3-5-1、2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质
新版高中数学北师大版必修1课件3.5.1-3.5.2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质
当堂检测
一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y= ax (a>0,a≠1)互为反函
数.
【做一做 2】
若函数 f(x)=
1 3
������
的反函数是 y=g(x),则
g(3)=( )
A.217
B.27
C.-1
D.1
解析:由已知得 g(x)=log1x,于是 g(3)=log13=-1.
-2-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数 y=logax (a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为
底的对数函数y=lg x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数
⑥y=12log3x 中,系数是12,而不是 1,故不是对数函数.
答案:(1)2 (2)①
-9-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值, 即得其解析式.
y=ln x为自然对数函数.
【做一做1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数
a=
.
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
北师大版数学必修一第三章 5 5.1 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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二、反函数 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的 反函数 ；指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0) 互为反函数 ． 三、画 y＝log2x(x>0)的图像的方法 (1) 描点法 ； (2) 变换法 ．
x＋1>0 解析：(1)要使函数有意义，需 1－x>0 x>－1 ，即 x<1
.
∴－1<x<1，∴函数的定义域为(－1,1)． 5－x>0 (2)要使函数有意义，需x－2>0 x－2≠1 ∴定义域为(2,3)∪(3,5)． x<5 ，∴x>2 . x≠3
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}．
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探究二 [典例 2] 写出下列函数的反函数． 求函数的反函数
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1x (1)y＝log 1 x；(2)y＝ln x；(3)y＝( ) ；(4)y＝2x－1. e 6 1 1x [解析] (1)对数函数 y＝log 1 x 的底数是 ，它的反函数是指数函数 y＝( ) . 6 6 6
(2)对数函数 y＝ln x 的底数是 e，它的反函数是指数函数 y＝ex. 1x 1 (3)指数函数 y＝( ) 的底数是 ， 它的反函数是对数函数 y＝log 1 x(x>0)， 即 y＝－ln x(x>0)． e e e (4)由 y＝2x－1 得 2x＝y＋1， ∴x＝log2(y＋1)，
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对数函数的图像和性质
10
…
… -1 -1/2 0 1/4 1/2 1 …
y
1 1 -1 2 3 4 5 6 7 Y=lgx
x
8 9 10
x
Y=log1/2x
… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … 3 2
y
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Y=log1/2x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数
(-4)
(3) 因为 3-x>0 x-1>0 x-1≠ 所以 1<x<3,x≠2即函数y=log(x-1)(3-x)的定 义域为 (1,2)
例2:比较下列各组中两个值的大小: (1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
( 解: 1)考察对数函数y=log2x,因为 2>1, 3<3.5所以 log23<log23.5 (2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以
x轴
（3）对数函数是非奇非偶函数。
例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x)
解:
(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为
- (0,+
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
log0.71.6 >log0.71.8
比较大小:
(1) log35 和 log45 (2) log35 和 log0.50.6
对数函数的概念 y=log2x 的图像和性质
∴－1<x<1， ∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需 5－x>0， x－2>0， x－2≠1， x<5， ∴x>2， x≠3.
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．
[一点通]
求定义域有两种题型，一种是已知函数
解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负 指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的 真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的 定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
1．函数 y＝ log0.5x－5的定义域是 A．(0，＋∞) B．(5,6]
(
)
C．(5，＋∞) D．(－∞，6] x－5>0， 解析：由 log0.5x－5≥0，
x>5， 得 x－5≤1，
∴5<x≤6， ∴定义域为(5,6]．
答案：B
2．求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)； 1 (2)y＝log x； 2 1 (3)y＝log7 . 1－3x
且a≠1)． 问题1：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)x、y的范围是什么？ 提示：自变量x∈(－∞，＋∞)，函数值y∈(0，＋∞)． 问题2：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，x、y的范围是什
么？
提示：x∈(0，＋∞)， y∈(－∞，＋∞)．
问题3：这两个函数具有什么关系？
提示：它们的定义域和值域互反，即y＝ax的定义域 是y＝logax的值域；y＝ax的值域是y＝logax的定义域．
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)之
间的关系： 原函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 对数函数y＝logax(a>0，且 a≠1) 反函数 对数函数 y＝logax (a>0，且
y=log2x的图像和性质_课件1-课件ppt
(2)∵2≤x≤14， ∴3≤2x－1≤27， ∴log23≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为lo详析] (1)要使函数有意义， 需x1＋ －1x>>00， ， 即x>－1，
x<1. ∴－1<x<1， ∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需
5－x>0， x－2>0， x－2≠1，
x<5， ∴x>2，
x≠3.
