相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。
它们的边长之比相等，并且对应角度相等。
考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。
相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。
二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。
根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。
2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。
由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。
但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。
3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。
2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。
在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。
一、比例性质相似三角形的首要性质是比例性质。
两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。
具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。
这一性质可以用以下比例关系表达：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。
二、边长比例的重要性质边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点：1. 任意两边之比相等在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$2. 任意一边与其他边的长度比相等对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$3. 相似三角形的边长比例唯一如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。
这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。
三、角度对应的性质除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质：1. 对应角相等在相似三角形中，对应的角是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$2. 对角相等的必要条件如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相等的对应角度的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有许多有趣的性质和应用。
本文将探讨相似三角形的性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、比例关系在相似三角形中，对应边之间存在着一种特殊的比例关系。
具体而言，设两个三角形ABC和DEF相似，对应边分别为AB、AC和DE、DF，则有如下比例关系成立：AB / DE = AC / DF = BC / EF这意味着相似三角形的相应边长之间的比值是相等的，这一性质在解决实际问题时非常有用。
通过这种比例关系，我们可以根据已知条件计算未知边长，或者推导出其他有用的结论。
二、面积关系相似三角形的面积也存在一定的关系。
假设有两个相似三角形ABC 和DEF，对应边为AB、AC和DE、DF，则它们之间的面积比为：S(ABC) / S(DEF) = (AB / DE)^2 = (AC / DF)^2 = (BC / EF)^2这一性质说明，相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。
通过这一关系，我们可以通过已知条件计算出未知三角形的面积，或推导出其他相关的结论。
三、角度关系相似三角形的角度之间存在一一对应的关系。
具体而言，设有两个相似三角形ABC和DEF，对应角为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F，则有如下对应关系：∠A ≌∠D∠B ≌∠E∠C ≌∠F这说明，相似三角形的对应角度是相等的。
通过这一性质，我们可以利用已知角度计算未知角度，或者推导出其他相关的角度关系。
四、全等三角形的特殊情况当两个三角形既相似又相等时，它们就是全等三角形。
全等三角形是相似三角形的一个特殊情况，它们的对应边和对应角全都相等。
在解决实际问题时，有时我们会遇到相等和相似三角形的结合使用。
通过将相似三角形与全等三角形的性质结合起来，我们可以更加灵活地解决问题。
五、实际应用相似三角形的性质在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形的比例关系求解未知长度；在地图制作中，我们可以利用相似三角形的面积关系来计算地图上的距离和面积；在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的角度关系来确定建筑物之间的夹角等等。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。
在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。
本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。
一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。
对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。
2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。
即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。
4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。
二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。
三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。
通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。
2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。
通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。
相似三角形的基本定义与性质
相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。
1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。
换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。
2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质在实际应用中非常有用。
例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。
3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。
例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。
