2014届江苏省扬州中学高三模拟考试(5月) 数学试题及答案

2014届江苏省扬州中学高三 数学冲刺训练（5.17）一、填空题：1．设全集{1,3,5,7,9}I =，集合A ＝{1，3，9}，则I C A ＝___________ 2．计算复数(1－i )2－ii 2124-+＝____________3．已知向量=（1－θsin ，1），=（21，1＋θsin ），且∥， 则锐角θ等于______4．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则ba 11+的值等于_______． 5．如右图,该程序运行后输出的结果为__________.6．设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______.7．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________．8．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 9．若等边△ABC 的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=，则=⋅______．10．在正三棱锥P －ABC 中，M ，N 分别是PB ，PC 的中点，若截面AMN ⊥平面PBC ，则此棱锥中侧面积与底面积的比为___________。

11．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是 12．设点P （00,y x ）是函数x y tan =与0=+y x （x ∈（2π，π）图象的交点，则(120+x )()12cos 0+x 的值是__________________13．如图，已知椭圆C 1的中点在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .，若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率的取值范围_____________．14．以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.三、解答题15．已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．16．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．高考资源网(1)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(2)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d∆=⋅，其中k 为热传导系数． 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C-⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B分别是椭圆：2214x y +=的左、右顶点， P(2,t )（t ∈R,且t ≠0）为直线x ＝2上一动点，过点P任意引一直线l 与椭圆交于C 、D ，连结PO ，直线PO分别和AC 、AD 连线交于E 、F 。

（1）当直线l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值 ；（2）若t ＝-1，记直线AC 、AD 的斜率分别为k 1，k 2 ，求证：1k 1+1k 2定值；（3）求证：四边形AFBE 为平行四边形。

图1 图2（第17题）______ 学……答……………题………………19．设a 是实数，函数|2|4)(a x f x x -+=（R ∈x ）． （1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0≤a 时，求满足2)(a x f >的x 的取值范围； （3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．20．设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21nn n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式； （2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．附加题部分（满分40分，时间30分钟）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20ACE BDOF 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．[选修4—1 几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在∆ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得DE =BE ，FE =CE ，又点O 是△ADF 的外心．证明：D ，E ，F ，O 四点共圆．B ．[选修4—2 矩阵与变换] （本小题满分10分）已知10112M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求曲线22210x xy -+=在矩阵1M -对应的变换作用下得到的曲线方程．C ．[选修4—4 参数方程与极坐标] （本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l 的极坐标方程为0sin 2cos =+θρθρ，曲线C 的参数方程为4cos ,()2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数，又直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D ．[选修4—5 不等式证明选讲] （本小题满分10分） 已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．22.过直线1-=y 上的动点()1,-a A 作抛物线2x y =的两切线AQ AP ,，Q P ,为切点。

