对数值大小的比较_专题含答案

对数值大小的比较专题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 设a=2−3，b=log35，c=cos100∘，则（）
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
2. 已知a=ln3, b=(ln3)2 ,c=ln(ln3)，则a,b,c的大小关系是()
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
3. 设实数a=log32，b=log0.84，c=20.3，则( )
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
5. 已知a=lnπ
3,b=ln e
3
,c=e0.5，则（）
A.a>c>b
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>b>c
6. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)．若a=g(−log25)，b=g(223)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
7. 若a=log23，b=log31
2
，c=3−2，则下列结论正确的是( )
A.a<c<b
B.c<a<b
C.b<c<a
D.c<b<a
8. 已知函数f(x)=e|ln x|，记a=f(1)，b=f(2
3
),c=f(2)，则（）
A.b>a>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
9. 设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，其中e为自然对数的底数，则（）
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >a >b
D.c >b >a
10. 给出下列关系式：①1.72.5<1.73②0.7−2.5>0.7−3③1.70..5>0.93.1④log 1.72<log 1.73⑤log 0.7π<log 0.73⑥log 23>1.6−2.5其中正确的有________个．
11. 设a =212
，b =(12)2，c =log 21
2，d =log 12
2，现在a ，b ，c ，d 这四个数中，值最大
的是________．
12. 已知0<t <1，m =|log a (1+t)|、n =|log a (1−t)|，则m 与n 的大小关系为________．
13. 已知函数f(x)=log m (x +1)且m >1，a >b >c >0，则f(a)a
，
f(b)b
，
f(c)c
的大小关
系为________．
14. 将22
3，(2
3
)12，21
2，log 22
3
按从大到小的顺序排列应该是________．
15. 3−2，21.5，log 23三个数中最大的数是________． 16. 若a =(2
3)x ，b
=x 32
，c =log 23
x ，当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________．
17. 已知实数a ，b ，c 满足2a =log 12
a ，(12)
b =log 12
b ，(1
2)c =log 2c ，这三个数从小到大
排列为________．
18. 已知2a =log 12
a ，(12
)b =log 2b ，(12
)c =log 12
c ，则a ，b ，c 的大小关系是________．
19. log 78________log 89（填“>”或者“<”）．
20. 比较下列各组数中两个值的大小： （1）log 35.4，log 35.5；
（2）lg 0.02，1g3.12．
21. 已知0<m <n ，比较log m 7，log n 7的大小．
22. a =log 0.50.6，b =log √20.5，c =log √3√5 ，则( ) A.a <b <c B. b <a <c C. a <c <b D. c <a <b
23. 已知m =√93
×√3，n =log 316×log 89， （1）分别计算m ，n 的值；
（2）比较m ，n 的大小．
24. 已知A =log 20132014111+1
2014222+1
，B =log 2013
2014222+1
2014333+1
，试比较A 与B 的大小．
25. 已知a =0.6−1
3，b =sin 1
2，c =log 2.51.7，比较a 、b 、c 大小．
26. 比较下列各组中两个值的大小： （1）ln 0.3，ln 2；
（2）log a 3.1，log a 5.2(a >0，且a ≠1)；
（3）log 30.2，log 40.2；
（4）log 3π，log π3．
27. 当a >3
4且a ≠1时，判断log a (a +1)与log （a+1）a 的大小，并给出证明．
28. 比较大小：log 34与log 45．
29. 比较log 2425与log 2526的大小，并说明理由．
参考答案与试题解析
对数值大小的比较专题含答案
一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）
1.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．
【解答】
解：a=2−3∈(0,1),b=log35>1,c=cos100∘=−cos B0∘<0则b>a>c 故选：B．
2.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a=ln3>ln e=1,
b=(ln3)2>a,
ln1<c=ln(ln3)<ln e=1，
所以b>a>c.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：∵0<a=log
32<1，b=log
0.8
4<0，c=20.3>1，
∴c>a>b，
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
根据对数单调性可得a<0，根据特殊角的三角函数可得b的值，再判定c的范围，即可
判断三个数的大小． 【解答】
因为<ln 1＝0，＝，＝>，
所以a <b <c ． 5.