4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
这一性质可以应用于解决各种问题。
例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。
综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。
相似三角形的性质
数学八年级20．相似三角形的性质相似三角形的性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例；3．对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比；5．面积之比等于相似比的平方。
性质（3）主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质（5）进一步丰富了面积有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角。
例1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是___________.解题思路 由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换。
例2．如图，已知△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3， 则SADE：S DFGE 四边形：S FBCG 四边形=（ ）A ．1：9：36B ．1：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36解题思路 △ADE 、△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的 代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积。
例3．如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3 的面积分别为4、9和49，，求△ABC 的面积。
解题思路 由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质。
例4．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大。
解题思路 正方形的两个顶点放在三角形边上有三种情形，把每一种情形的正方形的边长用a 、b 、c 的代数式表示出来。
例5．如图，△PQR 和△P Q R '''是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为：AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：222222123123a a ab b b ++=++解题思路 本例是一个颇为复杂的非常规性证明题，显然不能用勾股定理证明，从已知易得相似三角形，由相似三角形的性质寻找解题的突破口。
相似三角形的概念与性质
相似三角形的概念与性质相似三角形是初中数学学科中的重要概念之一。
它们在几何图形的相似性质研究中具有重要的应用及意义。
本文将对相似三角形的概念和性质展开论述，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、相似三角形的概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
具体来说，若两个三角形的对应角度相等，三个对应边长成比例，则这两个三角形就是相似三角形。
在相似三角形中，我们通常将它们的对应边称为对应边，对应角称为对应角。
二、相似三角形的性质1. AAA相似定理AAA相似定理是说如果两个三角形的对应角度相等，则它们相似。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。
2. AA相似定理AA相似定理是说如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
换句话说，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们必定相似。
3. SAS相似判定法SAS相似判定法是说如果两个三角形的两个对应角相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。
换句话说，如果两个三角形的两个角分别相等，并且对应边成比例，那么它们一定相似。
4. SSS相似判定法SSS相似判定法是说如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们一定相似。
5. 相似三角形中的比例性质在相似三角形ABC和DEF中，对应边的比例相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这个性质在解决问题中有重要的应用。
三、相似三角形的应用1. 测量不便的距离计算利用相似三角形的性质，可以通过测量较小尺寸的三角形来计算较大尺寸的三角形的距离。
例如，在实际测量中，我们可以通过测量树干的投影与树影的比例来计算树高。
2. 图形的放大与缩小相似三角形的性质也常用于图形的放大与缩小。
在实际生活中，我们常常需要将一个平面图形按照一定的比例进行放大或缩小，而相似三角形的性质可以帮助我们实现这一需求。
3. 导航系统相似三角形的定理也在导航系统中得到广泛应用。
相似三角形的性质
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.
∴△ABD∽△A′B′D′,
BD
C
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
，
A′
∵
AB A′B′
=k
.
∴
AD A′D′
=k
.
B′ D′
C′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
相似三角形的相似比与对应边中线的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是
(1)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的5倍，
这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍. ( √ )
(2)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的9倍，
这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. ( × )
2.如图， △ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是
△ABC的高， A′D′，B′E′是△A′B′C′的高.
高线，
中线
角平分线，
高线
中线
角平分线
相似三角形的相似比与对应边上的高的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于 D，
A′D′⊥B′C′于 D′，且
AB A′B′
=k
.
求证：AD A′D′
=k
.
A′
A
B
D
C B′ D′
C′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠பைடு நூலகம்′ ∵ AD⊥BC， A′D′⊥B′C′， A
= L△ABC
L△A′B′C′
AB＋BC＋AC A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
B
=
kA′B′ ＋kB′C′＋kA′C′ A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是初中数学重要的概念之一，它们有着特定的性质和应用。
