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高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
柳州铁一中学2016届高三5月月考试卷
数学理科
第Ⅰ卷(选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.如果复数
212bi
i
++（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．2
3
- D ．2
2.已知集合{}{}2,3,4,5,|sin 0M N x x ==>，则M N ⋂为（ ）
A ．{}2,3,4,5
B ．{}2,3,4
C ．{}3,4,5
D ．{}2,3
3.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．4
4. 设,a b 为实数，则“1ab >”是“1
b a
>
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.若向量()()3,1,2,1AB n =-=，且7,n AC ⋅=那么n BC ⋅等于（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2
6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
()83
6
π+ B ．
()823
6
π+ C ．
()63
6
π+ D ．
()923
6
π+
7.如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的 y 值恰好是-1，则“？”处应填的关系式可能是（ ）
A ．21y x =+
B ．3x y -=
C ．y x =
D ．13
log y x =
8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,31n n a a S n +==≥，则6a =（ ） A ．434⨯ B ．4341⨯+ C ．44 D ．441+ 9.若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4
π
αβ-=，则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．
110 C ．1或 1
10
D ．1或10 10. 球面上有三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中
6AB =,8,10BC AC ==，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积
为（ ） A ．
3400π B ．π150 C ．3500π D ．7
600π 11.已知函数()()()1
2
,1x f x a g x bf x -=+=-，其中,a b R ∈.若满足不等()()f x g x ≥的解的最小值为
2，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．0a <
B ．14a >-
C ．2a ≤-
D ．1
4
a >-或2a ≤- 12. 抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点，且满足
120=∠AFB ，
过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
AB
MN 的最大值为（ ）
A.
46 B. 3
6
C. 23
D. 33
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 二项式4
3
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为____ ____． 14. 定义在R 上的函数()()()
211311x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()12f x <-的解集为 .
15.已知圆22
:1O x y +=与x 轴负半轴的交点为,A P 为直线340x y a +-=上一点，过P 作圆O 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则a 的最大值为 .
16.定义在()0,+∞上的单调函数()()(),0,,ln 1f x x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦
，则方程()()'
1f x f x -=的解所在区间正确的序号是 ．
① 10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ ， ② 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
③()1,2 ④ ()2,3 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，满足222
b c bc a +=+．
(1)求角A 的大小；(2)已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1a A =，且248,,a a a 成等比数列，求
1
4
{
}n n a a +的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；
（2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3
人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)
45,
40岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X .
19．（本小题满分12分）
如图长方体1111ABCD A B C D -的11AA =，底面ABCD 的周长为4，E 为1BA 的中点． （1）判断两直线1EC 与AD 的位置关系，并给予证明；
（2）当长方体1111ABCD A B C D -的体积最大时，求直线1BA 与平面1A CD 所成角θ．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>和椭圆222:12x C y +=，离心率相同，且点(2,1)在椭圆1C 上．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设P 为椭圆2C 上一点，过点P 作直线交椭圆1C 于,A C 两点，且P 恰为弦AC 的中点．则当点P 变化时，试问AOC ∆的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数()2x e f x ax bx c
=++，其中,,a b c R ∈.
（1）若1,1,1a b c ===，求()f x 的单调区间；
（2）若1b c ==，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；
（3）若0,0,1a b c >==，若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()212112
e e
f x f x a +<+<.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是圆O 的割线，已知AC AB =. （1）若1,4CG CD ==，求
DE
GF
的值； （2）求证：AC FG //.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若点()1,2P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--.
（1）求不等式()2f x >的解集； （2）若()27
,2
x R f x t t ∀∈≥-恒成立，求实数t 的取值范围.
柳州铁一中学2016届高三5月月考试卷
数学理科(参考答案)
一．选择题 1.B
()()()()()()2122242,22412121
25
bi i b b i bi b b i i i +-++-+==∴+=-++-，解得2
3b =.选B.
6.A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为3，因此该几
何体体积为()()28311134313223323636V πππ+⎛⎫
=
⋅⋅⋅⋅+⋅⨯⨯=+=
⎪⎝⎭
.选A. 7.A 依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为-1，这时，如果输出的y 值恰好是-1，则函数关系式可能为21y x =+.故应选A.
