中考300压轴题第11部分相似动点

1．（13济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t．（单位：s）．（0≤t≤4）解答下列问题：
（1）求AC的长；
（2）当t为何值时，PQ∥BC；
（3）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，s=cm2；
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
2．（13重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点E运动到点B时停止，点F也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当点E由P向A运动过程中，请求出点H恰好落在AC边上时，t的值；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）设AC的中点为N，是否存在这样的t，使△NEF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
3．（13惠山区校级模拟）已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．
（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）如图，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．
①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；
②当t＞4时，设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E，问：是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
4．（13清河区校级模拟）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=3，AP=1，∠MPN=90°，如图①，当直角边PM经过点B时，另一直角边PN恰好经过点C，将∠MPN从图①的位置开始，绕点P顺时针旋转，PM 交射线BA于点E，PN交边BC于点F，当点F与点B重合时停止转动（如图②），在这个过程中，请你观察、探究并解答：
（1）直接写出：线段BC的长度10；
（2）当点E在线段AB上时．设BE=x，EF2=y，求y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，y值最小．最小值为多少？
（3）在整个运动过程中，∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由．
（4）直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．
5．（12南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a=，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
6．（12青岛）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
7．（12漳州）如图，在▱OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：点C的坐标是（2，2），对角线OB的长度是4cm；
（2）当a=1时，设△OPQ的面积为t t为何值时，S的值最大？（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M．若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
8．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
（1）P判断△MAB′与△NC′P是否相似？并说明理由；
（2）当B落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC′B′面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积．
9．将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．
（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：
①△AEF的边AE=cm，EF=cm，线段EG与BF的大小关系是EG BF；（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周长．
（2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：
③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；
④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？
10．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A﹣C﹣B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．
11．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．
（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x．
①若BM=，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．
12．如图，G为正方形ABCD的对称中心，A（0，2），B（1，0），直线OG交AB于E，DC于F，点Q从A出发沿A→B→C的方向以个单位每秒速度运动，同时，点P从O出发沿OF方向以个单位每秒速度运动，Q点到达终点，点P停止运动，运动时间为t．求：
（1）求G点的坐标．
（2）当t为何值时，△AEO与△DFP相似？
（3）求△QCP面积S与t的函数关系式．
13．（15•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为
2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
14．（15•徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面
直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（15•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x （0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．
16．（15•江阴市模拟）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG=，=．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
17．图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．
（1）求的值；（2）求MB、NB的长；
（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．