【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
结合自然对数是增函数的性质以及找中间量进行比较即可出结果． 【解答】
由题意易得：a =ln π
3∈(0,1) b =ln
e
1<ln 1=0,c=e 0..>1
c >a >b 故答案为：C
6.
【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
由奇函数f(x)在R 上是增函数，则g(x)=xf(x)偶函数，且在(0, +∞)单调递增，则a =g(−log 25.1)=g(log 25.1)，则2<−log 25.1<3，1<20.8<2，即可求得b <a <c 【解答】
解：奇函数f(x)在R 上是增函数，
当x >0，f(x)>f(0)=0，且f′(x)>0，
∴ g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，
∴ g(x)在(0, +∞)单调递增，且g(x)=xf(x)偶函数， ∴ a =g(−log 25)=g(log 25)， 则2<log 25<3，1<22
3<2， 由g(x)在(0, +∞)单调递增，
则g(223
)<g(log 25)=g(−log 25)<g(3)， ∴ b <a <c . 故选C ． 7.
【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为log 23>1，log 31
2<0，0<3−2<1，
所以b <c <a . 故选C . 8.
【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解： f (x )={x,x ≥1,
1x
,0<x <1,
a =f (1)=1 ，
b =f (23)=3
2 ，c =f (2)=2，
所以c >b >a ，
故选C ． 9.
【答案】 B
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
由lg e >0，可得lg e ＝lg ，即可比较出a 与c 的大小关系．作差c −b ＝
lg e −(lg e)2＝lg e >lg e ，即可得出大小关系．
【解答】
∵ lg e >0，∴ lg e ＝lg ，∴ a >c ．
又c −b ＝
lg e −(lg e)2＝
lg e ＝lg e >
lg e ＝0， ∴ c >b ． ∴ a >c >b ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 10.
【答案】 5
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性求解． 【解答】
解：：①1.72.5<1.73，由y=1.7x是增函数，知①正确；
②0.7−2.5>0.7−3，由y=0.7x是减函数，知②错误；
③1.70.5>1.70=1，0.93.1<0.90=1，故1.70..5>0.93.1，即③正确；
④log1.72<log1.73，由y=log1.7x是增函数，知④正确；
⑤log0.7π<log0.73，由y=log0.7x是减函数，知⑤正确；
⑥log23>log22=1，1.6−2.5<1.60=1，故log23>1.6−2.5，即⑥正确．故答案为：5．
11.
【答案】
a
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：∵a=21
2>1，b=(
1
2
)2<1，c=log
2
1
2
<0，d=log1
2
2<0，
∴a，b，c，d这四个数中最大的是a．
故答案为：a．
12.
【答案】
m<n
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
对底数a分当a>1时及0<a<1时两类讨论；利用对数函数的单调性判断出绝对值内部对数的符号，去掉绝对值；利用作差判断差的符号，比较出m，n的大小．
【解答】
解：∵0<t<1
∴1+t>1，0<1−t<1
当a>1时，m=log
a (1+t)，n=−log
a
(1−t)，
∴m−n=log
a (1−t2)<0，
∴m<n
当0<a<1时，m=−log
a (1+t)，n=log
a
(1−t)，
∴n−m=log
a (1−t2)>0
∴m<n
总之m<n
故答案为m<n 13.
【答案】
f(a) a <
f(b)
b
<
f(c)
c
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
由题意f(x)
x
可以转化为f(x)上的点与原点连线的斜率，由此利用数形结合思想能比较
f(a)a
，
f(b)b
，
f(c)c
的大小关系．
【解答】
解：由题意
f(x)x
可以转化为f(x)上的点与原点连线的斜率，
如右图，
根据函数f(x)=log m (x +1)的图象， 设A （a, f(a)），B （b, f(b)），C （c, f(c)）， 观察图象知k OA <k OB <k OC ， ∴
f(a)a
<
f(b)b
<
f(c)c
． 故答案为：f(a)a
<
f(b)b
<
f(c)c
．
14. 【答案】
223>212>(23)12>log 223
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
先根据数的正负比较大小，发现对数是负数，另三个是正数，可分别看做底数相同的
指数函数y =2x
和指数相同的幂函数y =x 12
对应的函数值，根据单调性比较大小． 【解答】
解：∵ log 22
3<log 21<0，,223
>0，(2
3)12>0，21
2>0∴ log 22
3最小． 又∵ y =2x
在R 上是增函数，2
3>1
2∴ 223
>212
∵ y =x 1
2在(0, +∞)上为增函数，2>2
3
∴ 21
2>(2
3
)12∴ 223>21
2>(2
3
)1
2>log 22
3
故答案为：223>21
2>(2
3
)1
2>log 22
3
15.
