高三数学第一次适应性考试试题 文含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次适应性考试试题文〔含解析〕
〔考试时间是是：120分钟总分值是：150分〕
本卷须知：
1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部..
2.答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在套本套试卷上无效.
3.答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.
4.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.
第一卷
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}{}10,12A x x B x x =
->=-≤≤，那么A
B =〔〕
A.(1,)+∞
B.[1,)-+∞
C.[1,1]-
D.[1,2]-
【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合
A 中的一次不等式即可.
【详解】因为{}{}101A x x x x =->=>，{}12B x x =-≤≤
所以
A B =[1,)-+∞
应选：B
【点睛】此题考察的是集合的运算，较简单.
2.设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，那么x yi +在复平面内所对应的点位于〔〕
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D 【解析】
由
()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11
,1
x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨
-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 此题选择D 选项. 3.(0,)απ∈，3cos 5
α
=
，那么sin()6π
α-的值是()
C.
710
【答案】A 【解析】 【分析】
由结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的正弦公式即可求解． 【详解】解：
(0,)απ∈，3cos 5
α=
， 4sin 5
α∴=
，
那么1431sin()cos 62552π
ααα-=
-=⨯． 应选：A ．
【点睛】此题主要考察了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于根底题.
4.PM 是空气质量的一个重要指标，我国PM HY 采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 日均值在35μg /m 3
以下空气质量为一级，在35μg /m 3
～75μg /m 3
之间空气质量为二级，在75μg /m 3
以上空气质量为超标.如图是某2019年12月1日到10日PM 日均值〔单位：μg /m 3
〕的统计数据，那么以下表达不正确的选项是〔〕
A.这10天中，12月5日的空气质量超标
B.这10天中有5天空气质量为二级
C.从5日到10日，PM 日均值逐渐降低
D.这10天的PM 日均值的中位数是47 【答案】C 【解析】 【分析】
先对图表信息进展分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项A ，B ，D 正确，
对于选项C ，由于10日的PM 日均值大于9日的PM 日均值， 故C 错误， 应选：C .
【点睛】此题考察了频率分布折线图，考察数据处理和分析才能，属于根底题.
5.假设实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
，那么2z x y =+的最小值为〔〕
A2 B.4
C.5
D.10
【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，作直线
2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小
【详解】作出可行域如下列图：
作直线
2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小
z 的最小值为4
应选：B
【点睛】此题考察的是线性规划的知识，较简单. 6.圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，那么圆的半径为()
B.2
C. D.4
【答案】A 【解析】 【分析】
求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可.
【详解】解：圆2
2
420x y ax ay +++=的圆心(2,)a a --
圆2
2
420x y ax ay +++=与直线2100x y +
-=相切，
=
解得1a =-．
应选：A ．
【点睛】此题考察直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考察转化思想以及计算才能，属于根底题.
7.双曲线22
2
2x y a b
-=1〔a ＞0，b ＞0〕的左、右焦点分别为F 1
，F 2
，过F 2
且斜率为
第一象限的交点为A ，且1AF •2AF =0，假设a =1，那么F 2
的坐标为〔〕
A.〔1，0〕
B.0〕
C.〔2，0〕
D.1，
0〕 【答案】C 【解析】
【分析】
根据条件可得
12AF AF ⊥，126
AF F π
∠=
2c a -=，带入a 的值即
可．
【详解】解：因为120AF AF =，所以
12AF AF ⊥，
又因为2AF k =，所以126
AF F π
∠=
，那么由
1=AF ，
2c a -=，那么2c =
=，
应选：C ．
【点睛】此题考察双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题.
8.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，那么异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为〔〕
B.
6
C.
3
【答案】A 【解析】 【分析】
连结BE ，BF 、1D F ，推导出1BED F 为平行四边形，从而1//D E BF ，异面直线1D E 与1A F 所成角
为
1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，由此能求出异面直线1D E 与1A F 所成的角的余弦值．
【详解】解：如图，连结BE ，BF 、1D F ， 由题意知1BED F 为平行四边形，1//D E BF ∴，
∴异面直线1D E 与1A F
所成角为
1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，
连结
1A B ，设2AB =，那么在△1A BF 中，1A B =BF =，13A
F ，
222
11
1
1
cos
2
A F BF A B
A
FB
A F BF
+-
∴∠===．
∴异面直线
1
D E与
1
A F．
应选：A．
【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.