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．
[一点通]
定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定 义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂 无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大 于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义 域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
1．对数函数的概念 函数y＝ logax (a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a 叫作对数函数的 底数 ，x是自变量． 2．特殊的对数函数
常用对数函数 以 10 为底的对数函数 y＝lgx
自然对数函数 以 无理数e 为底的对数函数 y＝lnx
考察指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0， 且a≠1)．
(4)对数函数 y＝log7x，它的底数是 7，它的反函数 是指数函数 y＝7x.
[一点通]
反函数的求法： (1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)． (2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax (或y＝ax)． (3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的 定义域．
高考总复习北师大BSD版数学 对数函数的概念-对数函数y=log2x的图像和性质 知识梳理与要点导学
2
课
要
x(x>0)是对数函数，而 y＝2log2x，y＝log1 x2 等都不是对数函数． 2
时 作 业
点
导
学
第7页
第三章 §5 5.1、5.2
BSD版·数学·必修1
二、指数函数与对数函数的关系
自 主
指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为 反函数 ，它们的定
预 习
义域与值域 互换 ，图像关于直线 y＝x 对称．
第5页
第三章 §5 5.1、5.2
BSD版·数学·必修1
知识梳理
自
主
预 习
一、对数函数的概念
一般地，函数 y＝logax (a>0，a≠1)叫作对数函数，其中 x 课
时
要
是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．a 叫作对数函数的底数．
作 业
点
导 学
特别地，我们称以 10 为底的对数函数 y＝lg x 为常用对数函
第14页
第三章 §5 5.1、5.2
BSD版·数学·必修1
(2)若对数函数 f(x)的图像过点 P(8,3)，求
自 主
①f(x)的解析式．
预
习
②计算 f12的值．
课
时
要
【思路启迪】 (1)判断一个函数是否是对数函数的依据是什 作
业
点
导 么？
学
(2)求题(2)中函数的解析式可用什么方法？
第15页
第三章 §5 5.1、5.2
学
数 y＝logax 中的底数 a 也必须满足 a>0，且 a≠1.
第13页
第三章 §5 5.1、5.2
自 主
(1)下列函数是对数函数的是( )
y=log2x的图像和性质
描点
y
连线
3
2
1
x
... 1 1 1 2 4 8 ... 42
yy=lologg0.125xx ... 2 1 0 -1 -2 -3 ...
O 11 1 2
4
42
-1
-2
3
8
x
y=log0.5x
y=log0.5x的图像和性质
定义域
R+
y
3
值域
R
2
单调性
减函数
1
过点
(1，0)
O 11 1 2
4
1 1 2 4 8 ...
42
y=log2x ... -2 -1 0 1 2 3 ...
描点 连线
y
3
2
1
11 42
O 12 -1
-2
x
... 1 1 1 2 4 8 ...
42
y=log2x ... -2 -1 0 1 2 3 ...
y=log2x
4
8
x
y=log2x的图像和性质
定义域
R+
y
3
11 3
3
, , 1, , 2, 2
42 2
1
y=log2x
4,
5, 6,
7, 8.
O
-1
1 2 3 4 5 6 78x
2 2.3 2.6 2.8 3 -2
-3
-4
练习 3.利用上题图像,找出适合方程 log 2 的近似解(精确到0.1).
x
5 2
y
4
3
Hale Waihona Puke 2y=log2x1
O
高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数函数3.5.1对数函数的概念3.5.2对数函数y=log2
值域
R
特殊点 (1,0)，即 x＝1 时，y＝0
函数值 当 x>1 时，y>0；
的正负
当 0<x<1，y<0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数
第五页，共28页。
|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝log2x2 与 y＝logx3 都不是对数函数．( √ ) (2)对数函数的图象一定在 y 轴右侧．( √ ) (3)当 0<a<1 时，若 x>1，则 y＝logax 的函数值都大于零．( × ) (4)函数 y＝log2x 与 y＝x2 互为反函数．( × )
第六页，共28页。
2．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝log 1 x
B．y＝log 1 (x＋1)
4
C．y＝2log 1 x
4
D．y＝log 1 x＋1
4
4
【解析】 形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的函数才是对数函数，只 有 A 是对数函数．
【答案】 A
第七页，共28页。
3．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
【解析】 f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 【答案】 A
第九页，共28页。
5．若 f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数 f(x)的值域为________．
【解析】 因为 f(x)＝log2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以 log22≤log2x≤log23， 即 1≤log2x≤log23. 【答案】 [1，log23]
第十二页，共28页。
对数函数的概念442对数函数的图象和性质
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
a=8 =
1
.
