数字信号处理-原理与实践(方勇)习题答案(1-2)

第一章
1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2
π
ψ=
，
（１） 求出)(t x a 的周期；
（２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt x
a 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt x
a 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。

解：（1）)(t x a 的周期是
s f
T a 05.01
==
（2）∑∞
-∞
=-+=n a nT t fnT t x
)()2cos()(ˆδψπ
∑∞
-∞
=-+=
n nT t nT )()40cos(δψπ
（3）)(n x 的数字频率为
πω8.0=，
2
5
2=
ω
π
周期5=N 。

)28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。

题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。

（1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？
（3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。

（2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。

（3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。

1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）)8
7
3
cos()(π
π-
=n A n x ，A 为常数；
（2）)
81
()(π-=n j e n x 。

解： （1）πω73
=，
3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ；
（2）81=ω，πω
π
162=，这是无理数，因此是非周期序列。

1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<<a 。

对于矩阵输入序列，
1,01
()0N n N R n ≤≤-⎧=⎨
⎩
,其他 求出输出序列，并用MA TLAB 计算，比较其结果。

分析：输入)()(n R n x N =，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷积，用公式表示为∑∞
-∞
=-⋅=
*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(
为了计算输出序列的第n 个值，必须计算出乘积)()(k n h k x -⋅，并将所得到的序列值相加。

解：输出序列∑∞
-∞
=-⋅=
*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(可以分成三种情况来求解：
（１） 当0<n 时，由于)(k n h -和)(k x 的非零取样互不重叠，因此0)(=n y 。

（２） 当10-≤≤N n 时，从0=k 到n k =，)(k n h -和)(k x 的非零取样值有重叠，
因此 ∑∑=-∞-∞
==-⋅=
n
k k n k a k n h k x n y 0
)()()(
a
a a a a
n n n
--=--=+---11111
1
1 （３） 当1-≥N n 时，)(k n h -和)(k x 重叠的非零取样值从0=k 到1-=N k ，因此
∑∑-=--==-⋅=
1
1
)()()(N k k
n N k a k n h k x n y
11
)11(11+-----=--=N n n N n
a a
a a a a
所以 110,01(),0111(),11n n
n N n a
y n n N a a a
N n a +-+⎧⎪<⎪-⎪=≤≤-⎨
-⎪
⎪--<⎪-⎩
利用MATLAB 求其响应,程序如下： a=1/2;
N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)'
);
题1-4图 输出相应序列()y n
1-5 设)()(n u a n x n =，)1()()(1--=-n u ab n u b n h n n ，求)()()(n h n x n y *=。

解： a
z z
z X -=
)(，a z >
b
z a
z b z a b z z z H --=
---=
)(，b z > 所以， b
z z
z H z X z Y -==)()()(，b z >
其Z 反变换为
)()]([)()()(1n u b z Y n h n x n y n =Z =*=-
显然，在a z =处，)(z X 的极点被)(z H 的零点所抵消，如果a b <，则)(z Y 的收敛域比)(z X 与)(z H 收敛域的重叠部分要大。

1-6 求下列序列的Z 变换及其收敛域，并用MA TLAB 画出零极点示意图。

（１）双边指数序列n
a n x =)(，01a <<；
（２）正弦调制序列)()cos()(0n u n Ar n x n φω+=，10<<r 。

解：（1）双边指数序列可写为
,0
(),0n n
a n x n a
n -⎧<=⎨≥⎩ 其Z 变换为
1
10
1
1()1n n n n
n n n n n X z a z a
z
a z az ∞
-∞
----==-∞
==+
=+-∑∑∑ 211
111(1)11111(1)()n n
n z a a z az az az az z a ∞
--=-=+-=+-=-----∑ n
a n x =)(，10<<a 是一个双边序列，其收敛域为1a z a <<表示极点，极点为
z a =，a 1，零点为0z =。

其极点、零点图如图所示，图中⨯表示极点，○表示零点。

利用MATLAB 画出其零极点，如题1-6图(a)所示： a=3;
y=1-a*a; b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);
题1-6图(a ) 零极点图
（2）)(2
)()cos()()
()(000n u e e Ar
n u n Ar n x n j n j n
n
φωφωφω+-++=+=， 10<<r 我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z 变换的求和定义式求得其对应的Z 变换、收敛域并画出零极点图。

其Z 变换为
00()()1
00
()cos()2j n j n n
n
n
n
n n e e X z Ar n z
A r z ωφωφωφ+-+∞
---==-∞
+=+=∑∑
001011122
0cos cos()11
2(1)2(1)12cos j j j j A Arz A A e e re z re z rz r z
ϕϕωωϕωϕω--------=+=---+ 收敛区域为z r >，极点为0
j z re
ω=，0
ωj re
-，零点为0z =，φφωcos )cos(0-r 。

其对应的零极点图如题1-6图所示。

利用MATLAB 画出其零极点,如题1-6图(b)所示： A=1;
r=1;
w0=4*pi; w=2*pi;
x=2*r*cos(w0);
y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r];
zplane(b,a);
题1-6图(b ) 零极点图
讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z 变换定义式求起对应的Z 变换和收敛域。

