为3s时，小球最高，小球 在空中的最大高度为45m.
师生共同重温前面的“复习”.
例1.小强某次练习投篮恰好命中篮筐中心，篮球的运动路线是一条抛 物线,篮球在离地面垂直距离1.7m处出手，篮球在水平距离为3m处到达 的最高点；小强与篮筐中心的水平距离L是4.5m,篮筐中心到地平面的 垂直距离为3.05米；求篮球离地面到达的最大高度为多少？ 分析：由于篮球的运动路线是一条抛物线， 所以可以通过建立适当的平面直角坐标系， 利用二次函数的“最值”来解决问题.
略解： ⑴.M(12,0)、P(6,6);
⑵.设该抛物线为y=a(x+m)2+n, 由P(6,6)得y=a(x-6)2+6. 1 2 a 又M(12,0),则 a 12 6 6 0 解得:
1 2 y x 6 6 故此二次函数的解析式为： 6
1 2 y x 2x 即 6
⑵.可采用割补法来表示出△APC的面积(这 里采用“割”的办法，通过作垂线化成两个 三角形，见后面的解答），以此建立二次函 数解决问题.这里用二次函数的解析式表示 出动点的横纵坐标比较关键. 2 y x 2x 3 略解： ⑴.(请同学们在草稿上完成书面解答) y x1
⑵.过P作x轴的垂线，垂足为点M,交直线AC于 1.注意利用平行于y轴的两点的 K；过C作x轴的垂线，垂足为点 N. x , x2 2 x 3 横坐标相同进行纵坐标的转换；
求几何图形“最大面积”注意用同一个未知数（自变量） 表示与面积相关的线段的长！在平面直角坐标系中要注意 用坐标来表示与面积相关的线段长，有的坐标还需要借助 于题中函数来转换（比如例2），最终把问题转化为一个二 次函数来解决，是“数学建模”思想的一个具体体现.
1.在一幅长60cm，宽40cm矩形风景画的四周 镶一条宽度一样的金色纸边，制成一幅矩形 挂图(如图所示),若要使这个挂图的面积为y cm2 ,设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x 的函数为 （A ） A. y 60 2x 40 2x B. y 60 x 40 x C. y 60 2x 40 x D. y 60 x 40 2x 2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动 点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B 重合）,动点Q从点B开始沿 BC以4cm/s的速度移动 （不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么经过 3 秒，四边形APQC的面积最小.
0 x6
(2). 当x=3时，S有最大值36； (3).当x=4时，花圃的最大面积32.
y 1 2 4 x x4 3 3
4 x6
4.如图,已知二次函数 的图 OC=6 象与x轴交于B、C两点，A是抛物线与y轴的 交点，点D是线段AC上的动点，过点D作x轴 的垂线与抛物线相交于点E，四边形ABCE的 面积有最大值吗？如果有，最大值是多少？ 并求出此时点E的坐标. 2 1 1 4 2 1 S 8 4 6 x 4 x 2 x 4 x 3 25 25 (3,-5)
整理配方：y x 4 x x 2 4 ∵a=-1<0 ∴ 抛物线的开口向下，y有最大值. ∴ P、Q分别从A、B同时出发2秒后△PBQ的面 积y最大,最大面积为4.
2 2
2
x
8 2x
例2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线 交于A(-1,0)、C(2,3)两点，与y轴交于点 G，其顶点为D. ⑴.求抛物线和直线AC的解析式； ⑵.若P点是抛物线上位于直线AC的上方的 一个动点，求△APC的最大面积. 略析： ⑴.可以直接通过点A、C的坐标利用待定 系数法的解答方式求得两个的解析式.