【答案】 21.5
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
由于3−2=1
9，21.5>2，log 23<2，即可判断 【解答】
3−2=1
9
，21.5>2，log23<2，
∴3−2，21.5，log
2
3三个数中最大的数是21.5，
16.
【答案】
c<a<b
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
在同一坐标内作出三个函数的图象，然后根据条件，在x>1右侧任作一条直线，则看三个交点的纵坐标，即三个函数相应函数值．
【解答】
解：在同一坐标内作出三个函数的图象，
如图所示：c<a<b
故答案为：c<a<b
17.
【答案】
a<b<c
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
由已知中实数a，b，c满足2a=log1
2a，(1
2
)b=log1
2
b，(1
2
)c=log
2
c，根据方程的根与函
数零点的关系，我们可以用图象法判断a，b，c的位置，在同一坐标系中画出函数y=
2X与y=log1
2x及y=1
2
X
与y=log
2
x的图象，借助图象的直观性即可得到这三个数从小
到大排列次序．【解答】
解：∵实数a，b，c满足2a=log1
2a，(1
2
)b=log1
2
b，(1
2
)c=log
2
c，
故a为函数y=2X与y=log1
2
x图象交点的横坐标；
b为函数y=1
2X
与y=log1
2
x图象交点的横坐标；
c为函数y=1
2X
与y=log
2
x图象交点的横坐标；
在同一坐标系中画出上述函数的图象如下图所示：
由图可知a <b <c 故答案为：a <b <c 18.
【答案】 a <c <b 【考点】
对数值大小的比较 【解析】
由已知得a 是方程2x =log 12
x 的解，是y =2x 与y =log 12
x 交点的横坐标，b 是方程(12
)x =
log 12
x 的解，是y =(12
)x 与y =log 12
x 交点的横坐标，c 是方程(12
)x =log 2x 的解，是y =
(1
2
)x 与y =log 2x 交点的横坐标，在同一坐标系内画出涉及的函数图象，由数形结合思
想能求出结果． 【解答】
解：∵ 2a =log 12
a ，(12)
b =log 2b ，(1
2)c =log 12
c ，
∴ a 是方程2x =log 12
x 的解，是y =2x 与y =log 12
x 交点的横坐标，
b 是方程(12)x =log 12
x 的解，是y =(1
2)x 与y =log 12
x 交点的横坐标，
c 是方程(12
)x =log 2x 的解，是y =(1
2
)x 与y =log 2x 交点的横坐标，
在同一坐标系内画出涉及的函数图象： 由已知得a <b <c ． 故答案：a <c <b ． 19.
【答案】 >
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
利用“作差法”、基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出． 【解答】 解：∵
log 7
8−log 8
9=
lg 28−lg 7lg 9lg 7lg 8，
又lg 7lg 9<(
lg 7+lg 92
)2
=(lg 632
)2
<(
lg 642
)2
=lg 28，
lg 7>0，lg 9>0， ∴
lg 28−lg 7lg 9lg 7lg 8
>0，
∴ log 78>log 89． 故答案为：>．
三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）
20.
【答案】
解：因为y=log
a
x，a>1时函数是增函数，
所以(1)log
35.4<log
3
5.5；
（2）lg0.02<1g3.12．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
直接利用对数函数的单调性写出大小即可．【解答】
解：因为y=log
a
x，a>1时函数是增函数，
所以(1)log
35.4<log
3
5.5；
（2）lg0.02<1g3.12．21.
