安徽省滁州市民办高中2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

安徽省滁州市民办高中2020-2021学年高二上学期期末数学
（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知条件p ：x <－3或x >1，条件q ：x >a ，且⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1
B ．a ≤1
C ．a ≥1
D ．a ≤－3
2．已知命题p ：5≥3；q ：若x 2=4则x=2，则下列判断正确的是（ ） A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真 C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬p 为假 D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假 3．下列命题错误．．
的是（ ） A ．命题“若p 则”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题 B ．命题“x ∃∈R,20x x ->”的否定是“R,”
C ．∀0x >且1x ≠，都有1
2x x
+> D ．“若
”的逆命题为真
4．已知椭圆22
143
x y +=，若此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，
则实数m 的取值范围是( )
A ．1313⎛- ⎝⎭
B ．1313⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．1313⎛-
⎝⎭ D ．1313⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
5．已知双曲线22
123y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ，则满足△12PF F 的周长为
6+P 的轨迹方程为 （ ）
A ．22
149x y +=
B ．22
194
x y +=
C ．
D ．
6．已知点A (1,2)是抛物线C :y 2=2px 与直线l :y =k (x +1)的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）
A ．
2
B C D ．
7．设点P 是曲线3
2
3
y x =+上的任意一点，点P 处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A ．2023πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢
⎣⎭⎣⎭
，， B ．5026πππ⎡⎫
⎡⎫
⎪
⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
，， C ．23ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
， D ．526ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦， 8．设f (x )为可导函数且满足()()
112lim
12x f f x x
→--=-，则在曲线y =f (x )上点(1,f （1）)
处的切线斜率为（ ） A ．2
B ．-1
C ．1
D ．-2
9．正弦曲线y =sinx 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．[0，
4π]∪[34
π，π) B ．[0，π)
C ．[
4π，
34
π
] D ．[0，
4π]∪[2π，34
π
]
10．已知f (x )=lnx ，则f ′(1
e
)的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．e
D ．
1e
11．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时
()()xf x f x <-'成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，
2211
(log )(log )44
c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平
方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷
出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则x 为多少时，银行可获得最大收益 ( )． A ．0.016 B ．0.032 C ．0.024 D ．0.048
二、填空题
13．如图是'()y f x =的导函数的图像，现有四种说法：
①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；
③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点； 以上正确的序号为________．
14．已知函数f (x )在x =1处的导数为1，则0
(1)(1)
lim
x f x f x
→+-=________.
15．直线3y x =-与抛物线
交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作
垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为 ．
16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，直线
y =x 被椭圆C 截得的线段长为5
，则椭圆C 的方程为________.
三、解答题
17．给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程
20x x a -+=有实数根．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
18．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的点P 到左，右两焦点为1F ，2F 的距离之和为
. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若y 轴上一点M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
满足||||MA MB =，求直线l 的斜率k 的值.
19．过双曲线22
136
x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°
的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |；
(2)求△AOB 的面积． 20．
已知抛物线C 的方程C ：y 2=2p x （p ＞0）过点A （1，-2）. （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．
（1）求y =f （x ）的解析式；
（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
22．货车欲以xkm /h 的速度行驶，去130km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是22360x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
升/小时.
司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？
参考答案
1．C 【分析】
关键将⌝p 是⌝q 的充分不必要条件进行转化，计算a 的范围，即可． 【详解】
结合p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得出q 可以推出p ，但是p 无法推出q ，故可知
1a ≥，故选B ．
【点睛】
本道题考查了充分条件，必要条件的判定，关键在于将⌝p 是⌝q 的充分不必要条件进行转化，计算a 的范围，即可，难度中等． 2．D 【解析】
试题分析:由p ：5≥3；q ：若x 2=4则x=2，可知p 真q 假，利用复合命题的真值表即可得到答案．
解：∵p ：5≥3；q ：若x 2=4则x=2， ∴p 真q 假，
∴p ∧q 为假，p ∨q 为真，￢p 为假， 故选D ．
考点：复合命题的真假． 3．D 【解析】
对于选项D ，命题“若22am bm <，则a b < ”的逆命题为“若a b <，则
22am bm <”．当0m =时，逆命题为假命题．故选项D 错误．
4．B 【分析】
设椭圆上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y=4x+m 对称，AB 中点为M （x 0，y 0），利用平方差法与直线y=4x+m 可求得x 0=-m ，y 0=-3m ，点M （x 0，y 0）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m 的取值范围． 【详解】
椭圆22
143
x y +=，即：3x 2+4y 2-12=0，
设椭圆上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y=4x+m 对称，AB 中点为M （x 0，y 0）， 则 3x 12+4y 12-12=0，① 3x 22+4y 22-12=0 ②
①-②得：3（x 1+x 2）（x 1-x 2）+4（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即 3•2x 0•（x 1-x 2）+4•2y 0•（y 1-y 2）=0， ∴01212031
44
x y y x x y -=-⋅=-- ．
∴y 0=3x 0，代入直线方程y=4x+m 得x 0=-m ，y 0=-3m ； 因为（x 0，y 0）在椭圆内部，
∴3m 2+4•（-3m ）2＜12，即3m 2+36m 2＜12
，解得m ． 故选B ． 【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法的应用，突出化归思想的考查，属于难题． 5．B 【详解】
解：因为双曲线22
123
y x -=的两个焦点分别为1F 、2F
，即1(0,F 、2
F ，点p
满足动点到两定点的距离和为定值
6>P 的轨迹是椭圆，长轴长为6
，焦距为
x 轴上的椭圆．因此2
2
9,4a b ==,故方程为22
194
x y +
= 6．B 【分析】
先将点A 的坐标代入抛物线方程及直线的方程，求出,p k 的值，进一步求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离求出抛物线C 的焦点到直线l 的距离． 【详解】
因为点()1,2A 是抛物线2
:2C y px =与直线():1l y k
x =+的一个交点，
所以42,22p k ==，即2,1p k ==，
所以抛物线方程为2
4y x =，l 的方程为10x y -+= 所以抛物线的焦点为()1,0，
所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离是
d == 故选：B ． 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题题． 7．A 【分析】
先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】
由函数3
2
3
y x =+
得23y x '=-≥
设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥
又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫
∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
，， 故选：A 【点睛】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 8．B 【分析】
由导数的几何意义，求出在曲线()y f x =上点()()
1,1f 处的导数，即求得在此点处切线的斜率． 【详解】
由()()()()
()
0112112lim
lim 12112x x f f x f f x x x →→----==--- 根据导数的定义可得:()11f '=-.