在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是：它们对应角度相等，或者它们的对应边比例相等。
基于这个定义，我们可以得出以下相似三角形的性质和定理。
二、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，且对应边比例相等，那么它们是相似的。
4. 相似三角形中，对应边的比例关系是恒定的，我们可以表示为a/b = c/d = e/f。
其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边。
5. 相似三角形的高、中线和角平分线也成比例。
三、相似三角形的应用1. 测量无法直接获得的长度：我们可以利用相似三角形的性质，通过已知长度和已知角度的三角形推导出其他长度的值。
例如，可以利用相似三角形的边比例关系来测量高楼的高度。
2. 解决间接测量问题：相似三角形的性质也可以应用于间接测量问题。
例如，当我们无法直接测量河流宽度时，可以通过测量自己位置与河对岸某一点之间的距离及角度，运用相似三角形的理论来计算出河流的宽度。
3. 几何证明：相似三角形的性质在几何证明中也起到重要的作用。
通过利用相似三角形的角等性质和边比例关系，可以简化、解决一些几何问题。
4. 模型建立：相似三角形的性质也可以应用于模型建立。
例如，制作比例模型时，可以根据相似三角形的比例关系来设计模型的尺寸。
四、相似三角形的推论基于相似三角形的性质和定理，我们还可以得出一些推论。
1. 正弦定理的推论：当两个角相等时，一般使用正弦定理来求解三角形的边长。
但是，当角等于30°、60°或90°时，我们可以运用相似三角形的性质，通过已知边长求解其他边长。
相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形的性质在几何学中具有重要的应用，涉及到比例、角度等概念。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际问题中的应用。
I．相似三角形的定义和比例关系相似三角形的定义是指：两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
用数学表示形式可以表示为：若ΔABC 与ΔDEF 相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且 AB/DE=AC/DF=BC/EF。
利用相似三角形的比例关系，我们可以推导出一些重要的性质和应用。
II．相似三角形的性质1. 边比例：在相似三角形中，对应边的比例相等。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 AB/DE=AC/DF=BC/EF。
2. 高线比例：在相似三角形中，对应高线的比例等于对应边的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 h1/h2=AB/DE=AC/DF=BC/EF。
3. 角度比例：在相似三角形中，对应角度相等。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
4. 周长比例：在相似三角形中，对应边的比例等于对应周长的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则AB/DE=AC/DF=BC/EF=Perimeter(ΔABC)/Perimeter(ΔDEF)。
5. 面积比例：在相似三角形中，对应边的比例的平方等于对应面积的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2=Area(ΔABC)/Area(ΔDEF)。
III. 相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量阴影和物体之间的比例，求得物体的高度。
例如，当太阳的高度和一个物体的阴影之间存在相似关系时，可以利用相似三角形的比例关系计算物体的高度。
2. 计算不可测量的距离：在实际测量中，有些距离很难直接测量。
但是，如果存在相似三角形的情况，可以利用相似三角形的比例关系，通过已知距离和比例计算出不可测量的距离。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。
在几何学中，相似三角形有一些重要的性质。
本文将详细介绍相似三角形的性质，包括比例关系、角度关系以及面积关系。
一、比例关系1. 边比例关系：设两个相似三角形分别为△ABC和△DEF，若它们的对应边AB、BC、AC和DE、EF、DF满足比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k （k为常数）则称两个三角形的边为成比例边，比例因子为k。
这表明两个相似三角形的对应边长度之比是相等的。
2. 角度比例关系：两个相似三角形的对应角度相等。
设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称△ABC与△DEF为相似三角形。
根据角度对应的边比例关系，我们可以得到以下重要的比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (边比例关系)∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F (角度比例关系)二、角度关系1. 对应角相等：已知两个相似三角形△ABC和△DEF，它们的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。
根据相似三角形的定义，我们可以得到∠A = ∠D∠B = ∠E∠C = ∠F这意味着两个相似三角形的对应角是相等的。
2. 内角之和：两个相似三角形的内角之和相等。
设∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°，这意味着两个相似三角形的内角之和相等，都等于180°。
三、面积关系1. 面积比例关系：设两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的面积之比等于边长之比的平方，即面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2 = k^2这意味着两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
2. 高比例关系：两个相似三角形的相应高之比等于边长之比，即高(△ABC)/高(△DEF) = AB/DE = BC/EF = AC/DF这表明两个相似三角形的相应高之比等于边长之比。
相似三角形的性质
相似三角形的性质1. 定义相似的三角形指的是具有相同的形状但可能不同的尺寸的三角形。
形式上，如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，则这两个三角形被认为是相似的。
2. 相似三角形的判定条件为了判断两个三角形是否相似，我们可以使用以下方法：•AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
•SAS相似定理：若两个三角形的一个角相等，而且两个边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
•SSS相似定理：若两个三角形的三个边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
其中，AA相似定理和SAS相似定理是最常用和简便的判定方法。
3. 相似三角形的性质相似三角形之间有许多有趣的性质和关系：•对应角相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角一定相等。
•对应边比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的长度比一定相等。
•周长比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的周长之比等于它们任意一对对应边的长度比。