18．（15•北塘区一模）如图，已知直线l1∥l2，一个45°角的顶点A在l1上，过A作AD⊥l2，垂足为D，AD=6．将这个角绕顶点A旋转（角的两边足够长）．
（1）如图，旋转过程中，若角的两边与l2分别交于B、C，且AB=AC，求BD的长．为了解决这个问题，下面提供一种解题思路：如图，作∠DAP=45°，AP与l2相交于点P，过点C作CQ⊥AP于点
Q．∵∠DAP=∠BAC=45°，∴∠BAD=∠CAQ，请你接下去完成解答．
（2）旋转过程中，若角的两边与l2分别交于E、F（E在F左面），且AE＞AF，DF=2，求DE的长．请你借鉴（1）的做法在备用图中画图并解答这个问题．
19．（15春•锡山区期中）（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
方法探究：小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了．小亮问：“怎么解决？”小明画出了图（2）的四边形，说：“四边形ABCD中，AD∥BC，取DC边的中点E，连结AE并延长交BC的延长线于点F．显然有△ADE≌△FCE，则S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积）．借助这图和图中的结论就可以解决了．”
请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题．
（2）实际应用：如图（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=70°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）
（3）拓展延伸：如图（4），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值是．
20．（08•苏州）课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．
（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（）；B1点的坐标为（）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，﹣1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于．
1.解：（1）∵AB=8cm，BC=6cm，∴AC==10（cm）；
（2）当PQ∥BC时，
∵CP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴=，即=，解得：t=，
∴当t=s时，PQ∥BC．
（3）如图2所示，过P点作PD′⊥AC于点D．
∴PD′∥BC，∴=，即=，
解得：PD′=6﹣t．S=×AQ×PD′=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=
整理得出：t2﹣5t+6=0，（t﹣2）（t﹣3）=0，解得：t1=2，t2=3，
故当t为2或3时，s=cm2；
（4）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t，∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
2.解：（1）依题意有=，解得；
（2）当正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状为正方形时，时，S=2t×2t=4t2；
当＜t≤时，
==；当时，；
（3）t的值为或2或或．
3.解：（1）设PN与x轴交于点D，如图1．
∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，∴OB==5．
∵PD∥AB，∴△OPD∽△OBA，
∴==，==，∴OD=，PD=，∴P点的坐标为（，）；
（2）①分三种情况：
（i）当0＜t≤时，如图1，设PQ与y轴交于点E，则S=S矩形ODPE．
由（1）知OD=，PD=，
∴S=OD•PD=•=t2；
（ii）当＜t≤时，如图2，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S矩形PQFD．
∵PQ=2，PD=，∴S=PQ•PD=2•=t；
（iii）当＜t＜4时，如图3，S=S正方形PQMN=2×2=4；
综上所述，当t＜4时，求S与t之间的函数关系式为S=；
②由题意，知t＜5+2．如图5，分三种情况：
（i）当4＜t≤5时，
∵∠DPE＞∠DBE=90°，∴△PDE不可能为直角三角形；
（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；
（iii）当t＞5时，
∵∠DPE＜∠DBE=90°，∴当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．
若∠PDE=90°，则△PQD∽△DME，
∴PQ：DQ=DM：ME，即2：（t﹣3）=（5﹣t）：（6﹣t），
整理，得9t2﹣160t+675=0，解得t=，
∵t＜5+2，∴t=；
若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，
∴PN：NE=EM：MD，即2：（t﹣4）=（6﹣t）：（5﹣t），
整理，得8t2﹣115t+425=0，∵△=1152﹣4×8×425=﹣375＜0，∴t无实数根，
综上所述，所有符合条件的t的值为t=5或t=．
4.解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=3，∴PB=，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．∴△ABP∽△DPC．∴=，即=．
∴PC=3，
∴线段BC的长度为：BC==10；故答案为：10．
（2）如图1，过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．∴GF=AB=3，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．∴△APE∽△GFP，
∴=，∴=，∴PG=9﹣3x，∴AG=BF=10﹣3x，
∵EF2=BE2+BF2，∴y=x2+（10﹣3x）2，=10x2﹣60x+100，=10（x﹣3）2+10．
故当x为3时，y值最小，最小值为10．
（3）∠PEF的大小不变．
理由：由（2）得出∵△APE∽△GFP，∴===3．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF==3．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．
（4）如图2所示：
设线段EF的中点为O，连接OP，OB，∵在Rt△EPF中，OP=EF，
如图3所示：可得：AP2=AE×AB，解得：AE=，则BE=，
在Rt△EBC中，EC==，
故线段EF的中点经过的路线长为O1O2=CE=．
5.解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6cm，
∵a=2，∴BP=2tcm，DQ=tcm，∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：t=；
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，∴BE=BQ=（6﹣t）cm，
∵a=，∴PB=tcm，
∵AD⊥BC，∴PE∥AD，∴PB：AB=BE：BD，即，解得：t=，