8.A 由13n n a S +=，得()132n n a S n -=≥，所以()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即()142n n a a n +=≥，又
2133a S ==，所以数列2
1,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，因此4
634a =⨯.选A. 9.C ()2tan tan lg10lg tan 11lg lg 01tan tan 1lg10lg a a
a a a a
αβαβαβ---=⇒==⇒+=-+，
所以lg 0a =或lg 1a =-，即1a =或1
10
.选C.
10.A 222
AB BC AC +=，ABC ∴为直角三角形，其外接圆半径为52
AC =，即截面的圆的半径为5r =，又球心到截面的距离为2R d =，222()25,2
R
R r ∴-==
103,3R =240043
S R ππ∴==．选A.
11.D 由()()f x g x ≥得()122x x a b a --+≥+，即()212212x x x a b a -+⋅≥+⋅，令2x t =，则
()21102t a b t b +--≥，由题意知14t =是方程()21
102t a b t b +--=的解.()8410a b b ∴+--=，得4841a b a +=+，又1222,02b t t b t ⋅=-∴=-≤，即4841a b a +=≥+，解得1
4
a >-或2a ≤-.选D. 12.D 过A 和B 分别作准线的垂线，垂足分别为1A 和1B ,由抛物线定义知：
MN
BB AA BF AF 211=+=+,故
AB
BF AF AB
MN 2+=
,又在三角形ABF 中，
BF AF BF AF BF AF BF AF AB ++=-+=2
2
2
2
2
120cos 2 ，
所
以
()BF
AF BF AF AB
-+=2
2
，而
()
4
2
BF AF BF AF +≤
,则
()22
43
BF AF AB +≥
，即AB BF AF 332≤+,因此3
32≤+=AB BF AF AB MN ，当且仅当BF AF =取等号。

二、填空题
13. 4 通项为144433
14
4
4(),40,33
r r
r
r
r r T C x
x C x
r r -
--+==-==，常数项为3
4
4C =． 14.57|122x x x ⎧
⎫<-<<⎨⎬⎩
⎭或 当1x ≤时，()1121,2122x x f x x =-<-∴<⇒<-；当1x >时，
()15731222f x x x =--<-⇒<<，∴不等式()12f x <-的解集为57|122x x x ⎧
⎫<-<<⎨⎬⎩
⎭或.
15.323 设(),P x y ，由2PA PT =可得()()
2222141x y x y ++=+-，化简得2
211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，可
转化为直线340x y a +-=与圆2
211639x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭有公共点，所以1453a d -=≤，解得172333a -≤≤
. 16．③ 令()ln f x x t -=，由函数()f x 单调可知t 为正常数，则()ln f x t x =+，且()1f t =，即
ln 1t t +=，设()()'1
ln ,10g t t t g t t
=+=+>，所以()g t 在()0,+∞上是增函数，又()11g =，所1t =，
()1ln f x x ∴=+，而()'1f x x =，所以方程可化为1ln 0x x -=，记()()1
ln 0h x x x x
=->，而
()'211
0h x x x
=+>，
所以()h x 在()0,+∞上是增函数，又()()10,20h h <>，所以方程的解在区间()1,2内.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解：(1)∵2
2
2
b c bc a +=+，∴
22211
,cos 2222
b c a bc A bc bc +-===． 又(0,)A π∈，∴3
A π
=
；……5分
(2)设{}n a 的公差为d ，由已知得112cos a A
=
=，且2
4
28,a a a = 2(23)(2)(27)d d d ∴+=++．又d 不为零，∴2d =，……9分
2n a n ∴=……10分 14111
(1)1
n n a a n n n n +∴==-++……11分
∴111111(1)()()1223111
n n
S n n n n =-+-+-=-=+++……12分
18.解（1）第二组的频率为10.040.040.030.020.0150.3-
++++⨯=（），所以0.3
0.065
= 频率直方图如下：
第一组的人数为
1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n == 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以195
0.65300
p ==
第四组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=.
（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以
采用分层抽样法抽取18人，[)40,45岁中有12人，[)45,50岁中有6人.随机变量X 服从超几何分布.