•面积比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们任意一对对应边的长度比的平方。
•高比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的高之比等于它们任意一对对应边的长度比。
这些性质在解决三角形相关问题时非常有用。
4. 相似三角形的应用相似三角形的性质在日常生活和数学应用中广泛应用。
以下是一些常见的应用案例：•测量无法直接获得的距离：通过相似三角形的边比例性质，我们可以利用已知的距离和角度信息，计算出无法直接测量的距离。
•计算高楼或高山的高度：利用相似三角形的高比例性质，我们可以通过测量自己的身高以及自己和高楼或高山之间的距离，计算出高楼或高山的准确高度。
•解决地图问题：在地图上，距离往往难以直接测量。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量实际距离与地图上的距离，计算出地图上其他位置的实际距离。
•设计相似的图形：在设计中，我们经常需要创建与给定图形相似但比例不同的新图形。
利用相似三角形的性质，我们可以按比例调整给定图形的尺寸，以创建具有相似形状的新图形。
初中数学 相似三角形的性质定理
相似三角形的性质
相似三角形性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
(9)不必是在同一平面内的三角形里
①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，
那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
相似三角形的基本概念及性质
相似三角形的基本概念及性质相似三角形是平面几何中重要的概念之一。
在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，我们就可以说这两个三角形是相似的。
相似三角形具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍相似三角形的基本概念及其性质。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形具有相同的形状，但是大小不同的情况。
当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长度成比例时，我们可以称这两个三角形为相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比例关系在相似三角形中，对应边的长度是成比例的。
假设两个三角形ABC 和DEF是相似的，他们的对应边分别为AB与DE、AC与DF、BC与EF。
那么我们可以得到以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF2. 相似三角形的对应角相等在相似三角形中，对应角是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么他们的对应角度分别为∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比和面积比在相似三角形中，对应边的长度比例关系可以推导出周长比和面积比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么周长比k和面积比k²。
4. 相似三角形的高比和中线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出高比和中线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么高比k，中线比k。
5. 相似三角形的角平分线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出角平分线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么角平分线比为k。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用：1. 比例测量相似三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的长度。
通过已知长度的比例和相似三角形的性质，我们可以计算出未知长度。
2. 利用相似三角形进行图形的放大和缩小相似三角形的形状相同但尺寸不同，因此可以利用相似三角形进行图形的放大和缩小。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和特点。
本文将介绍相似三角形的性质，以及与之相关的定理和应用。
一、比例关系相似三角形中，对应边的长度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，对应边的长度满足以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC为三角形ABC的边长，DE、EF、DF为三角形DEF的边长。
这个比例关系可以推广至所有对应边。
二、角度关系相似三角形中，对应角度相等。
设ABC和DEF是相似三角形，对应角度满足以下关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的内角，∠D、∠E、∠F为三角形DEF的内角。
三、边长比例定理设ABC和DEF是相似三角形，若两个相似三角形的边长比例相等，则它们是相似的。
即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF成立，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
四、高度定理相似三角形的高度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，h1和h2分别为三角形ABC和DEF的高度，则有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF成立。
五、面积定理相似三角形的面积成比例的平方。
设ABC和DEF是相似三角形，S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2成立。
六、勾股定理相似直角三角形中，斜边成比例。
设ABC和DEF是两个相似的直角三角形，且∠C和∠F是直角，则有AC/DF = BC/EF成立。
七、应用举例1. 角平分线定理：在相似三角形中，角平分线分割对应边成比例。
2. 重心定理：在相似三角形中，连接重心和顶点的线段成比例。
相似三角形的性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形来计算无法直接测量的长度和距离。
三角形的相似性质
定义：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形相似。
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证明：根据SAS全等定理，我们知道如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形全等。由 于全等三角形一定是相似的，因此SAS判定法可以用来判断三角形相似。
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应用：在实际问题中，我们可以通过测量或计算三角形的两边及夹角来判断两个三角形是否相似。
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注意事项：在应用SAS判定法时，必须确保所测量的边和角是对应边和对应角，否则可能会出现误判。
定义：如果两个三角形有两个角分 别相等，并且这两个角所对的边也 相等，则这两个三角形相似
应用：在几何证明和实际问题中， 常常需要判定两个三角形是否相似， 角边角判定法是一种常用的方法
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01.