【答案】
解：当0<m<n<1时，log
m 7>log
n
7，
当m>n>1时，log
m 7>log
n
7，
当0<m<1，n>1时，log
m 7<0，log
n
7>0，∴log
m
7<log
n
7，
当m=1或n=1时，无法比较．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
根据对数函数的性质可知当底数小于1或大于时，取相同的自变量大于1时，底数越大对数值越小，
【解答】
解：当0<m<n<1时，log
m 7>log
n
7，
当m>n>1时，log
m 7>log
n
7，
当0<m<1，n>1时，log
m 7<0，log
n
7>0，∴log
m
7<log
n
7，
当m=1或n=1时，无法比较．
22.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
（1）利用对数函数的单调性进行解题即可. 【解答】
解：已知0<log
0.50.6<1，log
√2
0.5<log
√2
1=0，log
√3
√5>log
√3
√3=1.
整理得b<0<a<1<c，
故选B.
23.
【答案】
解：（1）m=√9
3×√3=323+12=376…
n=log
316×log
8
9=4lg2
lg3
×2lg3
3lg2
=8
3
．…
（2）m=37
6>31=3…
而n<3．
所以m>n．…
【考点】
对数的运算性质
对数值大小的比较
【解析】
（1）直接利用根式的运算法则求出m，对数的运算法则求出n．（2）直接利用中间量3，即可比较m，n的大小．
【解答】
解：（1）m=√9
3×√3=323+12=376…
n=log
316×log
8
9=4lg2
lg3
×2lg3
3lg2
=8
3
．…
（2）m=37
6>31=3…
而n<3．
所以m>n．…
24.
【答案】
解：∵A=log
20132014111+1
2014222+1
，B=log
2013
2014222+1
2014333+1
，
∴A−B=log
20132014111+1
2014222+1
−log
2013
2014222+1
2014333+1
=log
2013(
2014111+1
2014222+1
×
2014333+1
2014222+1
)
=log
20132014444+2014333+2014111+1
2014444+2×2014222+1
>log
2013
1=0．
∴A>B．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用作差相减法和对数运算性质求解．【解答】
解：∵A=log
20132014111+1
2014222+1
，B=log
2013
2014222+1
2014333+1
，
∴A−B=log
20132014111+1
2014222+1
−log
2013
2014222+1
2014333+1
=log
2013(
2014111+1
2014222+1
×
2014333+1
2014222+1
)
=log
20132014444+2014333+2014111+1
2014444+2×2014222+1
>log
2013
1=0．
25. 【答案】
解：∵ a =0.6−1
3>0.60=1， 0<b =sin 1
2
<sin π
6
=1
2
，
12
=log 2.5√2.5<c =log 2.51.7<log 2.52.5=1，
∴ a >c >b ． 【考点】
对数值大小的比较 【解析】
利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性求解． 【解答】 解：∵ a =0.6
−
13
>0.60=1，
0<b =sin 1
2<sin π
6=1
2，
12
=log 2.5√2.5<c =log 2.51.7<log 2.52.5=1，
∴ a >c >b ． 26.
【答案】 解：（1）因为函数y =ln x 是增函数，且0.3<2， 所以ln 0.3<ln 2．
（2）当a >1时，函数y =log a x 在(0, +∞)上是增函数， 又3.1<5.2，所以log a 3.1<log a 5.2，
当0<a <1时，函数y =log a x 在(0, +∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以log a 3.1>log a 5.2． （3）因为0>log 0.23>log 0.24， 所以1
log
0.2
3
<1
log 0.24
，即log 30.2<log 40.2．
（4）因为函数y =log 3x 是增函数，且π>3， 所以log 3π>log 33=1， 同理，1=log ππ>log π3， 即log 3π>log π3．
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
（1）构造对数函数y =ln x ，利用函数的单调性判断； （2）需对底数a 分类讨论；
（3）由于两个对数的底数不同，故不能直接比较大小，可对这两个对数分别取倒数，再根据同底对数函数的单调性比较大小； （4）构造对数函数，并借助中间量判断．
解：（1）因为函数y=ln x是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3<ln2．
（2）当a>1时，函数y=log
a
x在(0, +∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以log
a 3.1<log
a
5.2，
当0<a<1时，函数y=log
a
x在(0, +∞)上是减函数，
又3.1<5.2，所以log
a 3.1>log
a
5.2．
（3）因为0>log
0.23>log
0.2
4，
所以1
log0.23<1
log0.24
，即log
3
0.2<log
4
0.2．
（4）因为函数y=log
3
x是增函数，且π>3，
所以log
3π>log
3
3=1，
同理，1=log
ππ>log
π
3，
即log
3π>log
π
3．
27.
