〖汇总3套试卷〗衡水市知名学校2018年九年级上学期数学期末考前冲刺必刷模拟试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3
【答案】A
【分析】利用顶点式求二次函数的解析式.
【详解】设二次函数y=a（x﹣1）1+2，
把（0，11）代入可求出a=-1．
故二次函数的解析式为y=﹣1（x﹣1）1+2．
故选A．
考点：待定系数法求二次函数解析式
2．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，3）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（）
A．（1，0）B．33）C．（13）D．（-13
【答案】C
【分析】根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.
【详解】∵A（-1,0），∴OA=1, ∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’,∴平移的距离为1个单位长度，∴则点B的对应点B’的坐标是（13）.
故答案为：C.
【点睛】
此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.
3．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m 1≥
B ．1m
C ．1m
D ．1m < 【答案】D
【解析】由抛物线与x 轴有两个交点可得出△=b 2-4ac ＞0，进而可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．
【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴有两个交点，
∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，即4-4m ＞0，
解得：m ＜1．
故选D ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点”是解题的关键． 4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2＝0①有两个不相等的实数根．则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞﹣14 B ．k ＞4 C ．k ＜﹣1 D ．k ＜4
【答案】A 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k 的一元一次不等式；解之即可得出结论．
【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k +1）2﹣4×1×k 2=4k +1
＞0，∴k ＞﹣
14
． 故选A ．
【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．如图，AB 是O 的直径，点F C 、是O 上两点，且AF FC CB ==，连接AC AF 、，过点C 作CD AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D ，若33CD =，则O 的半径为( )
A ．33
B ．3
C ．3
D ．6
【答案】D
【分析】根据已知条件可知Rt ACD 、Rt ABC 都是含30角的直角三角形，先利用含30角的直角三角形的性质求得AC ，再结合勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接BC 、OC ，如图：
∵AF FC CB ==
∴60BOC ∠=︒
∴30DAC BAC ∠=∠=︒
∴在Rt ACD 中，263AC CD == ∵AB 是O 的直径
∴90ACB ∠=︒
∴在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()2222BC AC BC +=
∴()()22263
2BC BC += ∴6BC =
∴212AB BC ==
∴O 的半径为162
OA OB AB ===． 故选：D
【点睛】
本题考查了圆的一些基本性质、含30角的直角三角形的性质以及勾股定理，添加适当的辅助线可以更顺利地解决问题．
6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合求解．
【详解】B 既是轴对称图形，又是中心对称图形；C 只是轴对称图形；D 既不是轴对称图形也不是中心对
称图形，只有A符合.
故选A.
7．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【答案】D
【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.
【详解】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
∵-2＜0
故当x=15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选:D.
【点睛】
此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键. 8．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（）
A．sinA=AC
AB
B．sinA=
BC
AB
C．sinA=
AC
BC
D．sinA=
BC
AC
【答案】B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=BC AB
．
故选B．
点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
9．如图，在O中，AB所对的圆周角0
50
ACB
∠=，若P为AB上一点，0
55
AOP
∠=，则POB
∠的度数为（）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【解析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
【详解】解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=100°，
∵∠AOP=55°，
∴∠POB=45°，
故选：B．
【点睛】
本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．
10．一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中任选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（）
A．1
2
B．
2
3
C．
2
5
D．
3
5
【答案】C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，
∴女生当组长的概率是：2
5
．
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是( )
A．1
4
B．
3
8
C．
1
2
D．
5
8
【答案】B
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从找找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得．
【详解】画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的有
所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率为
63
= 168
．
故选B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，1，8，1．这5个数据的中位数是（）
A．6 B．7 C．8 D．1
【答案】C
【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此求解即可.
【详解】将这组数据重新排序为6，7，8，1，1，
∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8.
故选C.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．小明身高1.76米，小亮身高1.6米，同一时刻他们站在太阳光下，小明的影子长为1米，则小亮的影长是_____米.
【答案】10 11
【分析】利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可．【详解】设小亮的影长为xm，
由题意可得：1.76 1.6
=
1x
，
解得：x=10 11
．
故答案为：10 11
．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．
14．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是_____cm1．【答案】35π．
【解析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=1
2
lr即可求解．
【详解】底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：1
2
×10π×7＝35πcm1．
故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．
【答案】1
【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到BA BD
BC BA
=，求得BC的长，
从而使问题得解.
