3-5-1、2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质

第三章 ·§5 ·第1、2课时
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[答案] 函数
1.(1)logax
底数
(2)常用对数函数
自然对数
2．y＝logax 3．(1,0)
y＝ax
直线 y＝x 0 和负数 x 轴上方 x 轴下方 增
y 轴右边
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2 2
1 1 ＋1＝4x2－x＋2－x2＋1
12 4 5 ＝－3x ＋x＋4＝－3x－6 ＋3.
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1 1 又∵x≥0，y≥0，x＋2y＝ ，∴ －x＝2y≥0， 2 2 1 1 4 即 x≤2，∴0≤x≤2，在此范围内，P 的最大值为3，此 1 1 时 x＝6.P 的最小值为 1，此时 x＝2. 又∵y＝log2x 是增函数，因此函数 log2(8xy＋4y2＋1)的最 4 小值是 0，最大值是 log23.
[解析]
(1)x2－4x－5>0 得(x－5)(x＋1)>0， 所以 x<－1 或
x>5，故定义域为{x|x<－1 或 x>5}． 16－4x>0， (2)由已知得x＋1>0， x＋1≠1， x<2， 得x>－1， x≠0，
故定义域为{x|－1<x<0，或 0<x<2}． 2x＋3>0， x－1>0， (3)要使函数有意义，必须 3x－1>0， 3x－1≠1.
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[解析]
(1)定义域：x2－2x－3>0，即 x>3 或 x<－1，∴y
＝log2(x2－2x－3)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令 u＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，u>0，y＝log2u 的值域为 R. 1 1 (2)∵x＋2y＝2，∴2y＝2－x. 设 P＝8xy＋4y
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[方法总结]
(1)考查复合函数值域的求法，先求定义域，
再确定真数的范围，最后根据对数运算并求出值域．(2)关键 是真数的范围，特别注意的是隐含的自变量的取值范围．
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对数函数的概念 对数函数 y＝log2x 的图像和性质
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知能目标解读
1．掌握对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关 系． 2．了解反函数的概念，会求已知函数的反函数．
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求对数函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)； (2)f(x)＝ 2－ln3－x； 3 (3)f(x)＝ . log0.5x－1 [分析] 域． 列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义
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3 x>－2 x>1 即 1 x>3 x≠2 3
，所以 x>1.
故函数的定义域为(1，＋∞).
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对数函数的值域与最值
[例 3] (1)求函数 y＝log2(x2－2x－3)的值域；
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2．反函数 指数函数 y＝ax(a>0， a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0， a≠1) 互为反函数，通常情况下，x 表示自变量，y 表示函数，指数 函数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数________(a>0，a≠1)的反 函数；同时，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数 ________(a>0 ， a≠1) 的 反 函 数 ． 互 为 反 函 数 的 图 像 关 于 ________对称．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
指数函数和对数函数
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§5
对数函数
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第 1 课时 第 2 课时
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3．y＝log2x 的图像和性质 对数函数 y＝log2x 的图像过点________，函数图像都在 ________，表示了________没有对数；当 x>1 时，y＝log2x 的 图像位于________，当 0<x<1 时，图像位于________；函数 y ＝log2x 在(0，＋∞)为________函数．
思路方法技巧
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对数函数的定义
[例 1]
下列函数表达式中，是对数函数的有(
)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx； ⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1 个 [分析] B．2 个 C．3 个 D．4 个
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(2)由对数函数的定义可知， 在指数函数 y＝ax 和对数函数 x＝logay 中，x、y 两个变量之间的关系是一样的，所不同的只 是在指数函数 y＝ax 里，x 当作自变量，y 当作因变量，而在 对数函数 x＝logay 中，y 当作自变量，x 是因变量，习惯上， 常用 x 表示自变量，y 表示因变量，因此对数函数通常写成 y ＝logax(a>0，a≠1，x>0)．
根据对数函数定义判定．
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[解析]
形如 y＝logax(a>0，a≠1)的函数即为对数函数，
符合此形式的有③，④，其他的不符合．
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[答案]
B 同指数函数一样，对数函数也是形式化定