∴PQ=PB=t=（cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，PM∥CQ，
∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），
，
化简得②：6at+5t=30③，
把①代入③得，t=﹣，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
6.解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8∴AB=．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=BC=4
∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC ∴∠AED=∠B ∴△PQE∽△ACB
由题意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，即，解得t=；
（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，由△PME∽△ACB，得，
∴，得PM=（4﹣t）．
S△PQE=EQ•PM=（5﹣2t）•（4﹣t）=t2﹣t+6，
S梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18﹣（t2﹣t+6）=t2+t+12．
（3）假设存在时刻t，使S△PQE：S五边形PQBCD=1：29，
则此时S△PQE=S梯形DCBE，
∴t2﹣t+6=×18，
即2t2﹣13t+18=0，
解得t1=2，t2=（舍去）．
当t=2时，
PM=×（4﹣2）=，ME=×（4﹣2）=，
EQ=5﹣2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQ•h=，∴h=•=（或）．
7.解：（1）过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥OA于E，连接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×=2（cm），CD=OC•sin60°=4×=2（cm），∴C（2，2），
∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC=4cm，BC∥OA，∴BE=CD=2cm，
∴AE==2（cm），
∵OA=8cm，∴OE=OA+AE=10（cm），∴OB==4cm．
（2）①当0＜t≤4时，
过点Q作QD⊥x轴于点D（如图1），则QD=t．∴S=OP•QD=t2．…（5分）
②当4≤t≤8时，
作QE⊥x轴于点E（如图2），则QE=2．
∴S=OP•QE=t．
③当8≤t＜12时，
解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H（如图3）．
∴△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t﹣8．∴PH=（t﹣8）．
∴S=S△OQF﹣S△OPF=t•2﹣t•（t﹣8）=﹣t2+3t．
当t=8时，S最大．
解法二：过点P作PH⊥x轴于点H（如图3）．
∴△PBQ为等边三角形．
∵AP=t﹣8．∴PH=（t﹣8）．
∴S=S梯形OABQ﹣S△PBQ﹣S△OAP=（20﹣t）﹣（12﹣t）2﹣2（t﹣8）．=﹣t2+3t．
当t=8时，S最大．
（3）①当△OPM∽△OAB时（如图4），则PQ∥AB．
∴CQ=OP．∴at﹣4=t，a=1+．t的取值范围是0＜t＜8．
②当△OPM∽△OBA时（如图5），则，∴，∴OM=．
又∵QB∥OP，∴△BQM∽△OPM，∴，∴，
整理得t﹣at=2，∴a=1﹣．t的取值范围是6≤t≤8．
8.解：（1）△MAB′与△NC′P相似，
其理由如下：∵∠NC′P=∠B′AM=90°，
又∵∠B′PD+∠PB′D=90°，∠DB′P+∠MB′A=90°，∴∠MB′A=∠B′PD，
又由∠NPC′=∠B′PD，∴∠MB′A=∠NPC′，∴△MAB′∽△NC′P．
，∴==
BQ=，代入上式得：BM=B'M=．
故C'N=CN=BR=MB﹣MR=﹣x=（x﹣1）2．
[（1=），时，即的中点处时，梯形面积最小，其最小值．
N=，，AM=，
由（1）得===；
××），
==
∴
，，
+
②如图2，设AF=x，EF=8﹣AE，x+AE=（8﹣AE）
∴AE=4﹣，
+x
S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4﹣+4﹣+x）=，S=，
解：（1）∵AB∥DC，∴Rt△AQM∽Rt△CAD．∴．
即
，∴；
或
）可得．即
CH=（中，∵，∴△
是等边三角形，∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，∴∠DAM=∠PAC，
ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP，
，
，，．
x
x
∴AP2=AS2+PS2==x2﹣2x+4．
AP AP×
∴S=S四边形AMPN=S△ADP==（0＜x＜2），
．
PG=AG=PG=
t=
BP=2t=2BP=2﹣
OD=
﹣
﹣（﹣a =．∴
（，（
（t=，
故
t=时，
，
t
OP=
∴S△QCP=（﹣3t+2）（3﹣t），∴S=，
②=t+
MI=PM=PH=PM=
中，
中，
⊥DG交DG于点
，在中，根据勾股定理得：GM== DG=DM+GM=，∴BE=DG=；
﹣
，
（3）假设存在点）
﹣
，∴=，∴F+AE==，∴﹣，
﹣
=0.96，
（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9AC===12∵==，==，∴=．
．≤；
当＜3GH
HG=DF，∴=
，∴=（9﹣3x），PH=﹣T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9x+，此时，＜
，解得x=1
时，即x+x=．
，∴，∴=．
∵AD=2，AE=1，DF=6，∴==，∴EG=3，=2．故答案分别为：3、2；
（2）如图2，
∵DE∥FG∥BC，∴，，∴==．
，∴=，∴△
解：（1）∵△A1B1M∽△NBM，∴，即
MB=；
1==
中，
AP= QP=BD=CQ=QP=
（2）①如图1：
AP=
FQ=QP=AQ=，∴
∵AD⊥l2，FQ⊥AP，∴∠ADE=∠AQF=90°，∴△AED∽△AFQ，∴
AP=6
FQ=QP=4，
∴
=
=
∴M1P1=P1N=（2﹣）km，
）﹣
ON﹣
（）
×
×
（），解得：，当y=0时，x=9，∴T（9，0）．∴S△OCT=××，
1
×
∴S四边形OCMN=﹣12=＜10．
20.解：（1）3，A1（﹣2，4），B1（0，3）；
（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x轴于H，
∵B'，B的横坐标相等，∴B'B⊥x轴，∴四边形CHBG为矩形．
∵C（2，1），B（3，0）∴CG=1，∴G（3，1），∴GB=1，∴CG=CH=1，
∴矩形CHBG为正方形．∴∠HCG=90度．
∵∠ECD=90°，∴∠HCE+∠ECG=∠GCD+∠ECG=90°∴∠HCE=∠GCD．
在△HCE和△GCD中，∴△HCE≌△GCD．∴S四边形CEBD=S正方形CHBG=1；
（3）由垂径定理知，△AOB的外接圆的圆心应为OB与OA的中垂线的交点．
OB的中垂线的解析式为x=，
设OA的中垂线的解析式为y=kx+b，把点A′，O′的坐标代入得，解得，k=﹣2，b=5，即OA的中垂线的解析式为y=﹣2x+5，
所以圆心的坐标为（，2），△AOB的外接圆的半径==．。