2019年重庆市主城六校发展共同体中考二模数学试题(教师版)

2019年重庆市主城六校发展共同体中考二模数学试题
一、选择题
1.在3-，1-，0，1这四个数中，最小的数是( ) A. 3- B. 1-
C. 0
D. 1
【答案】A 【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案． 【详解】由正数大于零，零大于负数，得
3101-<-<<，
最小的数是3-， 故选A ．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键．
2.下列几何体中，俯视图．．．
为三角形的是（ ） A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】依次观察四个选项，A 中圆锥从正上看，是其在地面投影；B 中，长方体从上面看，看到的是上表面；C 中，三棱柱从正上看，看到的是上表面；D 中四棱锥从正上看，是其在地面投影；据此得出俯视图并进行判断.
【解答】A 、圆锥俯视图是带圆心的圆，故本选项错误； B 、长方体的俯视图均为矩形，故本选项错误； C 、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确； D 、四棱锥的俯视图是四边形，故本选项错误； 故选C.
【点评】本题应用了几何体三视图的知识，从上面向下看，想象出平面投影是解答重点；
3.计算(-a)3÷a结果正确的是()
A. a2
B. -a2
C. -a3
D. -a4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案
【详解】（-a）3÷a=-a3÷a=-a3-1=-a2，
故选B．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）
A. 32
B. 8
C. 4
D. 16
【答案】C
【解析】
分析：由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF 的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．
详解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为16，
∴△DEF的面积为：16×1
4
=4．
故选：C．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．
5.下列命题中，错误的是( )
A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 两条对角线相等的平行四边形是菱形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 四边形相等的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A 、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题； B 、两条对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； C 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题； D 、四边形相等的四边形是菱形是真命题； 故选：B.
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握菱形的判定定理是解题的关键.
6.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？若设小明答对了x 道题，则由题意可列出的
不等式为( ) A. 10x+5(20﹣x)＞90 B. 10x+5(20﹣x)＜90 C. 10x ﹣5(20﹣x)＞90 D. 10x ﹣5(20﹣x)＜90
【答案】C 【解析】 【分析】
根据答对题的得分：10x ；答错题的得分：﹣5(20﹣x)，得出不等关系：得分要超过90分. 【详解】解：由题意可列出的不等式为10x ﹣5(20﹣x)＞90， 故选：C.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，掌握：答错或不答都扣5分，至少即大于或等于是解题的关键.
7.对于二次函数y ＝﹣x 2+2x+3，下列说法不正确的是( ) A. 开口向下
B. 当x≥1时，y 随x 的增大而减小
C. 当x ＝1时，y 有最大值2
D. 当y ＞0时，﹣1＜x ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】
先把一般式配成顶点式得到y ＝﹣(x ﹣1)2+4，再根据二次函数的性质可对A 、B 、C 进行判断；通过解方程
﹣x2+2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，然后利用图象可对D进行判断.
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，
当x≥1时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y有最大值4；
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，
当﹣1＜x＜3时，y＞0.
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.
8.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣2，则输出的值为( )
A. ﹣7
B. ﹣3
C. ﹣5
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由于x＝﹣2＜0，则把x＝﹣2代入x2+1中计算即可.
【详解】解：当x＝﹣2，x2+1＝4+1＝5.
故选：D.
【点睛】本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值.
9.如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B.若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 12
【解析】
【分析】
根据切线长定理得到BC＝BA，根据勾股定理求出PB，根据切线的性质、勾股定理计算即可. 【详解】解：设⊙O的半径为r，
由切线长定理得，BC＝BA＝3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝90°，
∴PB
5，
∴AP＝PB+AB＝8，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴AP2+OA2＝OP2，即82+r2＝(4+r)2，
解得，r＝6，
故选：C.
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
10.甲骑摩托车从A地去B地.乙开汽车从B地去A地.同时出发，匀速行驶.各自到达终点后停止.设甲、乙两人间的距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，下列结论中，错误的是
( )
A. 出发1小时时，甲、乙在途中相遇
B出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米
C. 出发3小时时，甲、乙同时到达终点
D. 甲的速度是乙速度的一半
【解析】
【分析】
根据函数图象和图象中的数据可以计算出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
【详解】解：由图象可得，
出发1小时时，甲乙在途中相遇，故选项A正确，
甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，
∴出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×(80﹣40)＝60千米，故选项B正确，
在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故选项C错误，
∵甲的速度是：120÷3＝40千米/时，乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，
∴甲的速度是乙速度的一半，故选项D正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答.