[方法总结]
义， 形如 y＝logax(a>0 且 a≠1)的函数是对数函数， 否则不是．
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二、反函数 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作 为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的 函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数． 注意：深刻理解定义． (1)函数 y＝f(x)的反函数常用 y＝f－1(x)来表示． (2)函数 y＝f(x)与 y＝f－1(x)互为反函数． (3)对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数， 它们 的图像关于直线 y＝x 对称．(a>0 且 a≠1)
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四、函数 y＝log2x 的性质
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知能自主梳理
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1．对数函数的有关概念 (1)对数函数：我们把函数 y＝________(a>0，a≠1)叫作 对数函数，a 叫作对数函数的________． (2)常用对数函数与自然对数函数： 称以 10 为底的对数函 数 y＝lgx 为________，以无理数 e 为底的对数函数 y＝lnx 为 ________．
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(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
3－x≤e2， 即 3－x>0，
解得 3－e2≤x<3， 故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}． (3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0， 1 1 即 log2(x－1)>0，所以 log2 >0， x－1 x－1>0 ∴ 1 x－1>1
求下列函数的值域： 4x－3 (1)y＝log2 ；(2)y＝log2(x2－2x＋2)； x－1 (3)y＝log2x－log2x2＋3，x∈[2,4]． 2
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1 (2)设 x≥0，y≥0 且 x＋2y＝2，求函数 log2(8xy＋4y2＋1) 的最大值和最小值． [分析] (1)本题是复合函数， 先求函数的定义域以及真数
的范围，再求函数的值域；(2)欲求函数的最值，先求真数的 最值，将真数的 x，y 统一，并注意自变量的取值范围．
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(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义 域． (5)对于任意一个函数 y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当 确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数． 三、求反函数的步骤 由反函数的概念可以得出求反函数 y＝f－1(x)的步骤如下： ①由 y＝f(x)反解得出 x＝φ(y)； ②求出 y＝f(x)的值域，即 y＝f 1(x)的定义域； ③将 x＝φ(y)改写成 y＝f－1(x)，并注明其定义域．
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重点难点点拨
重点：对数函数的概念及 y＝log2x 的图像和性质． 难点：对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系．
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求下列函数的定义域： (1)y＝log2(x2－4x－5)； (2)y＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝log(3x－1) 2x＋3 . x－1
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下列函数是对数函数的是(
)
A．y＝loga(x＋7)(a>0，且 a≠1) B．y＝log3x2 C．y＝log2(x＋1) D．y＝log5x
[答案]
[解析]
D
只有形如 y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数.
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[解析]
(1)要使函数有意义，需 1 x> ，且x≠1， 即 2 x<2，
2x－1>0，且2x－1≠1， 2－x>0，
1 ∴2<x<2，且 x≠1， 1 故函数的定义域为{x|2<x<2，且 x≠1}．
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，即 1<x<2.
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
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[方法总结] 定义域是研究函数的基础， 若已知函数解析 式求定义域，常规为分母不能为零，0 的零次幂与负指数次幂 无意义，偶次方根被开方式(数)非负，求与对数函数有关的函 数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这 种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是 要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
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一、对数函数的概念 由函数 y＝ax(a>0，a≠1)，把 x 看成 y 的函数，则这个函数叫 作对数函数，习惯上记作 y＝logax(a>0，a≠1)，它的定义域是(0， ＋∞)． 注意：从函数定义去理解． (1)根据对数式 x＝logay(a>0，a≠1)，对于 y 在正实数集内的 每一个确定的值， 在实数集 R 内都有唯一确定的 x 值和它对应． 根 据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系．其 中 y 是自变量，x 是因变量．函数 x＝logay(a>0，a≠1，y>0)叫作 对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集 R.