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湖北省襄阳市2011年中考数学试卷—解析版
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1、（2011•襄阳）﹣2的倒数是（）
A、﹣2
B、2
C、﹣
D、
考点：倒数。

专题：计算题。

分析：根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．解答：解：﹣2的倒数是﹣，
故选C．
点评：此题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2、（2011•襄阳）下列运算正确的是（）
A、a﹣2a=a
B、（﹣a2）3=﹣a6
C、x6÷x3=x2
D、（x+y）2=x2+y2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式。

专题：计算题。

分析：A选项中应该是﹣a，不对；B，幂指数的幂指数的乘法，正确；C中同底数幂的除法，底数不变指数相减；D中应为完全平方，错误．
解答：解：A，应该得﹣a，故本选项错误；
B，幂指数的幂，指数相乘，故本答案正确；
C，同底数幂的除法底数不变指数相减，故本选项错误；
D，应该是完全平方式，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了同底数幂的除法，A选项中应该是﹣a，B，幂指数的幂指数的乘法，C中同底数幂的除法，底数不变指数相减，故错误，D中应为完全平方，错误．本题比较简单．
3、（2011•襄阳）若x，y为实数，且|x+1|+=0，则（）2011的值是（）
A、0
B、1
C、﹣1
D、﹣2011
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；有理数的乘方。

专题：计算题；存在型。

分析：先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入（）2011进行计算即可．
解答：解：∵|x+1|+=0，
∴x+1=0，解得x=﹣1；y﹣1=0，解得y=1．
∴（）2011=（﹣1）2011=﹣1．
故选C．
点评：本题考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4、（2011•襄阳）如图，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是（）
A、40°
B、60°
C、80°
D、120°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。

专题：几何综合题。

分析：首先由平行线的性质得出∠1等于三角形CDE的外角，再由三角形的外角性质求出∠E．
解答：解：∵CD∥AB，
∴∠1=∠EDF=120°，
∴∠E=∠EDF﹣∠2=120°﹣80°=40°．
故选：A．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得出三角形CED 的外角．
5、（2011•襄阳）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）
A、B、C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。

专题：图表型。

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、（2011•襄阳）下列说法正确的是（）
A、（）0是无理数
B、是有理数
C、是无理数
D、是有理数
考点：实数。

专题：应用题。

分析：先对各选项进行化简，然后根据有理数和无理数的定义即可判断．
解答：解：A、（）0=1是有理数，故本选项错误，B、是无理数，故本选项错误，
C、=2是有理数，故本选项错误，
D、=﹣2是有理数，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了有理数和无理数的定义，比较简单．
7、（2011•襄阳）下列事件中，属于必然事件的是（）
A、抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上
B、打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C、到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
D、某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖
考点：随机事件。

分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答：解：A、不一定发生，是随机事件，故选项错误，B、不一定发生，是随机事件，故选项错误，C、是必然事件，故正确，D、不一定发生，是随机事件，故选项错误，
故选C．
点评：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
8、（2011•襄阳）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图2所示，则搭成该几何体的小立方块有（）
A、3块
B、4块
C、6块
D、9块
考点：由三视图判断几何体。

分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解答：解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，
后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．
故选B．
点评：此题主要考查了由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
9、（2011•襄阳）在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm．若⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是（）
A、外切
B、内切
C、相交
D、外离
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。

专题：数形结合。

分析：由∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系．
解答：解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5cm，
∵⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，
又∵1+4=5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用．注意外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
10、（2011•襄阳）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）
A、菱形
B、对角线互相垂直的四边形
C、矩形
D、对角线相等的四边形
考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定。

专题：证明题。

分析：根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即
可得到答案．
解答：
解：∵E F G H分别是边AD DC CB AB 的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵平行四边形EFGH是菱形，
∴EF=EH，
即对角线相等的四边形，
故选D．
点评：本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
11、（2011•襄阳）2011年春我市发生了严重干旱，市政府号召居民节约用水．为了解居民用水情况，在某
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）
A、众数是6
B、极差是2
C、平均数是6
D、方差是4
考点：方差；加权平均数；众数；极差。