()()0312********
18185
150,120468
C C C C P X P X C C ====== ()()213012612633
18183355
2,368204
C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3 P 5204 1568 3368 55
204
所以数学期望5153355
012322046868204
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
19．解：19．（1）1EC 与AD 是相交直线．……1分
证明如下：连接11,AB C D ,则11AB C D 是平行四边形，E 也是1AB 的中点，
111
,2
AE C D AE C D ∴=1AEC D ∴为梯形，1,,,A E C D 四点共面，
1EC 与AD 为梯形两腰，故1EC 与AD 相交．……5分
（2）设11112
12,2,(2)(2)()12
ABCD A B C D b b AB b AD b V b b AA b b -+-==-=-⨯=-≤=
当且仅当2,1b b b =-=时取等号……7分
分别以边1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示直角坐标
系，则1(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)B A C D ，
11(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)BA CD CA =-=-=--，
设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，
则0
x x y z -=⎧⎨
--+=⎩，取1z =，则(0,1,1)n =……10分
111sin cos ,222BA n θ∴=<>==⨯，……11分
6π
θ∴=
．……12分
20．（1）由题知，22
211a b +=且12
c a =即224,2a b ==， ∴椭圆1C 的方程为22
142
x y +=； ……4分
（2）当直线AC 的斜率不存在时，必有(2,0)P ±，
此时2AC =，2AOC
S
=；……5分
当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k 、点00(,)P x y ，则AC ：00()y y k x x -=-
与椭圆1C 联立，得222
0000(12)4()2()40k x k y kx x y kx ++-+--=，
设1122(,),(,)A x y C x y ，则0012
02
2()2(12)
k y kx x x x k -+=
=-+，即002x ky =-……8分 又2
2
0012x y +=，∴202
112y k
=+……9分 2222
0000002
2216()4(12)[2()4]112121AOC
y kx k y kx k y kx S k k k
∆---+--=⨯⨯+⨯++ 22
22222
00
0000
2
2
2(12)()(12)2(12)(12)2
2
1212y kx k y kx k y k k y k
k
-+--++-+=++
202122y k =+=，综上，无论P 怎样变化，△AOC 的面积为常数2．……12分 21.解：（1）()()2,1x e f x f x x x =++的定义域为R ，()()()
2'
221x e x x f x x x -=++ 增区间为()(),0,1,-∞+∞，减区间为()0,1；
（2）()21
x e f x ax x =++因为()f x 在[)0,+∞有意义，所以0a ≥
若0a =，则()()()'
2
,011x x e xe f x f x x x ==≥++，所以()()min 01f x f == 若0a >，则()()()()
2
'
2222
121211x
x
a e ax x e ax a x a f x ax x ax x -⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭==++++ 当1
02a <≤
时，()()min 01f x f == 当12a ≥时，()f x 在210,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在21,a a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数，()()min 01f x f <=，不成立，综上，1
02
a ≤≤；
（3）()()()()
2'
2
2221,11x x e ax ax e f x f x ax ax -+==++，因为()f x 有两个极值点，所以2440a a ->，因此1a >
令()'
0f x =，因此极值点12,x x 为方程2
210ax ax -+=的两个根，又()()12
122212,11
x x e e f x f x ax ax ==++
注意到2
210,1,2i
i ax ax i -+==，()()121212121
,,22x x e e f x f x x x ax ax a
===，
马鸣风萧萧 所以()()()12121221121122
x x x x e e f x f x x e x e a x x ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ 注意到()1221112x x x e x e e a +>，因此()()121f x f x e a
+> 又()()()12122122111242
x x x x x x e e e x e x e ++++<< 因此()()212112
e e
f x f x a +<+<.
22.解：（1）由题意可得：,,,G E D F 四点共圆，
,CGF CDE CFG CED ∴∠=∠∠=∠
.DE CD CGF CDE GF CG ∴∆∆∴
=，又1,4,4DE CG CD GF ==∴=； （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅
又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=
所以AD AC AC AE
=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ACE ∆∆ 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，
所以FG AC .
23.解（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2
239x y +-=； （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--= 由()22cos 2sin 470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根，
所以()12122cos sin 7
t t t t αα⎧+=--⎪⎨⋅=-⎪⎩，又直线过点()1,2，故结合t 的几何意义得 ()()22
1212121244cos sin 28PA PB t t t t t t t t αα+=+=-=+-=-+ 324sin 232427α=-≥-=
所以PA PB +的最小值为27
24.解（1）()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩
当1,42,6,6;x x x x <---><-∴<-当2212,32,,233x x x x -≤<<>
∴<< 当2x ≥，42,2,2x x x +>>-∴≥
综上所述2|63x x x ⎧
⎫><-⎨⎬⎩⎭
或 （2）易得()()min 13f x f =-=-，若()27,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222
f x t t t t =-≥-
⇒-+≤⇒≤≤
综上所述3
2 2
t≤≤
马鸣风萧萧。