【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴BA BD
BC BA
=．
∵AB=6，BD=4，
∴64
6
BC
=，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．16．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那
么该圆的半径为▲cm．
【答案】25
6
．
【解析】如图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵OD ⊥AB ，∴AD=12AB=12
（9﹣1）=1． 设OA=r ，则OD=r ﹣3，
在Rt △OAD 中，
OA 2﹣OD 2=AD 2，即r 2﹣（r ﹣3）2=12，解得r=256
（cm ）． 17．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2240x x --=的两个实数根，则
2112x x x x +＝____. 【答案】-3
【分析】欲求2112
x x x x +的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可． 【详解】解：根据题意x 1+x 2=2，x 1•x 2=-4，
2112x x x x +=222112x x x x +=()2121212
2x x x x x x +-=()2224=4-⨯---3. 故答案为：-3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
18．已知点A （2，4）与点B （b ﹣1，2a ）关于原点对称，则ab ＝_____．
【答案】1．
【解析】由题意，得
b−1=−1，1a=−4，
解得b=−1，a=−1，
∴ab=(−1) ×(−1)=1，
故答案为1.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，将CDB △绕点C 顺时针旋转到CEF △的位置，点F 在AC 上．
（1）CDB △旋转的度数为______︒；
（2）连结DE ，判断DE 与BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）90；（2）DE ∥BC ，见解析
【分析】（1）根据旋转的性质即可求得旋转角的度数；
（2）先利求得∠DCE=∠BCF=90°，CD=CE ，可得△CDE 为等腰直角三角形，即∠CDE=45°，再根据角平分线定义得到∠BCD=45°，则∠CDE=∠BCD ，然后根据平行线的判定定理即可说明．
【详解】解：（1）解：∵将△CDB 绕点C 顺时针旋转到△CEF 的位置，点F 在AC 上，
∴∠BCF=90°，即旋转角为90°；
故答案为90°．
（2）DE BC ∥，理由如下：
∵将CDB △绕点C 顺时针旋转到CEF △的位置，点F 在AC 上，
∴90DCE BCF ∠=∠=︒，CD CE =，
∴CDE △为等腰直角三角形，
∴45CDE ∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，
∴45BCD ∠=︒，
∴CDE BCD ∠=∠，
∴DE BC ∥.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定，掌握旋转变换前后图形的特点以及旋转角的定义是解答本题的关键．
20．如图，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）35
9 ．
【分析】（1）连接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可．（2）求出∠BOD=∠GOB，从而求出∠BOD的度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵AO=OB，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线．
（2）连接OG，
∵DG⊥AB，OB过圆心O，
∴弧BG=弧BD．
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°．
∴∠BOG=∠BOD=70°．
∴∠GOD=140°．
∴劣弧DG 的长是1405351809
ππ⋅⋅=． 21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】 (1)2w 2x 120x 1600=-+-;
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元;
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值．
【详解】解：（1）由题意得：()()()2
w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-．
（2）()2
2w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为2．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+2=150，解得x 1=25，x 2=3．
∵3＞28，∴x 2=3不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
22．如图，在O 中，AC CB =，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ．
（1）求证：CD CE =；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC 的面积．
【答案】（1）详见解析；（23
【分析】（1）连接OC ，由AC=BC ，可得∠AOC=∠BOC ，又CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，由角平分线定理可得CD=CE ； （2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC ，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得112OD OC ==，由勾股定理可得3CD =，可得132CDO S OD CD =⋅=△；同理可得3CBO S =△，进而求出3CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形．
【详解】（1）证明：连接OC ．
∵AC=BC ，
∴∠AOC=∠BOC ．
∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，
∴CD=CE ．
（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC ，
∴∠AOC=60°．