9.a为正实数，假设函数322
()32
f x x ax a
=-+的极小值为0，那么a的值是()
A.
1
2
B.1
C.
3
2
D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
由于()3(2)
f x x x a
'=-，而0
a>，可求得()
f x在2
x a
=处获得极小值，即()
()20
f x f a
==
极小值
，从而可求得a的值．
【详解】解：由2
()363(2)
f x x ax x x a
'=-=-，
又0
a>，
所以由()0
f x
'>得0
x<或者2
x a
>，即函数在(),0
-∞和()
2,a+∞上单调递增，
由()0
f x
'<得02
x a
<<，函数在()
0,2a上单调递减，
所以()
f x在2
x a
=处获得极小值0，
即()32232
()2(2)3(2)2420
f x f a a a a a a a
==-+=-+=
极小值
，
又0
a>，
解得
1
2
a=，
应选：A．
【点睛】此题考察了函数的极值与导数关系的应用，考察运算求解的才能，属于中档题.
10.抛物线2:
4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作
AA l '⊥，垂足为A '．假设3
cos 5
FAA '∠=
，那么||(AF =) A.8 B.7
C.6
D.5
【答案】D 【解析】 【分析】
过F 做FB AA '⊥于B ，可得||2||2A B OF '==，因为3
cos 5
FAA '∠=，可得||AF ，||BA ，||A B '的关系，进而求出|
|AF 的值．
【详解】解：由题意如图过F 做FB AA '⊥于B ，||2||2A B OF '== 因为3
cos 5
FAA '∠=
，设||3AB x =，那么可得||||5AA AF x '==，由抛物线的性质可得||||||52AB AA A B x ''=-=-，
所以352x x =-解得1x =，所以||5AF =，
应选：D ．
【点睛】此题考察余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题.
11.函数2()2cos()1(0)3f x x π
ωω=+
->的一个零点是4
x π=，那么当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是()
A.[3
π
-
，]6
π
-
B.[12π-
，]6
π
C.[
12
π
，
]3
π
D.[
3
π，
7]12
π 【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数零点关系，求出ω的取值，利用函数的单调性进展求解即可．
【详解】解：
()f x 的一个零点是4
x π
=
，
由()04
f π
=得21cos((
)4
32π
πω+
=，得22433
k πππ
ωπ+=±，即84k ω=-或者483k ω=-，k Z ∈，
0ω>，ω∴的最小值为4ω=，
此时
2()2cos(4)13
f x x π
=+
-， 由220423
k x k π
πππ+++，k Z ∈，得1126212
k x k ππ
ππ-+，k Z ∈，
当1k
=时，()f x 的一个单调递减函数区间为[
3
π，
7]12
π
， 应选：D ．
【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决此题的关键.属于中档题
12.定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为
()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>.假设
2424(sin )
(log 3)(log 6)8,,log 3log 6sin 8
f f f a b c π
π-===
-，那么,,a b c 的大小关系为〔〕 A.a b c << B.c a b <<
C.c b a <<
D.b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
设()()f x g
x x
=
，由条件可得出()g x 是偶函数且在0,上单调递增，然后即可比较出,,a b c 的大
小
【详解】设()()f x g
x x
=
，因为()f x 是奇函数，所以()g x 是偶函数 当0x >时()()()
2
0xf x f x g x x
'-'
=
>，所以()g x 在0,
上单调递增
因为2420sin
1log log 6log 38
π
<<<=<，()2222log 3(log 3)log 3log 3
f f a
-=
=- 所以()()42sin
log 6log 38g g g π⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
，即c b a << 应选：C
【点睛】此题考察的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出适宜的函数是解题的关键，属于中档题.