某烟花厂为庆祝一运动会圆满闭幕而专门研制了一种新型礼炮这种礼炮的升空的高度hm与飞行时间ts之间的关系式这种礼炮点火升空到最高处引爆则从点火升空到引爆需要的时间为3x6x2x8x当x1时y有最大值12当x2y有最小值75
1.熟悉用二次函数 的“最值”来解决实际问题的几种常见 题型，掌握其解答的基本思路，继续巩固二次函数的性质； 2.认识到数学建模思想独特作用，感受数学的价值和魅力；
b 30 因此，当二次函数 l 2a 2 1 15
时，S有最大值
4 ac b 2 30 2 l 225. 4a 4 1
也就是说当 l 是15m时，S的面积最大.
例1.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=6cm，∠B =90°；点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/ 秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点B以 1厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同 时出发，几秒后△PBQ的面积最大？最大面积 为多少？ 分析：可先用时间来表示△PBQ的两直角边，并以此表示△PBQ 的面积，可建立起一个二次函数，通过其“最值”解决问题. 略解：设经过x秒后△PBQ的面积为ycm2, AP =2xcm,PB=(8-2x)cm,QB=xcm.根据题意，得： 1 2x y x 8 2x 0 x 4
2.也要注意利用平行于 x轴的两点的纵 若设点 K的横坐标为x,则代入 y=x+1后可得 坐标相同进行横坐标的转换 . 后可得点P x , x 1 点K(x,x+1); 同样代入 y=-x2+2x+3 主要就是横纵坐标都要用代表自 (x,-x2+2x+3) ；所以得到PK=(,-x2+2x+3)-(x 1, 0 . +1)=-x2变量的同一个字母的式子表示 +x+2;又A(-1,0)、C(2,3)，所以 AN=3. 水平距离. AN=3 2 ∵S△APC=S△AKP+S△PKC y x 2x 3 2 1 1 3 1 27 2 ∴S△APC PK AN 3 x x 2 x 2 2 2 2 8 3 ∵ a2 0
最大值3
最大值2
直线x=5
2.写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标，并写出其最值. ⑴ .y=x2-4x-5; (配方法) (2).y=-x2-3x+4.(公式法)
⑴.略解:先直接添项配方为y=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴： 直线x=2；顶点坐标:(2，-9)；最小值:-9.
⑵.略解:先计算 .开口方向：向下；对称轴：直 3 25 3 25 线 x 2 ；顶点坐标： . 2 , 4 ；最大值：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.如图，在一面靠墙的空地上用一长为24米的篱笆，围成中间隔 两道篱笆的长方形花圃；设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. ⑴.求S与x的函数关系式及自变量的取值范围： ⑵.当x为何值时花圃的面积最大，最大值为多少？ ⑶.若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 . 因为 a<0 时，在对称轴的右 2 2 y 24 x 4 x 3 36 (1). S AB BC x 24 4 x 4 x 侧 随 x 的增大而减小！
4ac b 2 . 最小 4a 4ac b 2 . 最大 4a
预备练习
1.填表：
函 数
项 目 顶点坐标
对称轴 y轴(x=0) 直线x=1 直线x=-2
y的“最值”
最大值4
最小值-5
y= -x2+4 y= 3(x-1)2-5 y= -(x+2)2+3 y= -0.2(x-5)2+2
(0,4) (1,-5) (-2,3) (5,2)
6
⑶.设A(m,0). 则B(12-m,0).
1 1 C 12 m, m 2 2m , D m, m 2 2m 6 6
∴“支撑架”的总长=AD+DC+CB
1 1 m 2 2m 12 2m m 2 2m m m 6 6 1 2 1 m 2 2m 12 m 3 15 由抛物线和矩形的轴对称性易证OA=MB=m. 3 3
2 2 3 3 3
题型二. 高度、长度的最值
探究:(新人教版九年级数学上册49页问题）
从地面竖直向上跑出一个小球，小球的而高度h(单位：m)与小球的运 动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0 ≤t≤ 6),小球运动的 时间为多少时，小球最高？小球运动的最大高度是多少？ 3, 45 探究： 画出h=30t-5t2(0 ≤t≤ 6)的图象发现是 一条开口向下的抛物线；既然是开口向下的 抛物线，所以当t取最高点顶点的横坐标时， 这个函数有最大值，即h最大.