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04.
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两个三角形对应角相等 两个三角形对应边成比例 两个三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形用符号“∽”表示，读 作“相似于”
相似三角形的对应边上的高、中线、 角平分线等比值相等
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相似三角形对应角相等，对应边成 比例
相似三角形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方
对应角相等：相似三角形的对应角相等，即两个三角形中的角是相等的。 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即两个三角形中的边长比值相等。 面积比为相似比的平方：相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。 周长比等于相似比：相似三角形的周长比等于它们的相似比。
对应角相等的三角形一定是相 似的
相似三角形的对应边长成比例 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应高、中线、角平分线等成比例 相似三角形的周长、面积等成比例
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些独特的性质。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的判定条件有以下几种：1. 三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 三角形的对应边成比例：如果两个三角形的对应边之比相等，则它们是相似的。
这可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 两个角相等且夹在两边之间的比例相等：如果两个三角形的两个角分别相等，并且夹在两边之间的比例也相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE = BC/EF。
二、相似三角形具有以下性质：1. 对应边之比相等：如果两个三角形相似，它们的对应边之比相等。
这是相似三角形的最重要性质之一。
2. 对应角相等：如果两个三角形相似，它们的对应角是相等的。
3. 对应角平分线相交于一点：如果两个三角形相似，它们的对应角的平分线交于一点。
4. 对应中线之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应中线之比等于对应边之比。
5. 对应高之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应高之比等于对应边之比。
6. 相似三角形的面积之比等于边长之比的平方：如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边之比的平方。
7. 相似三角形的周长之比等于边长之比：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可直接测量的物体高度：通过测量相似三角形的一些已知边长和角度，可以推算出无法直接测量的物体的高度。
2. 利用相似三角形进行放缩：在地图制作、建筑设计等领域中，可以利用相似三角形进行放缩和缩小，以便在实际工作中进行精确的测量和设计。
三角形相似的性质
三角形相似的性质在数学的奇妙世界中，三角形相似是一个重要且有趣的概念。
当两个三角形的形状相同但大小可能不同时，我们就说它们是相似的。
而三角形相似具有一系列独特而实用的性质，这些性质在解决各种几何问题以及实际生活中的测量和计算中都发挥着关键作用。
首先，相似三角形的对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们对应的三个角的度数是完全一样的。
比如说，一个三角形的三个角分别是 30°、60°和 90°，那么与它相似的三角形的对应角也必然是 30°、60°和 90°。
这个性质是相似三角形最基本也是最直观的特征。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设我们有两个相似三角形，它们的对应边分别为 a、b、c 和 A、B、C。
那么就存在这样的比例关系：a/A ＝ b/B ＝ c/C 。
这个比例关系是解决很多与相似三角形相关的边长计算问题的关键。
例如，已知一个三角形的三条边分别为 3、4、5，另一个与其相似的三角形的一条边为 6，那么通过对应边成比例的性质，我们可以很容易地求出另外两条边的长度。
不仅如此，相似三角形的周长之比等于相似比。
相似比就是指两个相似三角形对应边的比值。
假设两个相似三角形的相似比为 k，它们的周长分别为 L1 和 L2 ，那么 L1/L2 ＝ k 。
这一性质让我们在已知相似比的情况下，可以快速地求出两个相似三角形周长之间的关系。
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这是一个非常重要的性质。
假设两个相似三角形的相似比为m，它们的面积分别为S1 和S2 ，那么 S1/S2 ＝ m²。
比如说，如果两个相似三角形的相似比为 2，那么它们的面积比就是 4 。
通过这个性质，我们可以在已知相似比的情况下，计算出两个相似三角形面积的比例关系，从而解决很多与面积相关的问题。
在实际应用中，三角形相似的性质有着广泛的用途。
比如在测量物体的高度时，如果我们无法直接测量，就可以利用相似三角形的性质来间接计算。
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相似三角形的性质
第1课时相似三角形对应线段的比
相似三角形的性质定理1：相似三角形__对应高__的比，__对应角平分线__的比，__对应中线__的比都等于相似比．
知识点：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比
1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于()
A．2∶3B．3∶2C．4∶9 D．9∶4
2．两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为()
A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶8
3．若两个相似三角形的相似比是7∶3，则这两个三角形对应中线的比是___________．
4．如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶5，那么它们对应高的比是_________．
5．已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE，B1E1分别是它们的对应中线，则BE∶B1E1＝________．6．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为____．
7．已知如图，△A′B′C′∽△ABC，且A′E′，AE是角平分线，A′D′，AD是中线．求证：△A′D′E′∽△ADE.