在曲线y =f (x )上点(1,f （1）)处的切线斜率()11k f '=-=- 故选：B 【点睛】
本题考查导数的定义及极限的变形，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线()y f x =上点()()
1,1f 处的切线率．属于基础题. 9．A 【分析】
先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得． 【详解】
由函数sin y x =，得cos y x '=.
设()00,P x y ，则以点P 为切点的切线l 的斜率为0cos [1,1]k x =∈-. 设以点P 为切点的切线l 的倾斜角为α，则tan [1,1]k α=∈-.
由[0,)απ∈，得3044πππ⎡⎤⎡⎫
⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
，，
故选：A 【点睛】
本题考查导数的几何意义，根据斜率的范围求倾斜角的范围，考查了学生对基础知识的灵活运用．属于基础题. 10．C 【分析】
利用导数的运算法则即可得出． 【详解】
由()ln f x x =，则()1
f x x
'=
.
所以111f e
e e
⎛⎫'== ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】
本题考查具体函数在某处的导数值，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．属于基础题. 11．A 【解析】
试题分析：由题意()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '<-=-∴<'+<'∴所以
()()g x xf x =是(,0)-∞上的减函数，而()g x 是偶函数，所以()g x 是(0,)+∞上的增函数，
而2
1
(1),(log )(2),.4
a g
b g
c g g c a b ====-∴>> 考点：本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查利用导数研究单调性以及利用单调性比较函数值的大小，考查学生的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力.
点评：解决本小题的关键在于由已知条件得出()()g x xf x =的单调性，解决综合性问题时一定要灵活，要想方设法将待求解问题向熟悉的数学问题上转化. 12．B
【解析】依题意：存款量是kx 2
，银行应支付的利息是kx 3
，贷款的收益是0.048kx 2
，其中x ∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y ＝0.048kx 2
－kx 3
(0<x <0.048)，
由于y ′＝0.096kx －3kx 2
，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)， 又当0<x <0.032时，y ′>0； 当0.032<x <0.048时，y ′<0，
所以当x ＝0.032时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益． 13．② 【详解】
试题分析：由()f x '
的图像可知，
当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减，12x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以1x =-是函数()f x 的极小值点，故①错误，②正确；从图中可以看到()0f x '=在(3,4)有一个零点，设为0x ，当02x x <<时，()0f x '<，()
f x
单调递减，当04x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，12x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以，2x =是函数()f x 有极大值点，故③错误，④错误；综上可知，②正确. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数. 14．1 【分析】
利用导数与极限的关系可以直接得到结论． 【详解】
由导数的定义：()()()0000
lim
x f x x f x f x x
→+-'=△△△
所以()()()
111lim
=1x f x f f x
→+-'=△△△
即()()()
111lim
=1x f x f f x
→+-'=
故答案为：1 【点睛】
本题考查导数的定义及应用，属于基础题． 15．48 【详解】 试题分析：由2
3{
4y x y x
=-=得21090x x -+=，()()1,2,9,6A B -
∴1210x x +=，128y y -=
即1210212AP BQ x x p +=++=+=，128PQ y y =-= ∴482
APQB AP BQ
S PQ +=
⋅=．
考点：抛物线的定义、抛物线与直线相交问题
点评：解决抛物线中与直线相交的问题时，一般先联立方程组，化简出一元二次方程，再利用韦达定理解决．
16．2
214
x y +=
【分析】
由椭圆离心率得到a ，b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a 的值可求，进一步得到b 的值，则椭圆方程可求； 【详解】
由题意有c a ==
，得224a b = 所以椭圆的方程可化为：222
4x y a +=.