【答案】
解：当a>1时，log
a (a+1)>log
（a+1）
a；
当3
4<a<1时，log
a
(a+1)<log
（a+1）
a．
证明如下：log
a (a+1)−log
(a+1)
a=lg(a+1)
lg a
−lg a
lg(a+1)
=lg2(a+1)−lg2a
lg a lg(a+1)
，
(1)当a>1时，lg a>0，lg(a+1)>0，lg(a+1)>lg a．
∴log
a (a+1)−log
（a+1）
a>0，log
a
(a+1)>log
（a+1）
a；
(2)当3
4<a<1时，log
a
(a+1)−log
(a+1)
a=lg2(a+1)−lg2a
lg a lg(a+1)
=(lg(a+1)−lg a)(lg(a+1)+lg a)
lg a lg(a+1)
=
(lg(a+1)−lg a)lg(a2+a)
lg a lg(a+1)
，
∵3
4
<a<1，∴lg a<0，lg(a+1)>0，lg(a2+a)>lg1=0，
∴(lg(a+1)−lg a)lg(a2+a)
lg a lg(a+1)
<0，
∴log
a (a+1)<log
（a+1）
a log
（a+1）
a．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
作差对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】
解：当a>1时，log
a (a+1)>log
（a+1）
a；
当3
4<a<1时，log
a
(a+1)<log
（a+1）
a．
证明如下：log
a (a+1)−log
(a+1)
a=lg(a+1)
lg a
−lg a
lg(a+1)
=lg2(a+1)−lg2a
lg a lg(a+1)
，
(1)当a>1时，lg a>0，lg(a+1)>0，lg(a+1)>lg a．
∴log
a (a+1)−log
（a+1）
a>0，log
a
(a+1)>log
（a+1）
a；
(2)当3
4<a<1时，log
a
(a+1)−log
(a+1)
a=lg2(a+1)−lg2a
lg a lg(a+1)
=(lg(a+1)−lg a)(lg(a+1)+lg a)
lg a lg(a+1)
=
(lg(a+1)−lg a)lg(a2+a)
lg a lg(a+1)
，
∵3
4
<a<1，∴lg a<0，lg(a+1)>0，lg(a2+a)>lg1=0，
∴(lg(a+1)−lg a)lg(a2+a)
lg a lg(a+1)
<0，
∴log
a (a+1)<log
（a+1）
a log
（a+1）
a．
28.
【答案】
解：6
5−log
3
4=6lg3−5lg4
5lg3
=lg
729
1024
5lg3
<0，∴6
5
<log
3
4．
6 5−log
4
5=6lg4−5lg5
5lg4
=lg
4096
3125
5lg4
>0，∴6
5
>log
4
5．
∴log
34>log
4
5．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
找出中间量，利用作差法判断大小即可．【解答】
解：6
5−log
3
4=6lg3−5lg4
5lg3
=lg
729
1024
5lg3
<0，∴6
5
<log
3
4．
6 5−log
4
5=6lg4−5lg5
5lg4
=lg
4096
3125
5lg4
>0，∴6
5
>log
4
5．
∴log
34>log
4
5．
29.
【答案】
解：∵lg625>lg624，
∴4(lg25)2=(lg625)2>(lg624)2．
(lg624)2
4=(lg24+lg26
2
)2>lg24lg26．
∴(lg25)2>lg24lg26，
∴得lg25
lg24>lg26
lg25
，
∴log
2425>log
25
26．
【考点】
基本不等式
对数值大小的比较
【解析】
通过lg625>lg624，利用对数的性质以及基本不等式推出结果即可．【解答】
解：∵lg625>lg624，
∴4(lg25)2=(lg625)2>(lg624)2．
(lg624)2
4=(lg24+lg26
2
)2>lg24lg26．
∴(lg25)2>lg24lg26，
∴得lg25
lg24>lg26
lg25
，
∴log
2425>log
25
26．。