8．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，根据上述条件计算出敌方建筑物的高度．
9．用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm 变为5 cm ，那么看到的图形的高是原来的( )
A ．5倍
B ．15倍
C ．25倍
D ．1倍
10．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，
且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B ′E ′的长为( ) A .32 B .52 C .72 D .92
10题 11题 12题
11．(2014·南通)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )
A ．1
B ．3
C ．122－6
D ．62－6
12．如图，在长、宽、高都为4 m 的房间正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，加上灯罩．已知灯罩深8 cm ，灯泡离地面3 m ，为了使光线能照在墙壁上的1 m 高处，问灯罩的直径应为_____________．
13．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝4 cm ，A ′B ′＝3 cm ，AD ，A ′D ′分别为△ABC 与△A ′B ′C ′的中线，下列结论中： ①AD ∶A ′D ′＝4∶3；②△ABD ∽△A ′B ′D ′；③△ABD ∽△A ′B ′C ′；④△ABC 与△A ′B ′C ′对应边上的高之比为4∶3.其中结论正确的序号是_____________．
14．如图，是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
15．(2014·绍兴改编)如图，有一块斜料△ABC ，BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，将它加工成一个矩形的零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，此时这个矩形零件的两边长又分别是多少mm?
第2课时相似三角形的周长比和面积的比
相似三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于__相似比__；相似三角形面积的比等于__相似比的平方__．
知识点一：相似三角形周长的比
1．(2014·南京)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为() A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比等于() A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
第2题图第4题图
3．两个相似三角形的对应边上的中线之比为2∶3，周长之和为20，那么这两个三角形的周长分别是() A．8和12 B．9和11C．7和13 D．6和14
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE 于点G，BG＝42，则△EFC的周长为()A．11 B．10 C．9 D．8 知识点二：相似三角形面积的比
5．(2014·重庆)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积比为() A．3∶4 B．4∶3C．9∶16 D．16∶9
6．△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为( ) A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶9
7．(2014·黔东南)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AC与BD相交于点O，△AOD的面积为3，则△BOC的面积是____．
第7题图第8题图
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为____．
9．(2014·汕尾)如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，连接DE交AC于点F.
(1)求△AEF与△CDF的周长比；(2)如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF与S▱ABCD.
10．(2014·随州)如图，△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△COB＝()
A．1∶4B．2∶3C．1∶3D．1∶2
第10题图第11题图
11．(2014·宁波)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA 的面积比为()
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶ 3
12．(2014·莱芜)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD＝( )
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
第12题图第13题图
13．(2014·滨州)如图，平行于BC的直线DE将△ABC分成面积相等的两部分，则△ADE与△ABC的周长比是____________．
14．如图，将△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则平移的距离PP′是___________．
第14题图第15题图
15．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的三边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中的阴影部分)的面积分别是4，9和49，则△ABC的面积是____．
16．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.
(1)如图①，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
(2)如图②，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积．。