11.为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D处测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A处的仰角是49°，(参考数据：sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin49°≈0.75，tan49°≈1.15)，则通信塔AB的高度约为( ) A. 27米 B. 31米 C. 48米 D. 52米
【答案】A
【解析】
分析】
根据题意画出图形，延长AB交DC延长线于点E，设CE＝x、则BE＝2x、DE＝39+x，由tan∠BDE＝BE DE
求
得x＝21，即可知DE＝39+x＝60、BE＝2x＝42，再由AE＝DEtan∠ADE＝69，根据AB＝AE﹣BE可得答案. 【详解】解：如图所示，延长AB交DC延长线于点E，则∠DEA＝90°，
由题意知∠DBC ＝35°、∠ADE ＝49°、CD ＝39米，BC 的坡度为2：1 设CE ＝x 、则BE ＝2x 、DE ＝39+x ， 由tan ∠BDE ＝
BE DE 可得239x
x
+≈0.7， 解得：x ＝21，
∴DE ＝39+x ＝60、BE ＝2x ＝42，
在Rt △ADE 中，AE ＝DEtan ∠ADE≈60×1.15＝69， 则AB ＝AE ﹣BE ＝69﹣42＝27(米)， 故选：A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，特殊角的三角函数，三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算AE 、BE 长是解题的关键.
12.若整数a 使关于x 的分式方程111a x a
x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1
()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥
⎪⎩
无
解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 5 B. 7
C. 9
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】解：解关于x 的分式方程111
a x a
x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x≠±1，
∴a≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0，
∴1
2
a >
， 解不等式1
()02
x a -->，得：x ＜a ，
解不等式21
13
x x +-≥，得：x≥4，
∵关于x 的不等式组1
()02
2113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥
⎪⎩
无解，
∴a≤4，
∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．
二、填空题
13.“重庆到处都人从众”……今年的五一小长假，相信重庆市民的朋友圈已被“重庆太火”刷屏了.据重庆市旅游发展委员会公布的数据显示，五一节四天，重庆共接待境内外游客2559万人次，2259万用科学记数法表示为_______. 【答案】2.259×107 【解析】 【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数.
【详解】解：2259万＝2259 0000＝2.259×107， 故答案为：2.259×107.
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.
14.计算：﹣12019
+(﹣
12
)﹣2
____. 【答案】0 【解析】 【分析】
直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案. 【详解】解：原式＝﹣1+4﹣3 ＝0. 故答案为：0.
【点睛】本题考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键.
15.如图，将半径为6的半圆，绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落到点B′处，则图中阴影部分的面积是_____.
【答案】24π 【解析】 【分析】
根据整体思想，可知S 阴影＝S 半圆AB′+S 扇形ABB′﹣S 半圆AB ＝S 扇形ABB′，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵S 阴影＝S 半圆AB′+S 扇形ABB′﹣S 半圆AB 而根据旋转的性质可知S 半圆AB′＝S 半圆AB ∴S 阴影＝S 半圆AB′+S 扇形ABB′﹣S 半圆AB ＝S 扇形ABB′ 而由题意可知AB ＝12，∠BAB′＝60°
即：S 阴影＝2
6012360
π⋅⋅＝24π
故答案为24π.
【点睛】本题考查了扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可.
16.中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数
学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______.
【答案】1 6
【解析】
【分析】
本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解.
【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
所以恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是
2
12
＝
1
6
，
故答案为：1
6
.
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.