专题：计算题。

分析：众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大的与最小的数据的差，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案．
解答：解：这组数据6出现了6次，最多，所以这组数据的众数为6；
这组数据的最大值为7，最小值为5，所以这组数据的极差=7﹣5=2；
这组数据的平均数=（5×2+6×6+7×2）=6；
这组数据的方差S2=[2•（5﹣6）2+6•（6﹣6）2+7•（7﹣6）2]=0.9；
所以四个选项中，A、B、C正确，D错误．
故选D．
点评：本题考查了方差的定义和意义：数据x1，x2，…x n，其平均数为，则其方差S2=[（x1﹣）2+（x2
﹣）2+…+（x n﹣）2]；方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．也考查了平均数和众数以及极差的概念．
12、（2011•襄阳）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A、k＜4
B、k≤4
C、k＜4且k≠3
D、k≤4且k≠3
考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。

专题：计算题。

分析：分为两种情况：：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．
解答：解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，
△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与X轴有交点．
故选B．
点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上．
13、（2011•襄阳）为了推进全民医疗保险工作，截止2011年5月31日，今年中央财政已累计下拨医疗卫生补助金1346亿元．这个金额用科学记数法表示为 1.346×1011元．
考点：科学记数法—表示较大的数。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将1346亿用科学记数法表示为1.346×1011．
故答案为：1.346×1011．
点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14、（2011•襄阳）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=1000m，∠D=50°．为了使开挖点E 在直线AC上，那么DE=642.8m．
（供选用的三角函数值：sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192）
考点：解直角三角形的应用。

专题：探究型。

分析：先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
解答：解：∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°，
∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°，
∴=cos∠D，即=0.6428，解得DE=642.8m．
故答案为：642.8．
点评：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
15、（2011•襄阳）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答）一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对14道题．
考点：一元一次不等式的应用。

专题：应用题。

分析：竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过100分，列出不等式求解即可．
解答：解：设要答对x道．
10x+（﹣5）×（20﹣x）≥100，解得x≥．
故答案为：14．
点评：考查一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．
16、（2011•襄阳）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是m＞2且m≠3．
考点：分式方程的解。

专题：计算题。

分析：方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
解答：解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3=x﹣1，
解得x=m﹣2，
∵分式方程的解为正数，
∴m﹣2＞0且x﹣1≠0，即m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
点评：本题考查了分式方程的解，分分式的分母为0，此题是基础知识比较简单．
17、（2011•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间2或秒时，以点P，Q，E，D 为顶点的四边形是平行四边形．
考点：梯形；平行四边形的性质。

专题：动点型。

分析：由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，
（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
解答：解：由已知梯形，（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣=6﹣t，解得：t=，
（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t=6﹣t，解得：t=2，
故答案为：2或．
点评：此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．
三、解答题：（本大题共9个小題，共69分）
18、（2011•襄阳）已知直线y=﹣3x与双曲线y=交于点P （﹣1，n）．
（1）求m的值；
（2）若点A （x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y=上，且x1＜x2＜0，试比较y1，y2的大小．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：（1）根据点P（﹣1，n）在直线y=﹣3x上求出n的值，然后根据P点在双曲线上求出m的值；（2）首先判断出m﹣5正负，然后根据反比例函数的性质，当x1＜x2＜0，判断出y1，y2的大小．
解答：解：（1）∵点P（﹣1，n）在直线y=﹣3x上，
∴n=﹣3×（﹣1）=3，
∵点P（﹣1，3）在双曲线y=上，
∴m﹣5=﹣3，
解得：m=﹣2；
（2）∵m﹣5=﹣3＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=上，且x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，本题难度不大．
19、（2011•襄阳）先化简再求值：，其中x=tan60°﹣1．
考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。