（1）若切线AQ AP ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k ⋅为定值。

（2）求证：直线PQ 过定点。

23．设集合I＝{1,2,3，…，n}(n∈N+)，选择I的两个非空子集A和B，使B 中最小的数大于A中最大的数，记不同的选择方法种数为a n，显然a1＝0，a2＝2C2＝1(1)求a n；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，求S n2014届江苏省扬州中学高三数学冲刺训练（5.17）一、填空题：1． {5,7} 2． －4i 3． π 4 4． 12 5． 16 6． 2-7． a ≥2 8． 16. 9． －2． 10．6：1 11． ]22ln 2,(--∞ 12． 213．解：因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a， 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.14解：由题意1a ＝1m +2m +…+m -1m2a ＝1m 2+2m 2+…+m -1m 2+m +1m2+…+2m -1m 2+2m +1m 2+…+m 2-1m 2=1m 2+2m 2+…+m 2-1m 2 -(1m +2m +…+m -1m)＝1m 2+2m2+…+m 2-1m2 -a 1a 3＝1m 3+2m 3+…+m 3-1m 3 -a 1-a 2a n ＝1m n +2mn +…+m n -1mn -a n-1…-a 1-a 2所以12n a a a ⋅⋅⋅+++=1m n +2m n +…+m n -1m n =1m n +[1+2+…+m n-1]＝m n -12三、解答题15． 解：(1))4,3(),4,3(--=--=c AC AB由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形，过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A [法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 16． 证明：(1)连接A 1C ，A 1E ．∵侧面A 1ABB 1是菱形，E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ． ∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，EF ⊄平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． ABC ，(2)解：当31=GA BG 时，平面EFG ⊥平面证明如下：连接EG ，FG ．∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°， ∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，31=GA BG ，∴EG ⊥A B ． ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ，∴EG ⊥平面AB C ．又EG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面AB C ．17． 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅………6分 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+，当121x =+4%时，解得12x =（mm ）． 答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18．解：（1）由题意：上顶点C (0，1)，右焦点E (-3，0)， 所以l ：y ＝-33x+1，令x ＝2，得t ＝1-233……………………………………………2分 (2)直线AC ：y ＝k 1(x +2)，与2214x y +=联立得：C :2121121281+4414k x k k y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，同理得D : 2222222281+4414k x k k y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩…………………………………4分由C ，D ，P 三点共线得：k CP ＝k DP ，得1k 1+1k 2＝-4（定值） (8)分(3)要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E 、F 的中点即点O ，设点P (2,t )，则OP ：y ＝t2x ，分别与直线AC ：y ＝k 1(x +2) 与AD ：y ＝k 2(x +2)联立得：x E ＝1142k t k -，x F ＝2242k t k -，下证：x E +x F ＝0，即1142k t k -+2242k t k -＝0化简得：t (k 1+k 2)-4k 1k 2＝0………………………………………………………………12分由(2)可知C :2121121281+4414k x k k y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，D : 2222222281+4414k x k k y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩由C ，D ，P 三点共线得：k CP ＝k DP ，得t (k 1+k 2)-4k 1k 2＝0（得证）………………16分19．解：（1）证明：假设)(x f 是奇函数，那么对于一切R ∈x ，有)()(x f x f -=-， 从而)0()0(f f -=-，即0)0(=f ，但是0|1|1|2|4)0(00≠-+=-+=a a f ，矛盾． 所以)(x f 不是奇函数．（也可用0)1()1(≠-+f f 等证明） ………………（4分）（2）因为02>x ，04>x ，所以当0≤a 时，a x f x x -+=24)(，由2)(a x f >，得224a a x x >-+，即0)1(24>+-+a a x x ，0)12)(2(>++-a a x x ，因为02>-a x ，所以012>++a x ，即)1(2+->a x ． ………………………（6分）①当01≥+a ，即01≤≤-a 时，)1(2+->a x 恒成立，故x 的取值范围是R ； 分） ②当01<+a ，即1-<a 时，由)1(2+->a x ，得)]1([log 2+->a x ，故x 的取值范围是),)]1([(log 2∞++-a ． ………………………（8分）（3）令x t 2=，则0>t ，原函数变成||2a t t y -+=．①若0≤a ，则a t t y -+=2在),0(∞+∈t 上是增函数，值域为),(∞+-a ．（10分）②若0>a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<+-=.,,0,22a t a t t a t a t t y ……………………………………（12分）对于a t ≤<0，有41212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a t y ，当210<<a 时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是),[2a a ；当21≥a 时，41min -=a y ，当121<≤a 时，y 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-a a ,41， 当1≥a 时，y 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,41a a ．对于a t >，有a t t y -+=24121--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a t a是关于t 的增函数， 其取值范围),(2∞+a ． …………………………………………（14分）综上，当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ；当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． ………………………（16分） 20．解：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， ………（１分） 所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+nn n n b b a c ，)(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++， ………………………………（2分） 即数列}{n n b c -是首项为2，公比为21-的等比数列，所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n n n b c ． …………………………………………………（4分）（2）解：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， …………………………………（6分） 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，………………………………（8分） 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值．……………………………………………………………………（10分）（3）由（1）、（2）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…（12分）所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(，由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ，因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， ………………（14分）当n 为奇数时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<，当n 为偶数时，n n⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递减，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n，所以，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113的最小值为2．由nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p，解得32≤≤p ． 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．……………………………………（16分）附加题部分（满分40分，时间30分钟）21.证明：∠DEF =180°-（180°-2∠B ）-（180°-2∠C ）=180°-2∠A ． 因此∠A 是锐角，从而ADF 的外心与顶点A 在DF 的同侧，∠DOF =2∠A =180°-∠DEF ．因此D ，E ，F ，O 四点共圆． ……………10分B ．【解析】设,P x y ''（）是曲线22210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵1M -对应的变换下变为点,P x y '（），则有//x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1011122x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是x x '=，2y y x '=+. 代入22210x x y '''-+=得1xy =， 所以曲线22210x xy -+=在M N 对应的变换作用下得到的曲线方程为1xy =． ……………………………10分C ．解：直线l 的直角坐标系方程为x +2y ＝0,曲线C 的普通方程为221164x y +=两者联立解得A 和B 地坐标为(-22,2)和(22,-2)，所以AB ＝210 D ．解析：222x y +=,()()224x y x y ∴++-= ,()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+≥ ⎪+-⎝⎭, 22111()()x y x y ∴+≥+-，当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1. 22.解：（1）设过A 与抛物线2x y =相切的直线方程为：()a x k y -=+1 由()⎩⎨⎧=-=+21xy a x k y ，得012=++-ak kx x ，因直线与抛物线相切，所以()0142=+-=∆ak k ，即0442=--ak k ，所以，421-=k k 为定值。