17.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为_________．
【答案】
【解析】 【分析】
过点G 作GH ⊥AD 于H ，根据翻折变换的性质可得GF ⊥AE ，然后求出∠GFH=∠D ，再利用“角角边”证明△ADE 和△GHF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=AE ，再利用勾股定理列式求出AE ，从而得解． 【详解】如图，过点G 作GH ⊥AD 于H ，
则四边形ABGH 中，HG=AB ， 由翻折变换的性质得GF ⊥AE ，
∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AFG=∠AED ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ， ∴HG=AD ，
在△ADE 和△GHF 中，
GHF D AFG AED GH AD ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ADE ≌△GHF （AAS ），
∴GF=AE，
∵点E是CD的中点，
∴DE=1
2
CD=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，==，
∴GF的长为
故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
18.蜂蜜具有消食、润肺、安神、美颜之功效，是天然的健康保健佳品.秋天即将来临时，雪宝山土特产公司抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司得到的总利润率为_____．
【答案】19%
【解析】
【分析】
设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，首先根据题中所给的两种情况分别列式求出4z=3y+6x①和z=3x②，然后可得y=2x，最后列式求售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时获得的总利润即可.
【详解】解：设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a瓶，
则：
10%320%30%
22%
3
ax ay az
ax ay az
???
=
++
，整理得：4z=3y+6x①，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，设丙种蜂蜜卖出b瓶，
则：310%220%30%
20%
32
bx by bz
bx by bz
???
=
++
，整理得：z=3x②，
由①②可得：y=2x，
∴当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，设丙种蜂蜜卖出c瓶，
则该公司得到的总利润率为：
510%620%30%0.5 1.20.30.5 2.40.9100%19%56565123cx cy cz x y z x x x
cx cy cz x y z x x x
???+++==?++++++，
故答案为：19%.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，利用利润、成本与利润率之间的关系列式计算是解题的关键．
三.解答题
19.计算：
（1）（x ﹣2y ）（x+2y ）﹣y （x ﹣4y ）；
（2）2344
(3)11
a a a a a ++++÷
--． 【答案】（1）x 2
﹣xy ；（2）2
a
a + 【解析】
分析：（1）先计算乘法，再合并同类项即可得到结论；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得． 详解：（1）原式=x 2
﹣4y 2
﹣xy +4y 2
=x 2
﹣xy ；
（2）原式=（31a -+223
1
a a a +--）÷2
21a a +-（）
=
21a a a +-（）•2
1
2a a -+（） =2
a
a +．
点睛：本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式和整式的混合运算顺序和运算法则．
20.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是高，连接DE ．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADE＝40°.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝1
2
∠BAC，求得∠BAD＝25°，根据三角形的内角和定理得到∠BCE
＝∠BAD＝25°，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴DE＝BD＝CD，
∴BC＝2DE；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，，
∴∠BAD＝1
2
∠BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，
∴∠BCE＝∠BAD＝25°，
∴∠DEC＝∠DCE＝25°，
∴∠BDE＝50°，
∴∠ADE＝40°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
21.某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计图(表)：
甲队员的成绩统计表
(1)在图1中，求“8环”所在扇形的圆心角的度数；
(2)经过整理，得到的分析数据如表，求表中的a、b、c的值.
(3)根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队准备选派乙参加比赛，请你写出一条射击队选派乙的理由.
【答案】(1)108°；(2)a=8，b=8，c=1.5；(3)乙的方差小说明乙的成绩稳定.
【分析】
(1)用360°乘以对应次数所占比例；
(2)根据平均数和中位数及方差的定义计算可得； (3)可以从中位数和方差的角度解答，答案不唯一.
【详解】解：(1)在图1中，“8环”所在扇形的圆心角的度数为360°×
3
10
＝108°； (2)a ＝
74839210
10
⨯+⨯+⨯+＝8，
b ＝882+＝8，
c ＝1
10
×[(7﹣8)2×5+(8﹣8)2+(9﹣8)2×2+(10﹣8)2×2]＝1.5；
(3)乙的方差小说明乙的成绩稳定(答案不唯一).
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差，熟练掌握各自的定义是解题的关键.