专题：计算题。

分析：首先利用分式的混合运算，将原分式化简，再代入求值即可．
解答：解：=•=﹣，
当x=tan60°﹣1=﹣1时，原式=﹣=﹣=﹣1．
点评：此题考查了分式的化简求值问题．解此题的关键是先将原分式化为最简分式，再代入求值．
20、（2011•襄阳）为了庆祝中国共产党建党九十周年，襄阳市各单位都举行了“红歌大赛”．某中学将参加本校预赛选手的成绩（满分为100分，得分为整数，最低分为80分，且无满分）分成四组，并绘制了如右的统计图，请根据统计图的信息解答下列问题．
（1）参加本校预赛选手共60入；
（2）参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围是84.5﹣89.5；
（3）成绩在94.5分以上的预赛选手中，男生和女生各占一半．学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，则恰好是一名男生和一名女生的概率为．
考点：频数（率）分布直方图；中位数；列表法与树状图法。

专题：图表型。

分析：（1）直接把各个小组的人数求和即可得到参加本校预赛选手共多少人；
（2）由于总人数为60人，而第一小组由4人，第二小组由32人，由此根据中位数的定义即可确定参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围；
（3）由于成绩在94.5分以上的预赛选手中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，由此得到可能的所有情况有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，然后利用概率的定义即可求解．
解答：解：（1）参加本校预赛选手共4+32+20+4=60人；
（2）∵总人数为60人，而第一小组由4人，第二小组由32人，
∴参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围是84.5﹣89.5；
（3）∵成绩在94.5分以上的预赛选手中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，∴可能的所有情况有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∴P（恰好是一名男生和一名女生）==．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，也考查了概率的定义；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21、（2011•襄阳）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③：①③⇒②；②③⇒①（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
考点：全等三角形的判定与性质；命题与定理。

专题：证明题；开放型。

分析：（1）根据真命题的定义即可得出结论，
（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．
解答：解：（1）①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，
（2）选择①③⇒②，
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．
点评：本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．
22、（2011•襄阳）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？
考点：一元二次方程的应用。

专题：应用题。

分析：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解舍去即可．解答：解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得6.4（1+x）2=10，
解之，得x1=0.25，x2=﹣0.25，
∵x2=﹣2.25＜0，故舍去，
∴x=0.25=25%，
10×（1+25%）=12.5，
答：2011年的年产量为12.5万辆．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23、（2011•襄阳）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，
AD，OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算。

专题：几何图形问题；探究型。

分析：（1）先根据垂径定理得出BE=CE，=，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先根据勾股定理得出OE的长，再连接OB，求出∠BOC的度数，再根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC计算即可．
解答：解：（1）∵BC⊥OA，∴BE=CE，=，
又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=60°；
（2）∵BC=6，∴CE=BC=3，
在Rt△OCE中，OC==2，
∴OE===，
连接OB，∵=，∴∠BOC=2∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=×π×（2）2﹣×6×=4π﹣3．
点评：本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
24、（2011•襄阳）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1与y2之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a=6；b=8；m=10；
（2）直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？
考点：一次函数的应用。

分析：（1）根据原票价和实际票价可求a、b的值，m的值可看图得到；
（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式；
（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数的n的一元一次方程，
解此可得人数．
解答：解：（1）门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，
所以a=6；
从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8折得到的价格，
所以b=8，
看图可知m=10；
（2）设y1=kx，当x=10时，y1=300，代入其中得，k=30
y1的函数关系式为：y1=30x
同理可得，y2=50x（0≤x≤10），
当x＞10时，设其解析式为：y2=（x﹣10）×50×0.8+500，化简得：y2=40x+100；
（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，
当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）=1900解得，
n=20这与n≤10矛盾，
当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）=1900，
解得，n=30，50﹣30=20．
答：A团有30人，B团有20人．
点评：本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系式．25、（2011•襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。

分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EGP，可以证得△BCG是等腰直角三角形，可以证得∠EBG=45°，即可证得∠CBE=45°；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EGP，
∴EG=AP，AD=AB=PG，
∴AP=EG=BG，
∴∠CBE=∠EBG=45°；
（3）当=时，△PFD∽△BFP，
设AD=AB=a，则AP=PB=a，
∴BF=BP•=a．
∴PD==a，PF==a，
∴==
又∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
26、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c
过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．
解答：（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10﹣2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则，
解得：，
∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，
由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），
将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，
右边=﹣×（﹣3）+4==左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；
（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．。