2
所以 f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得 f(n)=log 1 n=2,
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
解析:(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)∵已知函数 f(x)=2log1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log1 x≤1,
2
即 log 1 1
≤2log1 x≤log1 1
(3)
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
对数函数的概念
例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
1
随堂演练
2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.1对数函数的概念5.2y=log2x的图像和性质课件
[思路探究] 可先作出y＝log2x的图像，利用图像考察单调性解决问题．
[规范解答]
函数 y＝log2x 的图像如图，
(1)因为 y＝log2x 是增函数，若 f(a)>f(2)，即 log2a>log22，则 a>2.所以 a 的取 值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤14， ∴3≤2x－1≤27， ∴log23≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数 y＝log2(2x－1)在 x∈[2，14]上的最小值为 log23，最大值为 log227.
(1)要使函数有意义，
x＋1>0， x>－1， 需 即 x<1. 1－x>0，
∴－1<x<1， ∴函数的定义域为(－1，1)． (2)要使函数有意义，需 5－x>0， x<5， x－2>0， ∴x>2， x－2≠1， x≠3. ∴定义域为(2，3)∪(3，5)．
解析：
(1)由于 y＝ax 与 y＝logax 互为反函数，图像关于 y＝x 对称，知 A，
B 正确；当 a>1 时，它们均为增函数，当 0<a<1 时，它们均为减函数． (2)函数 f(x)的反函数为 y＝logax， 由题意得，loga3＝1. ∴a＝3.
答y＝log2x的图像与性质 根据函数 f(x)＝log2x 的图像和性质解决以下问题． (1)若 f(a)>f(2)，求 a 的取值范围； (2)求 y＝log2(2x－1)在 x∈[2，14]上的最值．
(0，＋∞) ，函数的值域为___ R . 义域是____________
[强化拓展] 根据对数函数的定义，只有形如 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的函数才是对数函 数，例如，y＝log3x(x＞0)、y＝log1 x(x＞0)都是对数函数， 而 y＝－log2x、y＝log3(x 2 1 ＋1)、y＝ 1 等函数都不是对数函数，而是和对数函数有关的函数． log2x
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5.1 对数函数的概念 5.2 y=log2x的图像和性质
念5.2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.1 对数函数的概念5.2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.1 对数函数的概念5.2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1的全部内容。
数的概念 5。
2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各组函数中,定义域相同的一组是（）A．y＝a x与y＝log a x（a>0，且a≠1）B．y＝x与y＝错误!C．y＝lg x与y＝lg 错误!D．y＝x2与y＝lg x2解析：A中,函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x的定义域为(0,＋∞）；B中，y＝x的定义域为R，y＝x的定义域为[0,＋∞)；C中，两个函数的定义域均为（0，＋∞)；D中y＝x2的定义域为R,y＝lg x2的定义域是｛x∈R｜x≠0}．答案：C2．若某对数函数的图像过点（4，2），则该对数函数的解析式为（）A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a>0,且a≠1，x>0),则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2。
故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．已知函数f(x）＝a x（a>0，a≠1)的反函数为g（x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1）的图像是下图中的( )解析: 由y＝a x解得x＝log a y，∴g(x)＝log a x。
3.5.1对数函数的概念-3.5.2对数函数y=log2x的图像和性质
4 x
4 ������ ; 5
y=log 4 x.
x 5
(3)对数函数 y=log7x,它的底数是 7,它的反函数是指数函数 y=7 .
3 y=log 3 x,它的底数是 ,它的反函数是指数函数 4 4
y=
3 ������ . 4
-15-
)
-5-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1
2
3
2.反函数 对数函数 y=logax(a>0,a≠1)和指数函数 y=ax(a>0,a≠1)互为反函数. 【做一做 2】 写出下列函数的反函数: (1)y=log 1 x; (2)y=3x.
-12-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 判断下列函数是否为对数函数: (1)y=2log3x; (2)y=log3(x-1). 解:(1)中对数符号前面的系数是 2,不是 1,故不是对数函数. (2)中真数为 x-1,不是 x,故不是对数函数.