第二卷
本卷包括必考题和选考题两局部.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.在平面上，12,e e 是方向相反的单位向量，假设向量b 满足()()
1
2
b e b e -⊥-，那么
b
的值
____________． 【答案】1 【解析】 【分析】 由
()()1
2
b e b e -⊥-得
()()12
b e b e -⋅-=，由
12,e e 是方向相反的单位向量得12
0e e +=，
121e e ⋅=-，然后即可算出答案
【详解】由()()1
2
b e b e -⊥-得
()()12
0b e b e -⋅-=
即()
2
12120b
e e b e e -++⋅=
因为12,e e 是方向相反的单位向量，所以120e e +=，121e e ⋅=-
所以2
10b
-=，即1b =
故答案为：1
【点睛】此题考察的是平面向量数量积的有关计算，较简单.
14.设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，三角形ABC 2
22)b c a +-，那么内角A 的大小为____________． 【答案】
3
π 【解析】 【分析】
由
2221
()sin
42
S b c a bc A =
+-=得
222sin b c a A +-=
，结合余弦定理可推出
tan A =
【详解】因为2221
)sin 42
S
b c a bc A =
+-= 所以2
22sin
b
c a A +-=
由余弦定理得222
cos 2b c a A bc
+-=
所以cos
A A =
，即tan A =因为
()0,A π∈，所以3
A π
=
故答案为：
3
π 【点睛】此题考察的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.
15.某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所得，该几何体三视图如下列图，那么该几何体的体积为____________． 【答案】
203
【解析】 【分析】
由三视图画出几何体的直观图即可
【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去局部为三棱锥，作出几何体的直观图如下： 其体积为：1120222222323
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 故答案为：
203
【点睛】此题考察的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.
16.关于圆周率π，数学开展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，
y 组成的实数对〔x ，y 〕；假设将〔x ，y 〕看作一个点，再统计点〔x ，y 〕在圆x 2+y 2
＝1外的个数m ；最后再
根据统计数m 来估计π的值，假设统计结果是m ＝52，那么可以估计π的近似值为_______.〔用分数表示〕 【答案】
47
15
【解析】 【分析】
由试验结果知200对0~1之间的均匀随机数
x ，y ，对应区域的面积为
1，两个数对(,)x y ，满足
2211x y +>且x ，y 都小于1，面积为14
π
-
，由几何概型概率计算公式即可估计π的值．
【详解】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ， 满足2
21x
y +>且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为14
π
-
，
因为点(,)x y 在圆2
21x y +=外的个数52m =；
∴
5212404
π=-； 47
15π∴=
． 故答案为：47
15
．
【点睛】此题考察了随机模拟法求圆周率的问题，也考察了几何概率的应用问题，考察运算求解才能，属于
中档题.
三、解答题：本大题一一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某红旗农场于2021年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进展试验．其中第一组采用直播的方式进展播种，第二组采用撒播的方式进展播种．得到数据如下表：
约定亩产超过900斤〔含900斤〕为“产量高〞，否那么为“产量低〞
〔1〕请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕 〔2〕请根据以上统计数据填写上下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关？
附2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++：
【答案】〔1〕100块直播农田的平均产量为907斤，〔2〕有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关. 【解析】 【分析】 〔1〕根据
48183931
850870890910930100100100100100
X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯
，算出答案即可 〔2〕由题目中给的数据完善22⨯列联表，然后算出2K 的观察值即可 【详解】〔1〕100块直播农田的平均产量为：
48183931850870890910930907100100100100100
X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=〔斤〕 〔2〕由题中所给的数据得到22⨯列联表如下所示：
由表中的数据可得2K 的观察值()2
120820070503050258 6.010016353
00k ⨯⨯⨯>⨯⨯-⨯==>
所以有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关
【点睛】此题考察的是平均数的算法及HY 性检验，考察了学生的计算才能，属于根底题. 18.数列{a n }满足14a =，11
232n n n a a ++=+⨯．
〔1〕证明：数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设1
64n
n n n b a a +⨯=
