人教版高中数学必修五 教案 2.5 等比数列的前n项和2

2.5 等比数列的前n 项和
教学过程 推进新课 ［合作探究］
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究
师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q 2+…+q n +q n +1
生 每一项就成了它后面相邻的一项
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？
师 生共同探索： 如果记S n =1+q+q 2+…+q n 那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值
生 如果q≠1，则有q
q S n
--=
11
师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果
生 如果q ＝1，那么S n =n
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示： a 1+a 2+a 3+…+a n =？ ［教师精讲］
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n
要想得到S
n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n
师 再次提醒学生注意q 的取值 如果q≠1，则有q
q a a S n n --=
11
师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n
如果q≠1，则有q
q a S n n --=
1)
1(1
师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？
生 独立思考、合作交流
生 如果q ＝1，S n =na 1
师 完全正确
如果q ＝1，那么S n =na n 正确吗？怎么解释？
生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍
师 对了，这就是认清了问题的本质
师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：
［合作探究］
思路一：根据等比数列的定义，我们有：
q a a a a a a a a n n =====-1
34
2312...
再由合比定理，则得
q
a a a a a a a a n n
=++++++++-1
321432......
即
q
a S a S n
n n =--1
从而就有(1-q)S n =a 1-a n
(以下从略
思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得
S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n
从而得(1-q)S n =a 1-a
n
(以下从略
师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n
的取值应该满足什么条件？ 生 n
＞
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞
师 综合上面的探究过程，我们得出：
⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,
1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n
［例题剖析］
【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：
(1)
21,41,8
1
,…； (2)a 1=27,a 9=243
1
,q
＜
［合作探究］ 师生共同分析：
由(1)所给条件，可得211=a ，21
=q ,求n ＝8
时的和，直接用公式即可 由(2)所给条件，需要从243
1
9=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，
所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得3
1-=q ，将所得的值代入公式就可以了
生 写出解答：
(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，2562552
11)21
(1[2
18
8=--=
S
(2)由a 1=27,24319=
a ，可得2724311
98
⨯==a a q
，
又由q ＜0，可得31-
=
q 于是当n ＝8时，811640)
3
1(1)
2724311(27
18=--⨯-=
S
【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)
？
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S
n
于是得到
300001
.11)
1.11(5000=--
n
整理得1.1n
两边取对数，得
n
用计算器算得1.1lg 6.1lg =
n ≈041
.02
.0≈5(
年
答：大约5年可以使总销售量达到30 000台
练习：
教材第66页，练习第1、2、3
题
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法
2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式
在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题
板书设计
等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式
情境问题的推导一般情形的推导例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)
第二课时
教学过程
推进新课
［例题剖析］
师出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：
例1思考以下问题：
(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？
(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？
(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？
(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？
(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？
(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.
［合作探究］
师 要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：
若每月固定存a 元，连续存n 个月，则计算利息的公式为2
)1(n
n a +×月利率
师 你能解释这个公式的含义吗？ 生 独立思考、合作交流、自主探究
师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q ，
则这个公式实际上是数列：a q,2a q,3a q,…,na q,…的前n 项和
这个数列的项不正是依次月数的利息数？
这个数列具有什么特征呢？ 生 发现等差关系
师 用我们的数学语言来说，这是个首项为a q ，公差为a q 的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的
我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算
这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：
三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；
五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%； 三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%； 利息税率为
师 下面我们来看第一个问题的结果
生 计算，报告结果
师 生共同解答：
(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每
月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共
2
36
)365050(⨯⨯+×0.21%+1 800＝1 869.93(元
因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存
入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共
272
)725050(⨯⨯+×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元
(2)每月存入每月存a 元，连续存3年，到期一次可支取本息共
236
)36(⨯⨯+a a ×0.21%+36a (元
若每月存入每月存a 元，连续存6年，到期一次可支取本息共
2
72
)72(⨯⨯+a a ×0.232 5%+72a (元
(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3
年，到期一次可支取本息共
2
36
)365050(⨯⨯+×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元
比教育储蓄的方式少收益27.97(元
(4)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得
2
36
)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝
解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元
(5)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得
2
36
)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝10 000a
解得x=3986
.3710000a
=267.39a ，即每月应存入267.39a (元
(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得
2
48
)48100100(⨯⨯+×0.21%+4 800＝5 046.96(元
(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算
一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，
故当b =1或2时，由计算公式得
2
12)12(b
b a a ⨯⨯+×0.165%+12ab (元
当b =3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.
