南昌市正大学校届高三复习《平面向量》单元测试题doc

南昌市正大学校2010届高三复习单元测试题
《平面向量》
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1、如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b
解析：由单位向量的定义即得1==a b ，故选（D ）．
2、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
解析：由于AC AB AD =+，∴A C A B A D -=
，即B C A D =，∴线段BC 与线段AD 平行且相等，∴ABCD 为平行四边形，选（A ）．
3、已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =， 则++a b c 等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C)2 (D)22 解析：由于2++=a b c c ∴222++==a b c c ，∴选（D ）．
4、设a 、b 、c 是非零向量，则下列命题中正确．．
是 （ ） A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B ．a b a b -≤+
C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =
D ．若//,//a b a c ，则//b c
5、若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ） (A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1） 解析：估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B ）、（D ），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A ），选（C ）．
6、如右图，已知CA a =，CB b =，2AD DB =，用a 、b 表示CD 为（B ）
A ．5233
CD a b =- B ．1233CD a b =+ C ．CD ＝b a 3132+ D ．CD ＝b a 3
121+ 7、已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=
⋅b a ，则b =（ ） A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44
） D ．（1,0） 8、已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|
=12 , 则△ABC 为 (D ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
9、已知下列命题中：
A B C D a b
B
S
N
M
A
O （1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，
（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a
（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（C ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
111(2)322
OP OA OB OC =++，则点P 一定为三角形ABC 的( B ) A ．AB 边上中线的中点 B ．AB 边上中线的三等分点（非重心）
C ．重心
D ．AB 边的中点
11、已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32
OA OB OP -=，则 ( ) (A) 点P 在线段AB 上 (B) 点P 在线段AB 的反向延长线上
(C) 点P 在线段AB 的延长线上 (D) 点P 不在直线AB 上
解析：由于23OP OA OB =-，∴22OP OA OA OB -=-，即2A P B A =，
∴12
AP BA =，则点P 在线段AB 的反向延长线上，选（B ）． 12、已知D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，
CA =b ，AB =c ，则①EF =
1122-c b ，②BE =12+a b ，③CF =1122-+a b ，④0A D B E C F ++
=中正确的等式的个数为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解析：∵12EF CB ==2-a ，又0++=a b c ，∴EF 11222=-=+a c b ，即①是错误的； 由于12BE BC CE BC CA =+=+12=+a b ，即②是正确的；同理CF =12
+b c ，而0++=a b c ，则=--c a b ，∴CF =1122-+a b ,即③是正确的；同理AD =12+c a ，∴AD BE CF ++3()02
=++=a b c ；即④是正确的．选（C ）． 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13、已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为 ． 解析：设a 与b 的夹角为α，则向量a 在b 方向上的投影为a cos α⋅=⋅=a b b 71313
． 14、已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则实数k 的值为 ．
解析：向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则（+a k )⋅b (-a k )0=b ,∴2=a 2k 2b , 而229==a a , 2216==b b ,∴34=±k ． 15、已知OA =a ，OB =b ，点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量MN 用a 、b 表示为 ． 解析：由于A 为SM 中点，B 为SN 中点，∴1()2
OA OS OM =+，
1()2OB OS ON =+，两式相减得1()2
OB OA ON OM -=-，∴2()MN OB OA =-，∴MN =2b 2-a ．
也可直接根据中位线定理2MN AB ==2b 2-a ．
16、已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 ．
解析：若a 与b 的夹角为直角，则0⋅=a b ，即(2)(21)(3)(2)0m m m m -+++-=,
∴m =43
-或2； 若向量a 与b 的夹角为钝角，则0⋅<a b ，且a 与b 不共线，则(2)(21)(3)(2)0m m m m -+++-<，且(2)(2)(3)(21)0m m m m ---++≠， 解得4551132m --<<或551122
m -<<． 三、解答题:本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、设两个非零向量1e 和2e 不共线.
(1) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与
1e -2e 垂直？并说明理由.
证明：（1） AD =AB +BC +CD =（1e +2e ）+（128e +2e ）+（133e -2e ）
=6（1e +2e ）=6AB
∴ //AD AB 且AD 与AB 有共同起点
∴ A 、B 、D 三点共线
（2）假设存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直，则
（m 1e 2e +）⋅（1e -2e ）=0
∴22
1122(1)0me m e e e +-⋅-= ||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60 ∴ 22114e e ==，22229e e ==，1212cos 23cos603e e e e θ⋅==⨯⨯= ∴ 43(1)90m m +--= ∴ 6m =
故存在实数6m =，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直．
18、设i ,j 分别是直角坐标系x 轴,y 轴方向上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且2OA i m j =-+，OB ni j =+，5OC i j =-，OA OB ⊥，求实数m,n 的值。