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
对数函数的概念、图象及性质(高中数学)
() A．y＝2＋log3x
logax(a> 0 且 a≠1)可知 D 正确．]
B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且 a≠1)
D．y＝ln x
35
3．函数 f(x)＝ lg x＋lg(5－3x) 的定义域是( )
C [由l5g－x≥3x>0，0， 得
A.0，53 B.0，53 C.1，53
24
【例 3】 (1)当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax
的图象为( )
A
B
C
D
(2)已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合 a>1 时 y＝a－x＝1ax 及 y＝logax 的图象求解．
(2)由 f(－5)＝1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图．
27
C [∵在 y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a＞1 时，y＝loga(－x)是减函数， y＝a－x＝1ax 是减函数，故排除 B； 当 0＜a＜1 时，y＝loga(－x)是增函数， y＝a－x＝1ax 是增函数，∴C 满足条件，故选 C.]
解得－1<x<0 或 0<x<4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
23
对数函数的图象问题
[探究问题] 1．如图，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应 y＝loga1x， y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x 的图象，你能指出 a1， a2，a3，a4 以及 1 的大小关系吗？ 提示：作直线 y＝1，它与各曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就 是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0. 2．函数 y＝ax 与 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 y＝x 对称．
高中数学同步教学 对数函数y=log2x的图像和性质
)
1
2
3
4
5
6
4已知函数f(x)=log2x+4x,则f(1)=
解析:f(1)=log21+41=0+4=4.
答案:4
.
1
2
3
4
5
6
5函数 f(x)= log2 (-1) 的定义域为
解析:由log2(x-1)≥0,得x-1≥1,解得x≥2.
答案:[2,+∞)
.
1
2
3
4
5
6
6求函数f(x)=log2(x2-2x-8)的递增区间.
答案:D
(2)解:由题意知,log21<log2(2x-3)<log22,
5
∴1<2x-3<2,∴4<2x<5,即 2<x< 2.
故不等式的解集为 2,
5
2
.
)
1
2
3
4
5
6
1若f(log2x)=2x(x>0),则f(3)=(
)
A.8
B.128
C.256 D.512
解析:令log2x=3,则x=8,所以f(3)=28=256.
解:由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.
∵y=x2-2x-8在区间(-∞,-2)上是减少的,在区间(4,+∞)上是增加
的,y=log2x在区间(0,+∞)上是增加的,
∴f(x)的递增区间为(4,+∞).
因为f(x)=log2x在定义域内是增函数,
若f(a)>f(2),即log2a>log22,则a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
1、2 对数函数的概念解析
3-5-1、2 对数函数的概念 、对数函数y ＝log2x 的图像和性质基 础 巩 固一、选择题1．下列函数中是对数函数的是( A )[解析] 形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数，2．(2011·广东文)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( C ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)本题主要考查函数的基本性质，利用代数式有意义的限制条件．要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 1－x ≠01＋x >0，即⎩⎨⎧x ≠1x >－1，所以函数的定义域为 (－1,1)∪(1，＋∞)． 3．函数y ＝log 3x 的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( A )A ．(0，＋∞)B ．RC ．(－∞，0)D ．(0,1)[解析] 反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．4．函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则( C )A ．f (x )＝lg xB ．f (x )＝log 2xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x e[解析] 易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数．∴f (x )＝ln x .故选C.5．设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( A )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0][解析] 由题得M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{x |－1<x <1}，∴M ∩N ＝[0,1)6．函数y ＝|log 2x |的图像是图中的( A )[解析] 有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y ＝log 2x 经上折而得到的．二、填空题7．若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则a ＝___22_____.