根据计算公式得
2
12 )
12
(b
b
a
a⨯
⨯
+
×0.21%+12ab(元
(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案
［概括总结］
师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议
从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来
说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的
数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由
师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它
出示投影胶片3：
例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？
出示多媒体图片1：
师如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和
I N请输入将［0，3］分成的份数n：”;N
WHILE k＜=N-
AN -(k*3/n )^2)*3/N
SUM=SUM=AN
PRI N T k,AN
WE ND
E ND
阅读程序，回答下列问题：
(1)程序中的AN ，SUM 分别表示什么，为什么？
(2)请根据程序分别计算当n ＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).
师 你能回答第一个问题吗？
生 AN 表示第ｋ个矩形的面积，SUM 表示前ｋ个矩形面积的和
生 当把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，各等份的长都是n
3
理由是：各分点的横坐标分别是
n 3,n 23⨯ ,…,n
n )1(3-⨯
从各分点作y 轴平行线与y=9-x 2图象相交，交点的纵坐标分别是
2)3(9n -,2)23(9n ⨯- , (2)
)1(3[9n
n -⨯-
它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是
n
n 3])3(9[2⨯-,n n 3])23(9[2⨯⨯-,…,
n
n n 3)])1(3[(92⨯⎭⎬⎫⎩⎨
⎧
-⨯-
师 对学生的思考给予高度的赞扬
师 当我们把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域内的n -1个矩形
师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n -1项和如何求
生 自主探究
列式：
n
n n n n n n S n 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-⨯-++⨯⨯-+⨯-=-
=
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯-+-]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222n n n n n
=
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+++--])1(...21[)3()1(932222n n n n
师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子
师 求和时遇到了12+22+…+n 2的计算问题，这也是一个求数列前n 项和的问题
关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n 2,…的前n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前n 项和公式与等比数列前n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式
即要求记住：12+22+…+n 2=
6
)
12)(1(++n n n
关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习
师 运用这个公式，请把上面的n -1个矩形面积的和计算出来
生 继续运算
S n -1=
n 3 {9(n -1)-( n 3
)2［12+22+…+(n -1)2］}
=n 3［9(n -1)-( n 3)26
)12()1(--n n n ］ =
2
22)134(9n n n --
师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果
师 根据程序，当n ＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N ＝6，SUM 的最后一个输出值
那么当n ＝11时，10个矩形的面积的和就是N ＝11时，SUM 的最后一个输出值，即
；
当n =16时，我们就得到15个矩形面积的和
当n =17时，SUM 的最后一个输出值是多少？ 生 n =17时，SUM 的最后一个输出值
师 你是怎么计算n =17时，SUM 的最后一个输出值的呢？
生 是用上面推导出来的计算公式：2
212)
134(9n n n S n --=
-
当n =500时，SUM 的最后一个输出值
当n =1 000时，SUM 的最后一个输出值
生 用公式2
212)134(9n n n S n --=-，不难算出n =500时，SUM=17.973；n =1 000时，SUM=17.986. 师 在计算n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而
不用程序中的步骤呢？
师 这是因为公式2212)134(9n
n n S n --=-用起来很方便，只要给出上一个n 的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的n ，都要从k=1依次循环到k=N -1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事
师 至此，你能估计出函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积了？ 生 由n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM ，可以估计，这个面积大约是
师 一个非常准确的结果！ ［教师精讲］
师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：
1.本例中，程序使用了S n 的递推公式，即⎩⎨⎧+==-)
1(,111＞n a S S a S n n n
这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；
2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n 项的办法，即
⎩⎨⎧+==-)
1(,111＞n S S a S a n n n 3.关于估计函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前k 个矩形面积的和SUM 就越接近函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x ＝18，而我们的估计值也是18，可见我们的估计非常准确
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.教育储蓄中的有关计算
2.用计算机程序计算数列的和
布置作业
课本第69页习题2.5第4、5题
板书设计。