解：因为A ，B ，C 三点在同一直线上，所以AB AC λ=, 而(2)(1)AB OB OA n i m j =-=++-，7(1)AC OC OA i m j =-=+--
所以(2)(1)n i m j ++-=7(1)i m j λλ+--
所以271(1)n m m λλ+=⎧⎨-=--⎩
，消去λ得，（n+2）(m+1)=7m-7 (1)又因为OA OB ⊥，所以（2i m j -+）⋅（ni j +）＝0，即22
2(2)0ni mn i j m j -+-⋅+=
因为i ,j 分别是直角坐标系x 轴,y 轴方向上的单位向量，所以|i |=|j |=1，i ⋅j ＝0，
所以 -2n+m=0
(2)解（1）（2）得332
m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或63m n =⎧⎨=⎩ 19、已知(2,1)OP =，(1,7)OA =，(5,1)OB =，点O 为坐标原点，点C 是直线OP 上一点，求CA CB ⋅的最小值及取得最小值时cos ACB ∠的值．
解：由于点C 是直线OP 上一点，设点C (2,)m m ，
∴(12,7)CA m m =--,(52,1)CB m m =--,CA CB ⋅=2
5(2)8m --，
∴2m =时，CA CB ⋅的最小值为8-；
而2m =时，(3,5)CA =-，(1,1)CB =-，417cos 17CA CB
ACB CA CB ⋅-∠==． 20、已知锐角ABC 的外接圆的圆心为O ，M 为BC 边上的中点，由顶点A 作AG ⊥BC 并在AG
上取一点H ，使2A H O M =又,H M 在直线BC 的同一侧，且,,OA a OB b OC c ===。

⑴用,,a b c →c 表示−→−OM 与−→−OH 。

⑵证明BH AC ⊥
解：（1）M 为BC 边上的中点，111,222BM BC c b −−→−−→−−→−−→==- 1111,2222OM OB BM b c b c b −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→∴=+=+-=+ 2, ,AH OM b c OH OA AH a b c −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→==+∴=+=++ （2）22
22
, ()(),
||||,0,.BH BA AH OA OB AH a c AC OC OA c a
BH AC a c c a c a OA OB OC r c a c a BH AC −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=+=-+=+=-=-∴=+-=-===∴=-=⊥即
21、设两个向量12,e e ，满足12121,1,,e e e e ==满足向量1212,a ke e b e ke =+=-
（1）若3a b =，求1e 与2e 的数量积用k 表示的解析式()f k ；
（2）若1e 与2e 得夹角为600，求()f k 及相应的k 值；
（3）若a 与b 的平行，求实数k 的值。

解：222222212121122122
221212(1)()3(),2363182,()(0).4ke e e ke k e ke e e ke e k e k ke e k e e f k k k
+=-++=-++=+∴==≠
(2)20121211160()242
k e e e e f k k +===与的夹角为，则，，k=1； 21212122212,()()0,0;1()0,0, 1.4a b ke e e ke k e e k e e f k k k k ⊥+-==+==≠∴==±(3)若则（1-）1-
O B C A M G
H
Q P A C B 22、已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， （Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值．
解：（Ⅰ）由于()()()BP CQ AP CB AP AB AQ AC AP AB AC ⋅-⋅=-⋅--⋅-， 而AQ AP =-，
则2()()()BP CQ AP CB AP AB AP AC AP AB AC AP AB AC ⋅-⋅=-⋅---⋅-=-+⋅ ∵cos 2AB AC AB AC ABC ⋅=∠=， 221AP AP ==
∴21BP CQ AP CB AP AB AC ⋅-⋅=-+⋅=，即BP CQ AP CB ⋅-⋅的值不会随点P 的变化而变化； （Ⅱ）由于1BP CQ AP CB ⋅-⋅=，∴1BP CQ AP CB ⋅=+⋅， ∵cos ,AP CB AP CB AP CB ⋅=<>
∴2AP CB AP CB ⋅≤=（等号当且仅当AP 与CB 同向时成立），
∴BP CQ ⋅的最大值为3．。