[解析] 由f (0)＝0，解得a ＝22.8．函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝log 3x (x >0)的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝___3x (x ∈R )_____.[解析] 由题意知y ＝f (x )与函数y ＝log 3x (x >0)互为反函数，所以f (x )＝3x (x ∈R )．三、解答题9．(2012·长沙高一检测)已知函数f (x )＝log 2(x －1)的定义域为A ，函数g (x )＝(12)x (－1≤x ≤0)的值域为B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围．[解析] (1)由题意知：⎩⎨⎧ x －1>0log 2(x －1)≥0⇒x ≥2. ∴A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |1≤y ≤2}．∴A ∩B ＝{2}．(2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，若要使B ⊆C ，则有a －1≥2，∴a ≥3.能 力 提 升一、选择题1．(2010·山东文)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( A )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题． 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0，选A.2．(2011·北京文3改编)如果－log 2x <－log 2y <0，那么( D )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x[解析] ∵－log 2x <－log 2y <0，∴log 2x >log 2y >0，又因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)为增函数，且log 21＝0，所以x >y >1.二、填空题3．若指数函数f (x )＝a x (xg (x )是f (x )____{x |0<x <1}____．[解析] 由a 2＝4，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，∴g (x )＝log 2x <0的解集为{x |0<x <1}． 4．(1)函数f (x )＝log 2[log 2(log 2x )]的定义域为_{x |x >2}__；(2)已知y ＝log 2(ax ＋1)(a ≠0)的定义域为(－∞，1)，则a 的取值a ＝－1．[解析] （1）根据对数函数的定义域列出关于x 的不等式．(1)由f (x )＝log 2[log 2(log 2x )]知log 2(log 2x )>0，即log 2x >1，∴x >2；(2)∵f (x )的定义域为(－∞，1)，∴ax ＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x ＝1是方程ax ＋1＝0的根，∴a ＋1＝0，即a ＝－1.三、解答题5．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg (4－x )x －3； (2)y ＝log (x －2)(5－x )． [解析] (1)由⎩⎨⎧4－x >0x －3≠0得x <4且x ≠3，∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)∵⎩⎨⎧ 5－x >0x －2>0x －2≠1，∴⎩⎨⎧ x <5x >2x ≠3，∴2<x <3或3<x <5，∴所求定义域为(2,3)∪(3,5)．6．求函数y ＝3x －4(x ≥2)的反函数．[解析] ∵y ＝3x －4，∴3x ＝y ＋4，∴x ＝log 3(y ＋4)，∴y ＝log 3(x ＋4)， 又∵x ≥2，∴3x －4≥5，∴定义域为[5，＋∞)． ∴函数的反函数为y ＝log 3(x ＋4)(x ≥5)．7．已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若f (12)＝1，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )＝log a 1＋x 1－x ，需有1＋x 1－x>0， 即(1＋x )(1－x )>0，(x ＋1)(x －1)<0，∴－1<x <1. ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x)－1 ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)∵f (12)＝log a 1＋121－12＝log a 3.∴log a 3＝1，故a ＝3.。
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成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
(1)定义域：x2－2x－3>0，即 x>3 或 x<－1，∴y
＝log2(x2－2x－3)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令 u＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，u>0，y＝log2u 的值域为 R. 1 1 (2)∵x＋2y＝2，∴2y＝2－x. 设 P＝8xy＋4y
1 (2)设 x≥0，y≥0 且 x＋2y＝2，求函数 log2(8xy＋4y2＋1) 的最大值和最小值． [分析] (1)本题是复合函数， 先求函数的定义域以及真数
的范围，再求函数的值域；(2)欲求函数的最值，先求真数的 最值，将真数的 x，y 统一，并注意自变量的取值范围．
第三章 ·§5 ·第1、2课时
第三章 ·§5 ·第1、2课时
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(2)由对数函数的定义可知， 在指数函数 y＝ax 和对数函数 x＝logay 中，x、y 两个变量之间的关系是一样的，所不同的只 是在指数函数 y＝ax 里，x 当作自变量，y 当作因变量，而在 对数函数 x＝logay 中，y 当作自变量，x 是因变量，习惯上， 常用 x 表示自变量，y 表示因变量，因此对数函数通常写成 y ＝logax(a>0，a≠1，x>0)．
，即 1<x<2.