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∵OC=OA=2，
∴112
OD OC ==． ∴223CD OC OD -=
∴132CDO S OD CD =⋅=△ 同理可得3CBO S =△， ∴3CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形．
【点睛】
本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．
23．已知：二次函数y=x 2﹣6x+5，利用配方法将表达式化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，再写出该函数的对称轴和顶点坐标．
【答案】y =（x ﹣3）2-4；对称轴为：x=3；顶点坐标为：（3，-4）
【分析】首先把x 2-6x+5化为（x-3）2-4，然后根据把二次函数的表达式y=x 2-6x+5化为y=a （x-h ）2+k 的形式，利用抛物线解析式直接写出答案．
【详解】y=x2-6x+9-9+5=（x-3）2-4，即y=（x-3）2-4；
抛物线解析式为y=（x-3）2-4，
所以抛物线的对称轴为：x=3，顶点坐标为（3，-4）．
【点睛】
此题考查二次函数的三种形式，解题关键在于熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．
24．某校九年级学生某科目学期总评成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期总评成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下表是小张和小王两位同学的成绩记录：
若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定学期总评成绩．
（1）请计算小张的学期总评成绩为多少分？
（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？
【答案】（1）小张的期末评价成绩为81分．（2）最少考85分才能达到优秀
【分析】（1）直接利用加权平均数的定义求解可得；
（2）设小王期末考试成绩为x分，根据加权平均数的定义列出不等式求出最小整数解即可．
【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为701902807
127
⨯+⨯+⨯
++
＝81（分）；
答：小张的期末评价成绩为81分．（2）设小王期末考试成绩为x分，
根据题意，得：6017527
80
127
x
⨯+⨯+
≥
++
，
解得x≥842
7
，
∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀．
【点睛】
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB=1
2
时，
①求证：BE＝2CD．
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB=
2
时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝CD的长．
【答案】（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）210或410．
【分析】（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=1
2
可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH
是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；
②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据AC AD
AB AE
==
1
2
可证
明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得BE AB
CD AC
=，进而可得BE=2CD；
（2）由sinB=
2
2
可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种
情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可. 【详解】（1）①作EH⊥BC于点H，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=1
2
，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD.
∴在Rt△BEH中，∠B=30°
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD.
②BE＝2CD成立．
理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，
∵AC ：AB ＝1：2，AD ：AE ＝1：2， ∴AC AD AB AE
=， ∴△ACD ∽△ABE ， ∴
BE AB CD AC =， 又∵Rt △ABC 中，
AB AC ＝2， ∴BE CD
＝2，即BE ＝2CD.
（2）∵， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠DAE ＝45°，
∵ED ⊥AC ，
∴∠AED ＝∠BAC ＝45°，
∴AD ＝DE ，AC ＝BC ，
将△ADE 绕点A 旋转，∠DEB ＝90°，分两种情况：
①如图所示，过A 作AF ⊥BE 于F ，则∠F ＝90°，
当∠DEB ＝90°时，∠ADE ＝∠DEF ＝90°，
又∵AD ＝DE ，
∴四边形ADEF 是正方形，
∴AD ＝AF ＝EF ＝
∵AC ＝10＝BC ，
∴AB ＝，
∴Rt △ABF 中，BF ＝＝
∴BE ＝BF ﹣EF ＝
又∵△ABC 和△ADE 都是直角三角形，
且∠BAC ＝∠EAD ＝45°，
∴∠CAD ＝∠BAE ，
∵AC ：AB ＝1，AD ：AE ＝1， ∴AC AD AB AE
=， ∴△ACD ∽△ABE ，
∴BE AB CD AC =，即CD ，
∴CD＝210；
②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝25，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝102，
∴Rt△ABF中，BF＝22
AB AF
-＝65，
∴BE＝BF+EF＝85，
又∵△ACD∽△ABE，
∴BE AB
CD AC
=＝2，即
85
CD
＝2，
∴CD＝410，
综上所述，线段CD的长为10或10
【点睛】
本题考查三角函数的定义、特殊角的三角函数值及相似三角形的判定与性质，根据正弦值得出∠ABC的度数并熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键.
