新教材人教A版数学课件第8章8-5-3平面与平面平行
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回顾本节知识,自我完成以下问题: (1)平面与平面平行的判定定理是什么?还有哪些方法可以判断 平面与平面平行? (2)平面与平面平行的性质定理是什么?平面与平面平行的性质 还有哪些? (3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化?
课 后 素养 落 实
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1.证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法.如同位角相等,两直线平 行;三角形中位线的性质等. (2)基本事实4. (3)线面平行的性质定理. (4)面面平行的性质定理.
2.证明直线与平面平行的方法 (1)线面平行的判定定理. (2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一 个平面.
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交,它们的交线 是什么位置关系?
知识点1 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行 ,
文字语言 那么这两个平面平行
图形语言
符号语言 a⊂β,b⊂β, a∩b=P ,a∥α,b∥α⇒β∥α 作 用 证明两个平面平行
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
[跟进训练] 1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA, BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND= PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
[证明] ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP. 又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, ∴NQ∥平面PBC. ∵四边形ABCD为平行四边形. ∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
平面与平面平行性质定理的条件有哪些?
[提示] 必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β; ②平面γ和α相交,即α∩γ=a; ③平面γ和β相交,即β∩γ=b.,以上三个条件缺一不可.
[解] 因为AC∩BD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面 PCD,
因为α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以 AB∥CD,所以APAC=BPDB,即96=8-BDBD,所以BD=254.
[证明] 连接AG交β于H,连接BH,FH,AE,CG.
因为β∥γ,平面ACG∩β=BH,平面ACG∩γ=CG, 所以BH∥CG.同理AE∥HF, 所以BACB=HAHG=FEGF, 所以BACB=FEGF.
类型3 平行关系的综合应用 【例3】 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面 ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面 交平面BDM于GH.
[跟进训练] 3.如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH.
求证:CD∥平面EFGH.
[证明] 由于四边形EFGH是平行四边形, ∴EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD, ∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD, 平面ACD∩平面BCD=CD,∴EF∥CD. 又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH, ∴CD∥平面EFGH.
线b⇒直线a∥直线b.
()
(2)平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β⇒a∥b.
()
[答案] (1)√ (2)×
4.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则 m,n的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
A [因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行 的性质定理可知m∥n.]
当堂达标·夯基础
1.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的是 ()
A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1E与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G A [根据面面平行的判定定理,可知A正确.]
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2.(多选题)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的 平面,则α∥β的一个充分条件是( )
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行 平面与平面平行
学习任务
核心素养
1.掌握空间平面与平面平行的判 1.通过平面与平面平行的判定定
定定理和性质定理,并能应用这 理和性质定理的学习,培养直观
两个定理解决问题.(重点)
想象的核心素养.
2.平面与平面平行的判定定理和 2.借助平行关系的综合问题,提
知识点2 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那
文字语言 么两条交线平行
图形语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 作用 证明两条直线 平行
3.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面 β∩平面γ=直
求证:(1)E,F,B,D四点共面; (2)平面MAN∥平面EFDB.
[解] (1)连接B1D1,
∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点, ∴EF∥B1D1. 而BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E,F,B,D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB. ∴MN∥平面EFDB. 连接MF.∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点, ∴MF∥A1D1,MF=A1D1. ∴MF∥AD且MF=AD.
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直
线和这个平面平行.
()
(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个
平面平行.
()
(3)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面
α∥平面β.
()
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列结论正确的是( ) A.平面ABCD∥平面ABB′A′ B.平面ABCD∥平面ADD′A′ C.平面ABCD∥平面CDD′C′ D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′ D [在长方体ABCD-A′B′C′D′中,上底面ABCD与下底面 A′B′C′D′平行.]
又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, ∴MQ∥平面PBC. 又∵MQ∩NQ=Q,MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ, ∴平面MNQ∥平面PBC.
类型2 平面与平面平行的性质 【例2】 如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉ β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的 直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9, PD=8,求BD的长.
CD.]
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3.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线 中( )
A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线
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D [由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平 行,故D项正确.]
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性质定理的应用.(难点)
升逻辑推理的核心素养.
情境导学·探新知
上海世界博览会的中国国家馆被永久保 留.中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中 华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神 与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平面的感觉.
问题:(1)展馆的每两层所在的平面平行,那么上层面上任一直 线状物体与下层地面有何位置关系?
∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE,DF⊂平面BDFE, ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN=M, ∴平面MAN∥平面EFDB.
平面与平面平行的判定方法 (1)定义法:两个平面没有公共点. (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交 直线分别平行,则α∥β. (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
将本例改为:若点P在平面α,β之间(如图所示),其他条件不 变,试求BD的长.
[解] 与本例同理,可证AB∥CD. 所以PPAC=PPDB,即63=BD8-8,所以BD=24.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[跟进训练] 2.已知三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A,B,C,直线b与这三 个平面依次交于点E,F,G.求证:BACB=FEGF.
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
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CD [对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α
与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A
求证:GH∥平面PAD.
[证明] 如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点, 又M是PC的中点, ∴PA∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM, ∴PA∥平面BMD,
又∵PA⊂平面PAHG, 平面PAHG∩平面BMD=GH, ∴PA∥GH. 又PA⊂平面PAD,GH⊄平面PAD, ∴GH∥平面PAD.
4.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交 A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H. 若 A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(填序 号)
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
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②⑤ [当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平 行时,四边形EFGH为梯形.]
5.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD= EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 A [由面面平行的性质定理易得.]
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 平面与平面平行的判定 【例1】 (对接教材P140例4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.