22.已知函数y ＝
1
a
x -+b （a 、b 为常数且a ≠0）中，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝﹣1时，y ＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x 的取值范围； （2）请在下列直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）请你在上方直角坐标系中画出函数y ＝2x 的图象，结合上述函数的图象，写出不等式1
a
x -+b ≤2x 的解集．
【答案】（1）y ＝
2
1
x -+2（x ≠1）；（2）见解析；（3）图象见解析；x ≥2或0≤x ＜1；．
【分析】
（1）分别把两组数代入y ＝
1
a
x -+b 得到方程组，求出a,b 即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）利用图象即可解决问题．
【详解】解：（1）把x ＝2时，y ＝4；x ＝﹣1时，y ＝1代入y ＝
1
a
x -+b 得 41
12
a b a b +=⎧⎪
⎨-+=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎨=⎩
，
∴该函数的解析式为y ＝2
1
x -+2（x ≠1）； （2）如图：
（3）如图：在平面直角坐标系中作直线y ＝2x ，
221y x =
+-的图象与直线y ＝2x 的交点为（0，0），（2，4），结合函数图象可得222x 1
x +≤-的解集为x ≥2或0≤x ＜1。

故答案为：x ≥2或0≤x ＜1
【点睛】本题考查一次函数，反比例函数图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．
23.LED 灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LED 灯的使用.某商场购进了LED 灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED 灯泡为每个进价45元，售价为每个60元，普通白炽灯泡进价为每个25元，售价为每个30元.
(1)若LED 灯泡按原售价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利3200元.求该商场购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
(2)该商场又购进LED 灯泡与普通白炽灯泡若干个并展开了降价促销活动，在促销期间，每个LED 灯泡的利润为进价的(m+20)%，每个普通白炽灯泡按原售价降低1
3
m%销售.结果在促销活动中LDE 灯泡的销售量比(1)中的销售量降低了
4
3
m%，普通白炽灯泡销售量比(1)中销售量上升了20%，活动共获利2400元，求m 的值. 【答案】(1)购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；(2)m ＝45. 【解析】 【分析】
(1)设该商场购进LED 灯泡x 个，普通白炽灯泡的数量为y 个，利用该商场购进了LED 灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可； (2)根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得m 的值.
【详解】解：(1)设该商场购进LED 灯泡x 个，普通白炽灯泡的数量为y 个， 根据题意得
300
(6045)(0.93025)3200x y x y +=⎧⎨
-+⨯-=⎩
， 解得200
100x y =⎧⎨
=⎩
，
答：该商场购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个； (2)根据题意得， 45(m+20)%×200(1﹣
4
3m%)+[30(1﹣13
m%)﹣25]×100(1+20%)＝2400
解得，m ＝0(舍去)，或m ＝45. ∴m ＝45.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程或方程组，利用方程的思想解答.
24.材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z 满足
y z z x x y
k x y z
+++===，求2x y z --的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参
数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设
y z z x x y
k x y z
+++===，则有： y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，
将以上三个等式相加，得()()2x k z k x y z ++=++.
x ，y ，z 都为正数， ∴2k =，即
2y z
x
+=，. ∴20x y z --=.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数x ，y ，z 满足
222x y z
k y z z x x y
===+++，求k 的值；
（2）已知
()()
23a b b c c a
a b b c c a +++==---，a ，b ，c 互不相等，求证：8950a b c ++=. 【答案】（1）k=1
3
；（2）见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x 、y 、z 满足
222x y z
k y z z x x y
===+++，
∴x=k （2y+z ），y=k （2z+x ），z=k （2x+y ）， ∴x+y+z=3k （x+y+z ）， ∵x 、y 、z 均为正数， ∴k=
1
3
； （2）证明：设()()
23a b b c c a
a b b c c a +++==---=k ， 则a+b=k （a-b ），b+c=2k （b-c ），c+a=3k （c-a ），
∴6（a+b ）=6k （a-b ），3（b+c ）=6k （b-c ），2（c+a ）=6k （c-a ）， ∴6（a+b ）+3（b+c ）+2（c+a ）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为：（1）k=
1
3
；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
25.如图，▱ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点E 是边AD 上一点，且BE ＝BC ，BE 交AC 于点F ，过点C 作BE 的垂线，垂足为点O ，与AD 交于点G.
(1)若AB ，求AE 的长；
(2)求证；BF ＝
【答案】﹣1；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)过E 作EH ⊥BA 交BA 的延长线于于H ，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC ＝45°，BC ＝BE ＝2，根据
平行线的性质得到∠HAE ＝∠ABC ＝45°，设AH ＝HE ＝a ，得到AE a ，根据勾股定理即可得到结论；
(2)由(1)知，∠OBC ＝30°，得到BF ＝OB ﹣OF ﹣OE ，过G 作GH ⊥BC 于H ，求出OE ＝(2)OC ，
把OE＝(2﹣OE求得BF＝1)OC，代入求得EO＝1)OC，于是得到结论.