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
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[方法总结] 定义域是研究函数的基础， 若已知函数解析 式求定义域，常规为分母不能为零，0 的零次幂与负指数次幂 无意义，偶次方根被开方式(数)非负，求与对数函数有关的函 数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这 种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是 要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
根据对数函数定义判定．
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[解析]
形如 y＝logax(a>0，a≠1)的函数即为对数函数，
符合此形式的有③，④，其他的不符合．
[答案]
B 同指数函数一样，对数函数也是形式化定
[方法总结]
义， 形如 y＝logax(a>0 且 a≠1)的函数是对数函数， 否则不是．
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(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
3－x≤e2， 即 3－x>0，
解得 3－e2≤x<3， 故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}． (3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0， 1 1 即 log2(x－1)>0，所以 log2 >0， x－1 x－1>0 ∴ 1 x－1>1
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求对数函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)； (2)f(x)＝ 2－ln3－x； 3 (3)f(x)＝ . log0.5x－1 [分析] 域． 列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义
第三章 ·§5 ·第1、2课时
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2．反函数 指数函数 y＝ax(a>0， a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0， a≠1) 互为反函数，通常情况下，x 表示自变量，y 表示函数，指数 函数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数________(a>0，a≠1)的反 函数；同时，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数 ________(a>0 ， a≠1) 的 反 函 数 ． 互 为 反 函 数 的 图 像 关 于 ________对称．
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[解析]
(1)要使函数有意义，需 1 x> ，且x≠1， 即 2 x<2，
2x－1>0，且2x－1≠1， 2－x>0，
1 ∴2<x<2，且 x≠1， 1 故函数的定义域为{x|2<x<2，且 x≠1}．
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第三章 ·§5 ·第 必修1
[答案] 函数
1.(1)logax
底数
(2)常用对数函数
自然对数
2．y＝logax 3．(1,0)
y＝ax
直线 y＝x 0 和负数 x 轴上方 x 轴下方 增
y 轴右边
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下列函数是对数函数的是(
)
A．y＝loga(x＋7)(a>0，且 a≠1) B．y＝log3x2 C．y＝log2(x＋1) D．y＝log5x
[答案]
[解析]
D
只有形如 y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数.
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思路方法技巧
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对数函数的定义
[例 1]
下列函数表达式中，是对数函数的有(
)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx； ⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1 个 [分析] B．2 个 C．3 个 D．4 个
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3 x>－2 x>1 即 1 x>3 x≠2 3
，所以 x>1.
故函数的定义域为(1，＋∞).
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对数函数的值域与最值
[例 3] (1)求函数 y＝log2(x2－2x－3)的值域；
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二、反函数 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作 为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的 函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数． 注意：深刻理解定义． (1)函数 y＝f(x)的反函数常用 y＝f－1(x)来表示． (2)函数 y＝f(x)与 y＝f－1(x)互为反函数． (3)对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数， 它们 的图像关于直线 y＝x 对称．(a>0 且 a≠1)
[解析]
(1)x2－4x－5>0 得(x－5)(x＋1)>0， 所以 x<－1 或
x>5，故定义域为{x|x<－1 或 x>5}． 16－4x>0， (2)由已知得x＋1>0， x＋1≠1， x<2， 得x>－1， x≠0，
故定义域为{x|－1<x<0，或 0<x<2}． 2x＋3>0， x－1>0， (3)要使函数有意义，必须 3x－1>0， 3x－1≠1.
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一、对数函数的概念 由函数 y＝ax(a>0，a≠1)，把 x 看成 y 的函数，则这个函数叫 作对数函数，习惯上记作 y＝logax(a>0，a≠1)，它的定义域是(0， ＋∞)． 注意：从函数定义去理解． (1)根据对数式 x＝logay(a>0，a≠1)，对于 y 在正实数集内的 每一个确定的值， 在实数集 R 内都有唯一确定的 x 值和它对应． 根 据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系．其 中 y 是自变量，x 是因变量．函数 x＝logay(a>0，a≠1，y>0)叫作 对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集 R.
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求下列函数的定义域： (1)y＝log2(x2－4x－5)； (2)y＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝log(3x－1) 2x＋3 . x－1
第三章 ·§5 ·第1、2课时
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第三章 ·§5 ·第1、2课时
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(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义 域． (5)对于任意一个函数 y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当 确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数． 三、求反函数的步骤 由反函数的概念可以得出求反函数 y＝f－1(x)的步骤如下： ①由 y＝f(x)反解得出 x＝φ(y)； ②求出 y＝f(x)的值域，即 y＝f 1(x)的定义域； ③将 x＝φ(y)改写成 y＝f－1(x)，并注明其定义域．
对数函数的概念 对数函数 y＝log2x 的图像和性质
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学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
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知能目标解读
1．掌握对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关 系． 2．了解反函数的概念，会求已知函数的反函数．
第三章 ·§5 ·第1、2课时
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[方法总结]
(1)考查复合函数值域的求法，先求定义域，
再确定真数的范围，最后根据对数运算并求出值域．(2)关键 是真数的范围，特别注意的是隐含的自变量的取值范围．