由2224y x x y a =⎧⎨+=⎩
得：2222,55a a x y ==
由直线y x =被椭圆C
即52a =，则1b = 所以椭圆的方程为：2
214x y +=
故答案为：2
214
x y +=
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，属于基础题. 17．()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【分析】
根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可判断出p 与q 一真一假，分类讨论即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立0a ⇔=或200440a a a a >⇔≤<∆=-<⎧⎨⎩
；
关于x 的方程20x x a -+=有实数根11404
a a ⇔∆=-≥⇔≤； 由于p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 与q 一真一假；
（1）如果p 真，且q 假，有04a ≤<，且11
444a a >⇒<<； （2）如果q 真，且p 假，有0a <或4a ≥，且1
04
a a ≤⇒<.
所以实数a 的取值范围为：()1,0,44⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查根据复合命题的真假求参数的取值范围，考查不等式恒成立问题及一元二次方程存在解问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18．（1）2
21
2
x y +=；
（2）06
，
． 【解析】
试题分析：（1）根据122a PF PF =+与离心率可求得a ，b ，c 的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程(1)y k x =-，并与椭圆方程联立消去y 可得到关于x 的一元二次
方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决． 试题解析：（1）12||2
PF PF a +==
∴a =
2c e a =
=，∴12
c ==，∴222211b a c =-=-=，
椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）已知2(1,0)F ,设直线的方程为(1)y k x =-，1122(,)
(,)A x y B x y -，
联立直线与椭圆的方程2
2(1)
{1
2
y k x x y =-+=，化简得：2222
(12)4220k x k x k +-+-=，
∴2
122
412k x x k
+=+，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+， ∴AB 的中点坐标为222
2(,)1212k k
k k
-++．
①当0k ≠时，AB 的中垂线方程为
，
∵MA MB =，∴点M 在AB 的中垂线上，将点M 的坐标代入直线方程得：
22
21212k k k k
=++
，即2
70k -=，
解得k =
6
k =
． ②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意， ∴斜率k
的取值为06
，
. 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 19．（1
（2
【分析】
(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案. (2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案. 【详解】
解：(1)
由双曲线的方程得a b =
=
3c ==，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
直线AB
的方程为3)y x =
-． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
，由22
3)3
13
6y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得5x 2＋6x －27＝0. ∴1265x x +=-
，1227
5
x x ⋅=-
. ∴
AB ===(2)
直线AB
30y --=.
∴原点O 到直线AB 的距离为32
d =
=
.
∴113||222AOB
S
AB d =
⋅==【点睛】
本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.
20．（I ）抛物线C 的方程为2
4y x =，其准线方程为1x =-（II ）符合题意的直线l 存在，
其方程为2x+y-1 =0. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p 的值：（－2）2＝2p·1，所以p ＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：1x =-，（Ⅱ）由题意设l ：
2y x t =-+，先由直线OA 与l
=解
得1t =±，再根据直线l 与抛物线C 有公共点确定 1.t
试题解析：解 （1）将（1，－2）代入y 2＝2px ，得（－2）2＝2p·1， 所以p ＝2．
故所求的抛物线C 的方程为2
4y x = 其准线方程为1x =-．
（2）假设存在符合题意的直线l ， 其方程为2y x t =-+． 由2
2{
4y x t y x
=-+=得2
220y y t +-=．
因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得1
2
t ≥-
．
另一方面，由直线OA 到l 的距离d =
=
，解得1t =±．
因为－1∉[－
12，＋∞），1∈[－12
，＋∞）， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=． 考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系 【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．
（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my （m≠0）．
21．(1)3
()f x x x
=-；(2)证明见解析. 【解析】
解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4
x －3， 当x ＝2时，y ＝
12
． 又f′(x)＝a ＋
2b x
， 于是1222{744
b a b a -=
+=
，解得13a b ==⎧⎨⎩
故f(x)＝x －
3x
． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
2
3
x 知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋
203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋2
03x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－0
6
x )．
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为1
2
|－06x ||2x 0|＝6． 曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
22．最经济的车速是57km /h ,这次行车往返的总费用最低约为2×82.2=164.4(元). 【分析】
求出单程行驶：汽车运行的时间为小时130
x ，耗油量为21302360x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭升，耗油费用为213022360x x ⎛⎫⋅⋅+ ⎪⎝⎭元，司机的工资为130
14x
⋅
元，推出这次行车的单程费用利用函数的导数求解函数的最值即可 【详解】
单程行驶:汽车运行的时间为130x 小时,耗油量为130x ·22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升,耗油费用为
2·130x ·22360x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
元,司机的工资为14×130
x 元, 故这次行车的单程费用为
y =2·130x ·22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+14·130x =130·18180x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. 所以y ′=130·2118180x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. 令y ′=0得,x =
≈57(km /h ),当50≤x <
时,0y '<,y 单调递减; 当
≤x ≤100时,0y '>,y 单调递增, 当x =
时,y 取得最小值, 即所以y =130×571818057⎛⎫
+
⎪⎝⎭
≈82.2(元).所以最经济的车速是57 km /h ,这次行车往返的总费用最低约为2×82.2=164.4(元). 【点睛】
本题考查函数的数据应用，函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。