，求数列
{}n b 的前n 项和n
T
．
【答案】〔1〕证明见详解，()312n n
a n =-⋅，〔2〕364
n n
T n =
+
【解析】 【分析】 〔1〕由11
232n n n a a ++=+⨯得
11322n n n n a a ++-=，然后()213312
n
n
a n n =+-⨯=-，即可算出答案 〔2〕()()()()1312643132231321
3132
n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++，然后即可求出n T
【详解】〔1〕因为11
232n n n a a ++=+⨯，所以
11
322
n n
n n a a ++-= 即数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以首项为2，公差为3的等差数列 所以
()213312n
n
a n n =+-⨯=- 所以()312n n
a n =-⋅ 〔2〕由()312n n
a n =-⋅得
所以1
111111125582331323264
n
n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪--=-++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭+ 【点睛】常见数列的求和方法：公式法〔等差等比数列〕、分组求和法、裂项相消法、错位相减法 19.如下列图，在四棱柱1111ABCD A B C D -
中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．
〔1〕证明：
1A D ⊥平面11ABC D ；
〔2〕假设四棱锥
111A ABC D -的体积为
10
3
，求四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕14+【解析】 【分析】 〔1〕由侧棱
1AA ⊥平面ABCD ，得1AA AD ⊥，1AA AB ⊥，结合AB AD ⊥，可得AB ⊥平面
11AA D D ，那么11AB A D ⊥，再由1AA AD ⊥，1AA AD =，得到四边形11AA D D 是正方形，那么
11A D AD ⊥，进一步得到1A D ⊥平面11ABC D ；
〔2〕记
1A D 与1AD 的交点为O ，那么1A O ⊥平面11ABC D ，设11CD C D x ==，由四棱锥
111A ABC D -的体积为
10
3
列式求得x ，进一步求得BC ，再由侧面积公式求得四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．
【详解】〔1〕证明：侧棱
1AA ⊥平面ABCD ，1AA AD ∴⊥，1AA AB ⊥，
又AB AD ⊥，1
AA AD A =，AD ⊂平面11AA D D ，1AA ⊂平面11AA D D ，
AB ∴⊥平面11AA D D ，
而
1A D ⊂平面11AA D D ，11AB A D ∴⊥，
又1AA AD ⊥，1AA AD =，∴四边形11AA D D 是正方形，那么11A D AD ⊥，
又
1AB
AD A =，1AD ⊂平面11ABC D ，AB
平面
11ABC D ，
1A D ∴⊥平面11ABC D ；
〔2〕解：记1A D 与1AD 的交点为O ，1A O ∴⊥平面11ABC D ，
又
1224AB AD AA ===，∴1
AO ，1AD = 设11CD C D x ==，那么1111111
12810
3233
A ABC D A
B
C
D x V AD AO -++===． 解得：1x =，即1CD =．
BC ∴．
∴
四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积(124214S =+++⨯=+
【点睛】此题考察直线与平面垂直的断定，考察空间想象才能与思维才能，训练了棱柱体积与侧面积的求法，属于中档题.
20.函数2
()2(1)2(0)f x x a x alnx a =-++≠．
〔1〕当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性． 【答案】〔1〕y +3＝0；〔2〕见解析
【解析】 【分析】
〔1〕先把1a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； 〔2〕先对函数求导，对a 进展分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：〔1〕1a =时，2()42f x x x lnx =-+，2
()24f x x x
'=-+
， ()13f ∴=-，()10f '=，
故()f x 的图象在点1x =处的切线方程30y +=；
〔2〕函数的定义域(0,)+∞，
22(1)()()22(1)a x x a f x x a x x
--'=-++
=， 当0a <时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，
当01a <<时，(,1)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞，(0,)a 时，()0f x '>，函数
单调递增，
当1a =时，2
2(1)()0x f x x
-'=恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，
当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(,)x a ∈+∞，(0,1)时，()0f x '>，函数单调
递增，
综上：当0a <时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 当01a <<时，函数在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞，(0,)a 上单调递增， 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，
当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．
【点睛】此题主要考察了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，表达了分类讨论思想的应用，属于中档题.