【详解】解：(1)过E作EH⊥BA交BA的延长线于于H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，BC＝BE＝2，
∵AD∥BC，
∴∠HAE＝∠ABC＝45°，
∴设AH＝HE＝a，
∴AE a，
在Rt△EBH中，∵BH2+EH2＝BE2，
∴)2+a2＝22，
∴a
∴AE﹣1；
(2)过A作AM⊥BC于M，GH⊥BC于H，EN⊥BC于N，
则AM＝GH＝EN＝1
2
BC＝1，
∴sin∠EBC＝1
2
，
∴∠EBC＝30°，
∴OC＝1
2
BC＝1，
∴∠OBC＝30°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝75°，
∵∠CFE＝45°+30°＝75°，∴CF＝CE，
∴OF＝OE，
∵OC⊥BO，
∴BO OC ，
∴BF ＝OB ﹣OF OC ﹣OE ，
过G 作GH ⊥BC 于H ，
∴GH ＝EN ＝OC ＝2CG ＝2(OC+OG)＝2(OC+3
OE)，
∴OC ，
∴OE ＝(2，
∴BF ＝OB ﹣OF OC ﹣OE ＝1)OC ，
∵EO ＝＝1)OC ，
∴BF ＝
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.
26.抛物线y ＝﹣x 2+2x+3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C.
(1)如图1，点P ，Q 都在直线BC 上方的抛物线上，且点P 的横坐标比点Q 的横坐标小1，直线PQ 与x 轴交于点D ，过点P ，Q 作直线BC 的垂线，垂足分别为点E ，F.当PE+QF 的值最大时，将四边形PEFQ 沿射线PQ
方向平移，记平移过程中的四边形PEFQ 为P 1E 1F 1Q 1，连接CP 1，P 1F 1，求CP 1+P 1F 1+
2
Q 1D 的最小值，并求出对应的点Q 1的坐标.
(2)如图2，对于满足(1)中条件的点Q 1，将线段AQ 1绕原点O 顺时针旋转90°，得线段A 1Q 2，点M 是抛物线对称轴上一点，点N 是坐标平面内一点，点N 1是点N 关于直线A 1Q 2的对称点，若以点A 1，Q 1，M ，N 1为顶点的四边形是一个矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.
【答案】(1)CP1+P1F1+
2Q1D的最小值＝6，Q1(3，2)；(2)N的坐标为(
1826
55
-，)或(
417
55
-，-)，(
26
55
--，)
或(
143
55 -，).
【解析】
【分析】
(1)如图1，过P作PL∥y轴交直线BC于L，过Q作QS∥y轴交BC于S，由抛物线解析式可求与xy轴交点，即可求出BC点坐标，进而求出直线BC解析式，设P(t，﹣t2+2t+3)，则L(t，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t2+4)，
S(t+1，﹣t+2)，将PE+QF转化为
2
(PL+QS)，得到关于t的二次函数解析式即可求出当t＝1时，PE+QF 最小，此时P(1，4)，Q(2，3)，E点与C点重合，F点坐标为(1，2)，PQ与BC平行.四边形PEFQ是正方形，
进而得出P1F1＝PF＝2，CP1＝FQ1，作D(5，0)作DH⊥x轴，过Q1作Q1H⊥DH，可得Q1H Q1D，故当点F、
Q1、H三点在同一直线上，FQ1H⊥DH轴时，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+
2
Q1D的值最小，由点F坐标(1，2)可得Q1(3，2)，H(5，2)，FH＝4.即可解题.
(2)根据旋转90°点坐标变化规律可知A1(0，1)，Q2(2，﹣3).根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为x＝1，设M为(1，m)，可得A1M2＝m2﹣2m+2，A1Q22＝10，MQ22＝m2﹣4m+8，分三种情况求出M，进而根据平移求出N1，再根据直线对称求出对称点连线与对称轴交点，即对称点连线的中点求出点N坐标即可.
【
详解】解：(1)如图1，过P 作PL ∥y 轴交直线BC 于L ，过Q 作QS ∥y 轴交BC 于S
，
抛物线y ＝﹣
x 2+2x+3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C.
