实验二 卷积及微分方程求解

实验二 卷积及微分、差分方程的求解
一、实验目的
1．学习利用Matlab 工程软件实现系统时域输入—输出分析法
2．观察和掌握各种常用信号的波形及其卷积后的结果。

3．利用Matlab 实现微分、差分方程的求解。

二、原理说明
在连续线性时不变因果（LTI ）系统的时域分析中，我们可以通过经典求解微分方程的方法，同样在离散线性时不变因果（LTI ）系统的时域分析中我们也可以利用经典的差分方程求解法。

这两种方法都是通过求解方程的齐次解和特解得到的，无论哪种方法都需要经过精确、繁琐的数学计算，它们在高等数学课中都有详细介绍，这里我们不再赘述。

对于线性系统的零状态响应r f (t)，我们定义为在初始状态为零、系统只在激励信号e(t)作用下所产生的输出，若该系统的单位冲激响应为h(t)[系统在单位冲激信号作用下的零状态响应]，则系统的
⎰∞--∙=*=t
f d t h e t h t e t r τττ)()()()()( 引入Matlab 算法以后，我们可以利用有限的几个函数就可以将方程的输入—输出关系求出，并且以图形的方式表达，从而方便、直接地观察系统的时域特性。

三、预习要求
1．所用函数
（1）单位阶跃信号：Heaviside(t)；功能：产生单位阶跃信号。

（2）门函数：rectpuls(t);功能：产生门函数。

（3）函数square
功能：产生周期为2幅值为1的方波信号，调用格式：x=square(t) x=square(t,duty)，其中，t 为时间向量duty 为正幅值部分占周期的百分比。

（4）sawtooth ：
功能：产生锯齿波或三角波；
调用格式：x=sawtooth(t) x=sawtooth(t,width)；
sawtooth(t)用于产生周期为2π，最大幅度为1，最小幅度为-1的周期性三角波（锯齿波），其中，width 参数为0和1之间的数，表示最大幅度出现的位置。

Width=0.5时，产生标准正三角波。

（5）lsim 能对由下列形式的微分方程求解
m m M m m k k N
k k dt t x d b dt t y d a )()(00∑∑=== 注意，系数a k 和b m 必须被存入MA TLAB 向量中，并且在序号k 和m 上以递增的次序存入。

（6）函数plot
用于绘制二维x-y坐标图形，其调用格式为：plot(x,y)。

（7）函数subplot
当需要在同一个图形中显示不同坐标刻度的两个图形时，可以采用将一个图形分隔为几个子窗口的方法来进行，调用格式为：subplot(m,n,k)
其中，m和n分别表示图形窗口将分隔成m行n列的子窗口，k表示将第个子窗口作为当前的操作窗口。

（8）函数conv
该函数用来求两个函数f1和f2的卷积，调用格式为：conv(f1,f2)
2．线性时不变因果系统的微分方程求解方法；
3．卷积积分的求解方法及卷积的性质。

四、内容和步骤
1.模拟信号生成函数
1)单位阶跃信号
参考程序：
t=[-1:0.001:1];
y=heaviside(t)
plot(t,y);
grid on
axis([-1 1 -0.1 1.1]);
2)门函数
rectpuls(t ); %产生幅度为1，门宽为1，对称中心在t=0的门函数
rectpuls(t,w ); %产生幅度为1，门宽为w，对称中心在t=0的门函数
rectpuls(t,t0,w );%产生幅度为1，门宽为w，对称中心在t=t0的门函数参考程序：
y=rectpuls(t );
plot(t,y);
axis([-3,3,-0.1,1.1]);
grid on；
3)方波：产生幅值为1的周期性方波，周期为2s，脉冲宽度为1s，
参考程序：
x=[0:0.01:10];
y=square(pi*x);
plot(x,y);
axis([0,10,-2,2]);
title('square');xlabel('x');ylabel('y');
4)锯齿波：产生周期三角波（锯齿波）信号。

t=-5*pi:pi/10:5*pi;
x=sawtooth(t,0.5);
plot(t,x);axis([-16 16 -1.5 1.5]);
grid on;
2.微分方程求解
某系统的输入—输出描述方程为： )()(2
1)(t x t y dt t dy +-= 参考程序一：
t=[0:10]; %确定信号时间范围
x=ones(1,length(t)); %定义输入信号形式
b=1; %方程描述
a=[1 0.5];
s=lsim(b,a,x,t); %方程求解
plot(t,s,'r-') %系统输出信号波形绘制
3. 连续信号的卷积求解
参考程序二、
dt=0.5;
t1=1:0.001:2; % f1信号时间范围定义及信号定义
f1=ones(size(t1)).*(t1>1);
t2=2:0.001:4; % f2信号定义及时间范围确定
f2=ones(size(t2)).*(t2>2);
subplot(3,1,1),plot(t1,f1,'r-');axis([1,2,0,1.1/dt]);hold on % f1 和f2信号波形绘制
subplot(3,1,2),plot(t2,f2,'b-');axis([2,4,0,1.1/dt]);hold on
c=conv(f1,f2); % 求f1 和f2的卷积
t3=3:0.001:6; %卷积结果信号的波形绘制
subplot(3,1,3),plot(t3,c,'g-');
4. 离散信号的卷积
参考程序三：
x=[1,2,3,4];
y=[1,1,1,1];
z=conv(x,y);
subplot(3,1,1);
stem(0:length(x)-1,x);
ylabel('x[n]');
subplot(3,1,2);
stem(0:length(y)-1,y);
ylabel('y[n]');
subplot(3,1,3);
stem(0:length(z)-1,z);
ylabel('x[n]*y[n]');
xlabel('n');
五、仪器设备
计算机 一台
Matlab 软件一套
六、报告要求
1. 观察并记录步骤中各实验结果，用学过的方法计算。

2.写出实验参考程序中各部分的功能
3.写出实验体会。