21.椭圆22
2:1(02)4x y C b b +=<<
的离心率0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
∈，F 为椭圆C 的右焦点，D ，E 为椭圆的上、下顶点，且DEF ∆
．
〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕动直线1
:
2
l y x t =
+与椭圆C 交于A ，B 两点，
证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．
【答案】〔1〕22
43
x y +=1；
〔2〕证明见解析，〔1，32〕 【解析】 【分析】
〔1〕设椭圆的半焦距为c ，由a ，b ，c 的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解方程可得b ，c ，进而得到椭圆方程； 〔2〕设1(A x ，
11
)2
x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，联立直线l 和椭圆方程，运用韦达定理和判别式
大于0，以及斜率公式，化简计算AM BM k k +，考虑它的和为常数，可令t 的系数为0，进而得到M 的坐标．
【详解】解：〔1〕设椭圆的半焦距为c ，那么22224c a b b =-=-，
又由DEF ∆
1
22
c b bc ==1c =
，或者c =
离心率e ∈
，那么c =
时，c e a =
=，舍去， 那么1c =
，b =22
143
x y +=；
〔2〕证明：设1(A x ，11
)2
x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，
将直线1
:
2
l y x t =
+代入椭圆223412x y +=可得2230x tx t ++-=， 由2
2
4(3)0t t ∆=-->，可得22t
-<<，那么有12x x t +=，2123x x t =-，
12122122121211113
()()()()()2322222()()3
AM BM n x t n x t n x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x m x m x t mt m -
------+----+-+=
+==----++-
为与t 无关的常数，
可得当32n m =，23mn =时，斜率的和恒为0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或者1
32m n =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
〔舍去〕
， 综上所述，在第一象限内满足条件的定点M 的坐标为31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【点睛】此题考察椭圆的方程和性质，考察直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考察化简运算才能和推理才能，属于中档题.
请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假设多做，那么按所做的第一个题目计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ，以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满
足|
12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．
〔1〕①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =，以t 为参数求直线1l 的参
数方程
②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；
〔2〕设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求
11AP AQ
+的值
【答案】〔1〕①直线1l
的参数方程为2112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕
，②曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
直角坐标方程为：()2
2400x
y x x +-=≠；〔2
〕3
【解析】 【分析】
〔1〕①由题意可得直线
1
l 的参数方程为
2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨
=+︒
⎩〔
t
为参数〕，②设
()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得11
12
ρρθθ=⎧⎨
=⎩，由11cos 3ρθ=可得12cos 3θρ⋅= 〔2〕将1l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程中得：2
2
1214202t ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
化简得230t t +-=，设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，那么12121,30t t t t +=-=-<，然后利用
11
AP AQ
+=.
【详解】〔1〕①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒
⎧⎨
=+︒
⎩
〔t 为参数〕
即22112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕 ②设()()()111
,,,0,0N
M ρθρθρρ>>，由题意可得11
12
ρρθθ=⎧⎨=⎩ 因为点M 在直线2:cos 3l ρθ=上，所以11cos 3ρθ=
所以
12
cos 3θρ
⋅=，即4cos ρθ=
所以2
4cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：()2
2400x
y x x +-=≠
〔2〕将1
l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：
2
2
121420222t ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，化简得230t t +-= 设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，那么12121,30t t t t +=-=-<
所以
12
1212
1111
t t AP AQ t t t t -+=+==
=
=
【点睛】此题考察了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中
档题.
选修4-5：不等式选讲 23.己知函数
()21f x x x =++-
〔1〕求不等式()8f x x ≥+的解集；
〔2〕记函数
()y f x =的最小值为k ，假设,,a b c 是正实数，且
33112ka kb kc
++=，求证239a b c ++≥.
【答案】〔1〕不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞，
〔2〕证明见详解 【解析】 【分析】
〔1〕分3种情况解出即可 〔2〕首先求出3k
=，即可得到
111
123a b c
++=，然后()122332323323233211
a a
b b
c c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭
，用根本不等式即
可证明. 【详解】〔1〕
()218f x x x x =++-≥+等价于
1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或者2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或者2
218
x x x <-⎧⎨
--≥+⎩ 解得7x ≥或者x ∈∅或者3x ≤- 所以不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞
〔2〕因为()212(1)3f x x x x x =++-≥+--=
当[]2,1x ∈-时等号成立，所以()f x 的最小值为3，即3k =
所以
111
123a b c
++= 所以()122332323323233211
a a
b b
c c a b c
a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭
当且仅当23a b c ==时等号成立
【点睛】此题考察的是含绝对值不等式的解法及利用根本不等式求最值，属于典型题.。