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3，
设P(t ，﹣t 2+2t+3)，则L(t ，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t 2+4)，S(t+1，﹣t+2)， PL
＝﹣t 2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t 2+3t ，QS ＝﹣t 2+4﹣(﹣t+2)＝﹣t 2+t+2， ∵PE ⊥BC ，QF ⊥BC ，PL ∥y 轴，QS ∥y 轴
∴∠PEL ＝∠QFS ＝∠BOC ＝90°，∠PLE ＝∠QSF ＝∠BCO ＝45° ∴PE =)23t t -+，QF =)
22t t -++， ∴)
2PE QF t 3t 22+=-++ (﹣t 2+t+2)＝21)t -+∵0<，0＜t ＜3，
∴当t ＝1时，PE+QF 有最大值为P(1，4)，Q(2，3)，
∴直线PQ 解析式为y ＝﹣x+5，PQ =，5)，D(5，0)
∴BD ＝2
如图2，过B 作BB′⊥PQ 于B′，在Rt △BB′D 中，BB′＝BD •sin ， ∴PE ＝QF ＝P 1E 1＝Q 1F 1 (平行线间距离相等)
∴PQ ＝QF
∵QF ⊥BC ，BC ∥PQ ，
∴QF ⊥PQ ，
∴四边形PEFQ 是正方形，
∵∠QEP ＝∠EPQ ＝45°，
∴E 点与C 点重合，F 点坐标为(1，2)
由平移知P 1E 1F 1Q 1与正方形PEFQ 是全等形，
∴P 1F 1＝PF ＝2.易证Rt △CPP 1≌Rt △FQQ 1，
∴CP 1＝FQ 1
作D(5，0)作DH ⊥x 轴，过Q 1作Q 1H ⊥DH ，
∵∠HDQ1＝45°，
∴Q 1H ＝2
Q 1D ，
当点F 、Q 1、H 三点在同一直线上，FQ 1H ⊥DH 轴时，FQ 1+Q 1H 最小，即CP 1+P 1F 1+
2Q 1D 的值最小， ∵此时，F 点坐标为(1，2)，Q 1(3，2)，H(5，2)，FH ＝4.
∴CP 1+P 1F 1+2
Q 1D 的最小值＝4+2＝6，Q 1(3，2). (2)如图3，将线段AQ 1绕原点O 顺时针旋转90°得线段A 1Q 2，根据旋转90°点坐标变化规律可知A 1(0，1)，Q 2(2，﹣3).
∵抛物线对称轴为x ＝22(1)
⨯-＝1，设M(1，m)，∴A 1M 2＝(1﹣0)2+(m ﹣1)2＝m 2﹣2m+2 A 1Q 22＝(0﹣3)2+(1﹣2)2
＝10
MQ 22＝(1﹣3)2+(m ﹣2)2＝m 2﹣4m+8
若A 1M 为斜边，则由题意得：2221221A Q MQ A M +=， 10+m 2﹣4m+8＝m 2﹣2m+2
解得：m ＝8，
M 1(1，8)
若Q 2M 为斜边则由题意得：2221122A M A Q Q M +=，
m 2﹣2m+2+10＝m 2﹣4m+8
m ＝﹣2，
∴M 2(1，﹣2)
若A 1Q 2为斜边，则由题意得：2221112A M MQ A Q +=，
即：(m 2﹣2m+2)+(m 2
﹣4m+8)＝10.
解得m ＝0或m ＝3，
即∴M 3(1，0)或M 4(1，3).
∵四边形A 1MQ 1N 1是矩形，
∴根据点的平移可知N1坐标为(﹣2，7)或(4，﹣1)或(1，0)或(1，3)，∵N'1与N'关于直线A1Q2对称，
∴N'1N'⊥A1Q2，T为N'1N'中点，
由点坐标可求直线A1Q2解析式为：y＝﹣2x+1，
直线N'1N'解析式为：y＝1
2
x+8，
故T坐标为(
14
5
-，
33
5
)，
∴N'坐标为(
1826 55 -，)
同理可得N“为(
417
55
-，-)，(
26
55
--，)或(
143
55
-，)
综上所述：N的坐标为(
1826
55
-，)或(
417
55
-，-)，(
26
55
--，)或(
143
55
-，).
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.。