26．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半径为7
2
，AC＝6，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）713
6
．
【分析】（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；
（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得
613 CE=，
再利用DC DG
DF DC
=＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．
【详解】（1）证明：如图，连接OC
∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，∴OC⊥CE，CE⊥AE
∴OC∥AE
∴∠OCA＝∠EAC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；（2）如图，设OC交BD于点G，连接DC
∵AD为直径
∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°
∵CE⊥AE
∴DB∥CE
∵OC⊥CE
∴OC⊥BD
∴DG＝BG
∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E ∴△ACD∽△AEC
∴CE CD AC AD
=
∵⊙O的半径为7
2
，AC＝6
∴AD＝7，22
7613
CD=-=
∴
13 6
CE
=
∴
13
7 CE=
易得四边形BECG为矩形
∴DG＝BG＝
13
7 CE=
∵DC DG
DF DC
=＝cos∠FDC
613
137
13
=
解得：
13
6 DF=
∴DF的长为
13 6
.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD ∽△AEC ，再根据相似三角形的性质求解. 27．如图，半圆O 的直径2AB =，将半圆O 绕点B 顺时针旋转45︒得到半圆O '，半圆O '与AB 交于点P ．
（1）求AP 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）AP=22-；（2）142S π=+阴影． 【分析】（1）先根据题意判断出△O ′PB 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB 的长，进而可得出AP 的长；
（2）由题意根据O PB O A P S S S '∆''=+阴影扇形，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接O P '，
45OBA '∠=︒，O P O B ''=，
O PB ∴'∆是等腰直角三角形，
2PB BO ∴=，
22AP AB BP ∴=-=．
（2）阴影部分的面积为21111114242
O PB O A P S S S ππ'∆''=+=
⨯⨯+⨯⨯=+阴影扇形． 【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ） A ．向左平移1个单位
B ．向上平移3个单位
C ．向右平移3个单位
D ．向下平移3个单位
【答案】B
【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.
【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4
A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；
B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；
C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；
D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.
2．在四边形 ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点 H 为垂足，设 AB ＝x ，AD ＝y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【详解】因为DH 垂直平分AC ，∴DA=DC ，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC,∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH ∽△CAB ，∴
AD AH AC AB =， ∴24y x = ，∴y=8x
， ∵AB<AC ，∴x<4，
∴图象是D.
故选D.
3．如图，△ABC 是一张周长为18cm 的三角形纸片，BC=5cm ，⊙O 是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下△AMN ，则剪下的三角形的周长为（ ）
A ．13cm
B ．8cm
C ．6.5cm
D ．随直线MN 的变化而变化
【答案】B 【分析】如图，设E 、F 、G 分别为⊙O 与BC 、AC 、MN 的切点，利用切线长定理得出BC=BD+CF ，DM=MG ，FN=GN ，AD=AF ，进而可得答案．
【详解】设E 、F 、G 分别为⊙O 与BC 、AC 、MN 的切点，
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF ，
∴BD+CF=BC ，
∵MN 与⊙O 相切于G ，
∴DM=MG ，FN=GN ，
∵△ABC 的周长为18cm ，BC=5cm ，
∴AD+AF=18-BC-(BD+CF)=18-2BC=8cm ，
∴△AMN 的周长=AM+AN+MG+GN=AM+DM+AN+FN=AD+AF=8cm ，
故选：B.
【点睛】
本题考查切线长定理，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟练掌握定理是解题关键.
4．如图，在扇形OAB 中，∠90AOB =︒，2OA =，则阴影部分的面积是（ ）
A ．2
B ．π
C ．2π
D ．π2-
【答案】D 【分析】利用阴影部分的面积等于扇形面积减去AOB 的面积即可求解.
【详解】=AOB OAB S S S -阴影扇形
213602n r AO OB π=- =29021223602
π-⨯⨯ 2π=-
故选D
【点睛】
本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.