的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B的内容也是α∥β的一个
必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平
面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;对于选项
D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交
直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选
回顾本节知识,自我完成以下问题: (1)平面与平面平行的判定定理是什么?还有哪些方法可以判断 平面与平面平行? (2)平面与平面平行的性质定理是什么?平面与平面平行的性质 还有哪些? (3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化?
课 后 素养 落 实
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1.证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法.如同位角相等,两直线平 行;三角形中位线的性质等. (2)基本事实4. (3)线面平行的性质定理. (4)面面平行的性质定理.
2.证明直线与平面平行的方法 (1)线面平行的判定定理. (2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一 个平面.
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交,它们的交线 是什么位置关系?
知识点1 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行 ,
文字语言 那么这两个平面平行
图形语言
符号语言 a⊂β,b⊂β, a∩b=P ,a∥α,b∥α⇒β∥α 作 用 证明两个平面平行
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
[跟进训练] 1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA, BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND= PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
[证明] ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP. 又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, ∴NQ∥平面PBC. ∵四边形ABCD为平行四边形. ∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
平面与平面平行性质定理的条件有哪些?
[提示] 必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β; ②平面γ和α相交,即α∩γ=a; ③平面γ和β相交,即β∩γ=b.,以上三个条件缺一不可.
[解] 因为AC∩BD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面 PCD,
因为α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以 AB∥CD,所以APAC=BPDB,即96=8-BDBD,所以BD=254.
[证明] 连接AG交β于H,连接BH,FH,AE,CG.
因为β∥γ,平面ACG∩β=BH,平面ACG∩γ=CG, 所以BH∥CG.同理AE∥HF, 所以BACB=HAHG=FEGF, 所以BACB=FEGF.
类型3 平行关系的综合应用 【例3】 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面 ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面 交平面BDM于GH.
[跟进训练] 3.如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH.
求证:CD∥平面EFGH.
[证明] 由于四边形EFGH是平行四边形, ∴EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD, ∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD, 平面ACD∩平面BCD=CD,∴EF∥CD. 又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH, ∴CD∥平面EFGH.
线b⇒直线a∥直线b.
()
(2)平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β⇒a∥b.
()
[答案] (1)√ (2)×
4.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则 m,n的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
A [因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行 的性质定理可知m∥n.]
当堂达标·夯基础
1.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的是 ()
A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1E与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G A [根据面面平行的判定定理,可知A正确.]
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2.(多选题)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的 平面,则α∥β的一个充分条件是( )
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行 平面与平面平行
学习任务
核心素养
1.掌握空间平面与平面平行的判 1.通过平面与平面平行的判定定
定定理和性质定理,并能应用这 理和性质定理的学习,培养直观
两个定理解决问题.(重点)
想象的核心素养.
2.平面与平面平行的判定定理和 2.借助平行关系的综合问题,提
知识点2 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那
文字语言 么两条交线平行
图形语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 作用 证明两条直线 平行
3.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面 β∩平面γ=直
求证:(1)E,F,B,D四点共面; (2)平面MAN∥平面EFDB.
[解] (1)连接B1D1,
∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点, ∴EF∥B1D1. 而BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E,F,B,D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB. ∴MN∥平面EFDB. 连接MF.∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点, ∴MF∥A1D1,MF=A1D1. ∴MF∥AD且MF=AD.
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直
线和这个平面平行.
()
(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个
平面平行.
()
(3)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面
α∥平面β.
()
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列结论正确的是( ) A.平面ABCD∥平面ABB′A′ B.平面ABCD∥平面ADD′A′ C.平面ABCD∥平面CDD′C′ D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′ D [在长方体ABCD-A′B′C′D′中,上底面ABCD与下底面 A′B′C′D′平行.]
又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, ∴MQ∥平面PBC. 又∵MQ∩NQ=Q,MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ, ∴平面MNQ∥平面PBC.
类型2 平面与平面平行的性质 【例2】 如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉ β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的 直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9, PD=8,求BD的长.
CD.]
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3.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线 中( )
A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线
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D [由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平 行,故D项正确.]
1234
性质定理的应用.(难点)
升逻辑推理的核心素养.
情境导学·探新知
上海世界博览会的中国国家馆被永久保 留.中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中 华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神 与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平面的感觉.
问题:(1)展馆的每两层所在的平面平行,那么上层面上任一直 线状物体与下层地面有何位置关系?
∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE,DF⊂平面BDFE, ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN=M, ∴平面MAN∥平面EFDB.
平面与平面平行的判定方法 (1)定义法:两个平面没有公共点. (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交 直线分别平行,则α∥β. (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
将本例改为:若点P在平面α,β之间(如图所示),其他条件不 变,试求BD的长.
[解] 与本例同理,可证AB∥CD. 所以PPAC=PPDB,即63=BD8-8,所以BD=24.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[跟进训练] 2.已知三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A,B,C,直线b与这三 个平面依次交于点E,F,G.求证:BACB=FEGF.
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
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CD [对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α
与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A
求证:GH∥平面PAD.
[证明] 如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点, 又M是PC的中点, ∴PA∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM, ∴PA∥平面BMD,
又∵PA⊂平面PAHG, 平面PAHG∩平面BMD=GH, ∴PA∥GH. 又PA⊂平面PAD,GH⊄平面PAD, ∴GH∥平面PAD.
4.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交 A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H. 若 A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(填序 号)
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
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②⑤ [当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平 行时,四边形EFGH为梯形.]
5.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD= EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 A [由面面平行的性质定理易得.]
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 平面与平面平行的判定 【例1】 (对接教材P140例4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.
的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B的内容也是α∥β的一个
必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平
面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;对于选项
D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交
直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选