2021-2022年高三第二次月考 数学试题

2021年高三第二次月考数学试题
一．填空题（每小题4分，共52分）：
1.已知，且是第二象限角，则＝
2.已知平面向量的夹角为60°，，，则
3. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为
4.已知函数是函数的反函数，则
5.直线和直线具有相同的法向量.则
6.已知数列是等差数列，，，则过点和点的直线的倾斜角是 .（用反三角函数表示结果）
7.圆的一条弦的中点为，这条弦所在的直线方程为______
8.在等比数列中，，且，则的最小值为
9.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于_______________
10.若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为_________________
11.已知函数
[]
()
2011
sin,0,1,
()
log,1,,
x x
f x
x x
π∈
⎧
=⎨
∈+∞
⎩
若满足，（、、互不相等），则的取值范围是
.
12. 数列满足性质“对任意正整数，都成立”且，，则的最小值为
13. 已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是
二.选择题（每小题4分，共16分）：
14. 若直线与直线的夹角为，则实数等于()
A.；
B.；
C.；
D.或
15.已知向量，，向量，则向量与的夹角为()
A. ；
B. ；
C. ；
D. .
16.已知直线的方程是, 的方程是(，则下
列各示意图中，正确的是()
17.函数则不等式的解集是()
A. B.
C. D.
三．解答题
18.（本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知向量且与向量夹角为，其中A，B，C是的内角。

（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围。

19. （本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知向量，且.点
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点且以为方向向量的一条直线与轨迹方程相交于点两点，，所在的直线的斜率分别是、，求的值；
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
已知函数
42
()(1)
1
x
f x x x R
x
-
=≠-∈
+
，，数列满足，．
(1)若数列是常数列，求a的值；
(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求．
21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。

为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。

建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。

（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
已知函数21()log (01)1
a m mx
f x a a x --=>≠+，是奇函数，
定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．
(1)求实数m 的值，并写出区间D ；
(2)若底数，试判断函数在定义域D 内的单调性，并证明； (3)当(，a 是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．
23. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知数列满足前项和为,11()
2()n n n
pa n n a a n n ++-⎧=⎨
--⎩为奇数为偶数.
（1）若数列满足,试求数列前3项的和；
（2）（理）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由； （文）若数列满足，，求证：是为等比数列； （3）当时，对任意,不等式都成立，求的取值范围.
参考答案
一．填空题（每小题4分，共52分）：
1.已知，且是第二象限角，则＝
2.已知平面向量，的夹角为60°，，，则
3. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为 32
4.已知函数是函数的反函数，则
5.直线和直线具有相同的法向量.则
6.已知数列是等差数列，，，则过点和点的直线的倾斜角是（用反三角函数表示结果）
7.圆的一条弦的中点为，这条弦所在的直线方程为 8.在等比数列中，，且，则的最小值为
9.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于 10.若直线与圆相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为
11.已知函数[]()2011
sin ,0,1,()log ,1,,x x f x x x π∈⎧=⎨∈+∞⎩若满足，（、、互不相等），则的取值范围是
12. 数列满足性质“对任意正整数，都成立”且，，则的最小值为
28
13. 已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 36
二.选择题（每小题4分，共16分）：
14. 若直线与直线的夹角为，则实数等于 ( D )
A.；
B.；
C.；
D.或
15.已知向量，，向量，则向量与的夹角为 ( D )
A. ；
B. ；
C. ；
D. . 16.已知直线的方程是, 的方程是(，则下
列各示意图中，正确的是 ( D )
17.函数则不等式的解集是 ( C )
A. B.
C. D. 三．解答题
18.（本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知向量且与向量夹角为，其中A ，B ，C 是的内角。

（1）求角B 的大小； （2）求的取值范围。

解：（1）向量所成角为，
2
12cos
,2
1
cos 222sin 2=∴=
-∴
B B
B 又，即
（2）由（1）可得
)3
sin(cos 23sin 21)3
sin(
sin sin sin ππ
+=+=
-+=+∴A A A A A C A 3
23
3
,3
0ππ
π
π
<
+
<∴
<
<A A ⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴1,23sin sin ,1,23)3sin(C A A π
19. （本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知，且。

点
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点且以为方向向量的一条直线与轨迹方程相交于点两点，，所在的直线的斜率分别是、，求的值； 解：（1）
（2）设直线的方程：
联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+12212
42
2x y y x 消去得：所以，
同法消去得：，所以
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 已知函数42
()(1)1
x f x x x R x -=
≠-∈+，，数列满足 ，． (1)若数列是常数列，求a 的值；
(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求． 解 (1)∵*1142
()()1
n n x f x a a a f a n N x +-=
==∈+，，（），数列是常数列， ∴，即，解得，或．
∴所求实数的值是1或2．
(2)∵*12
4()1
n n n a a b n N a -==
∈-，， ∴111142
2
212
22423131
11
n n n n n n n n n a a a a b b a a a a +++---+-====----+，，即．
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
于是1*222()()()333
n n
n b n N -=
=∈． 由即，解得*2
()2
3()2
()13
n n n a n N -=∈-．
∴．
21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。

为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。

建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。

（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值
解：（1）由题意，得在线段CD ：上，即，
又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，
所以 211
(10)(10)50,51022
z s t s s s s =⋅=-
=--+≤≤ 所以的取值范围是。

（2）由题意，得
所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st
∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=
+-∈⎢⎥⎣⎦
， 因为函数140000
(400)2MGK S z z
∆=
+-在单调递减 所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
已知函数21()log (01)1
a m mx
f x a a x --=>≠+，是奇函数，
定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．
(1)求实数m 的值，并写出区间D ；
(2)若底数，试判断函数在定义域D 内的单调性，并证明； (3)当(，a 是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值． 解 (1) ∵是奇函数， ∴对任意，有，即2121log log 011a
a m mx m mx
x x
---++=+-．
化简此式，得2
2
2
(1)(21)10m x m ---+=．恒成立，必有
，解得．
∴1()log (11)1a
x
f x D x
-==-+，，． (2) 当时，函数1()log (11)1a
x
f x D x
-==-+在，上是单调增函数． 理由：令 设且，则：
0)
1)(1()
(21111)()(2112221121>++-=+--+-=
-x x x x x x x x x u x u
∴在上单调递减， 于是，当时，函数1()log (11)1a
x
f x D x
-==-+在，上是单调增函数． (3) ∵ ， ∴． ∴依据(2)，当时，函数上是增函数， 即，解得．
23. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知数列满足前项和为,11()
2()
n n n pa n n a a n n ++-⎧=⎨
--⎩为奇数为偶数.
（1）若数列满足,试求数列前3项的和； （2）（理）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由； （文）若数列满足，，求证：是为等比数列；
（3）当时，对任意,不等式都成立，求的取值范围. 解：（1） （2）（理）当时,数列成等比数列； 当时,数列不为等比数列 理由如下:因为, 所以,
故当时,数列是首项为1,公比为等比数列； 当时,数列不成等比数列 （文）因为n p a c n n n 22112221+=
=+++()n n c n n a 2
124212-=+--= 所以 故当时,数列是首项为1,公比为等比数列；
（3）,所以成等差数列 当时,
因为()()()1225432112+++++++++=n n n a a a a a a a S
21112...n n S a b b b +=++++=()n 412842-----+
=()
又0441232<--=-++n S S n n 所以单调递减 当时，最大为 所以
]1,0()3,4[4
30
32
2 ⎩⎨⎧--∈⇒≤+>+x x x x x。