5．如图，AB 是
O 的直径，点D 是AB 延长线上一点，CD 是O 的切线，点C 是切点，30CAB ∠=︒，若O 半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．161633π-
B ．8833π-
C ．2833π-
D ．21633
π- 【答案】B 【分析】连接OC ，求出∠COD 和∠D ，求出边DC 长，分别求出三角形OCD 的面积和扇形COB 的面积，即可求出答案．
【详解】连接OC ，
∵AO=CO ，∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB =60°，
∵DC 切⊙O 于C ，
∴OC ⊥CD ，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD =90°-60°=30°，
在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=4，
∴CD =
∴阴影部分的面积是:
22
OCD COB 116048S 483236023603
n r S OC CD πππ-==-=⨯⨯=扇形 故选：B ．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，三角形的面积的应用，还考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．
6．已知反比例函数y=﹣6x
，下列结论中不正确的是( ) A ．图象必经过点(﹣3，2) B ．图象位于第二、四象限
C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3
D ．在每一个象限内，y 随x 值的增大而减小 【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A 、∵（﹣3）×2=﹣6，∴图象必经过点（﹣3，2），故本选项正确；
B 、∵k=﹣6＜0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故本选项正确；
C 、∵x=-2时，y=3且y 随x 的增大而而增大，∴x ＜﹣2时，0＜y ＜3，故本选项正确；
D 、函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，在解答此类题目时要注意其增减性限制在每一象限内，不要一概而论． 7．抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( )
A ．()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1-
【答案】A
【分析】已知抛物线顶点式y=a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】∵抛物线y=3（x ﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）
A．86°B．94°C．107°D．137°
【答案】D
【详解】解：∵∠BOD=86°，
∴∠BAD=86°÷2=43°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-43°=137°，
即∠BCD的度数是137°．
故选D．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
9．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为﹣1，则（）
A．a+b+c=0 B．a﹣b+c=0 C．﹣a﹣b+c=0 D．﹣a+b+c=0
【答案】B
【解析】直接把x＝−1代入方程就可以确定a，b，c的关系．
【详解】∵x＝−1是方程的解，
∴把x＝−1代入方程有：a−b＋c＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，就可以确定a，b，c的值．
10．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）
A．12个B．16个C．20个D．30个
【答案】A
【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：1．∴口袋中黑球和白球个数之比为1：1．
∴4×1=12（个）．故选A ．
考点：用样本估计总体．
11．下列说法正确的是（ ）．
A ．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B ．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C ．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【答案】C
【解析】试题解析：A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误；
B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；
C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误.
故选C.
12．一块△ABC 空地栽种花草，∠A=150°，AB=20m ，AC=30m ，则这块空地可栽种花草的面积为（ ）m 2
A ．450
B ．300
C ．225
D ．150
【答案】D
【分析】过点B 作BE ⊥AC ，根据含30度角的直角三角形性质可求得BE ，再根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】过点B 作BE ⊥AC ，交CA 延长线于E ，则∠E=90°，
∵150BAC ∠=︒，
∴180********BAE BAC ∠∠=︒-=︒-︒=︒，
∵在Rt BEA 中，90E ∠=︒，20AB m =， ∴1102
BE AB m =
=， ∴2ABC 11 •301015022S AC BE m ==⨯⨯= 这块空地可栽种花草的面积为2150m ．
故选：D
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()3,0，点D 的坐标为()0,4，
延长CB 交x 轴于点1A ，作第2个正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ；作第3个正方形2221A B C C ，
…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为__________.
【答案】4
75()4⨯
【分析】先求出第一个正方形ABCD 的边长，再利用△OAD ∽△BA 1A 求出第一个正方形111A B C C 的边长，再求第三个正方形边长，得出规律可求出第5个正方形的边长.
【详解】∵点A 的坐标为()3,0，点D 的坐标为()0,4
∴OA=3，OD=4， ∴22345+=AD
∵∠DAB=90°
∴∠DAO+∠BAA 1=90°，
又∵∠DAO+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BAA 1
∴△OAD ∽△BA 1A ∴1OA OD =A B AB 即134=A B 5
∴115A B=
4
∴1157A C=5=544+⨯ 同理可求得21A C =2754⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
得出规律，第n 个正方形的边长为1754-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
n
∴第5个正方形的边长为4754⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，此题的关键是根据计算的结果得出规律.
14．已知：在⊙O中，直径AB＝4，点P、Q均在⊙O上，且∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，则弦PQ的长为_____．
【答案】2或1
【分析】当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，先计算出∠PAQ＝30°，根据圆周角定理得到∠POQ＝60°，则可判断△OPQ为等边三角形，从而得到PQ＝OP＝2；当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，先计算出∠PAQ＝90°，根据圆周角定理得到PQ为直径，从而得到PQ＝1．
【详解】解：当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ＝OP＝2；
当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝90°，
∴PQ为直径，
∴PQ＝1，
综上所述，PQ的长为2或1．
故答案为2或1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．。