对于Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式
的序列，其Z 变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证0
1
1j q z re
ω-=<，可
得收敛域为z r >。

ωj re
题1-6图 零极点示意图
1-7 已知,0
(),1
n n a n x n b n ⎧≥=⎨-≤-⎩， 求其Z 变换及其收敛域。

并用MATLAB 求解。

解：这是一个双边序列，其Z 变换为
n n n n n
n n n
z b z a
z
n x z X ---∞
=∞
=-∞
-∞
=-∑∑∑-
==
1
)()(
b
z z a z z bz az -+-=
-+
-=
--1
111
11
)
)(()2(b z a z b a z z ----=，b z a << MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym('a^k+b^k'))
结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z)
1-8 求1
12
5()16z X z z z ---=+-,23z <<的逆Z 变换，并用MATLAB 求解。

解：由部分分式展开可得 11
11
()1213X z z z --=
--+,
因为23z <<。

所以得20()(3)
n
n
n x n n ⎧≥=⎨-<⎩
MATLAB 求解： 程序如下：
syms k z ; Fz=5*z/(z^2+z-6); fk=iztrans(Fz,k)
运行结果： fk =2^k - (-3)^k 1-9 判断系统（1）∑==
n
m m x n y 0
)()(，
（2）)()(n nx n y =是否为时不变系统，并利用MA TLAB 验证。

解：（1）令输入为)(0n n x -，输出为00
()[()]()n
m Y n T x n n x m n ==-=
-∑
而0()y n n -=
00
()()n n m x m Y n -=≠∑，所以系统是时变的。

MATLAB 验证：
令 ()(1)2()(1)x n n n n δδδ=+++-，01n = 程序如下：
x=[1 2 1];n0=1;n=-1:1;
x0=[2 1];%x0为x 横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x);
subplot(3,2,1);stem(n,x);
xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);
xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);
xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);
xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);
xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([-1,3,0,4]);
-1
12
3
n x (n )
输入
-1
12
3
024n y (n )
输出
-1
12
3
024n x (n -n 0)
输入
-1
12
3
024n
Y (n )
输出
-1
12
3
024n
y (n -n 0)
输出
题1-9图(a ) 时变性验证
（2）令输入)(0n n x -，输出00()[()]()Y n T x n n nx n n =-=- 而000()()()()y n n n n x n n Y n -=--≠，所以系统为时变的。

MATLAB 验证：
令()(1)2(2)(3)x n n n n δδδ=-+-+-，01n = 程序如下：
x=[1 2 1];n0=1; for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i); end
for i=1+n0:length(x) X(1,i+n0)=x(1,i); end
for i=1+n0:length(x)+n0 y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0); end
for j=1:length(x) Y(1,j)=j*X(1,j); end
subplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);
xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,2);stem(n,y);
xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);
xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,5);stem(n,Y);
xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_); xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出'); axis([0,4,0,6]);
24
6n x (n )
输入
n y (n )
输出
246n x (n -n 0)
输入
246n
Y (n )
输出
n
y (n -n 0)
输出
题1-9图(b) 时变性验证
1-10 利用MATLAB 验证例题1-27（1）中的系统是否为线性时不变系统。

解：令输入为)(0n n x -，则输出为00()[()]()Y n T x n n ax n n b =-=-+，而
b n n ax n n y +-=-)()(00，所以0()()y n n Y n -=，系统为时不变系统。

又因为 11212()[()()][()()]Y n T px n qx n a px n qx n b =+=++ 而，21212()()()[()][()]Y n py n qy n p ax n b q ax n b =+=+++2()Y n ≠ 所以系统为非线性系统。

MATLAB 验证：
a : 时变性验证：令()()2(1)3(2)x n n n n δδδ=+-+-，=1a ，2
b =，01n k ==
程序如下：
a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;
x=[1 2 3];
y=a*x+b;
for i=1:size(x,2)
x_(1,i+n0)=x(1,i);
y_2(1,i+n0)=y(1,i);
end
x_=[zeros(1:n0),x_(n0+1:end)];
y_1=a*x_+b;
y_1=[zeros(1:n0),y_1(n0+1:end)];
subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);
xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);
xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);
xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);
xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([0,4,0,6]); subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);
xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([0,4,0,6]);
n x (n )
输入
n x (n -n 0)
输入
01
234
n y (n )
输出
n
Y (n )
输出
n
y (n -n 0)
输出
题1-10图(a) 时变性验证
b : 线性验证：令1()()2(1)3(2)2(3)x n n n n n δδδδ=+-+-+-，2()3()x n n δ=
2(1)(2)(3)n n n δδδ+-+-+-，=1a ,2b =,2p =,1q =
程序如下：
x1=[1 2 3 2]; x2=[3 2 1 1];
a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3; y1=a*x1+b; y2=a*x2+b;
Y1=a*(x1*p+q*x2)+b; Y2=p*y1+q*y2;
subplot(1,2,1);stem(n,Y1);
xlabel('n');ylabel('Y1(n)');axis([0,3,0,14]); subplot(1,2,2);stem(n,Y2); xlabel('n');ylabel('Y2(n)');
n
Y 1(n )
n
Y 2(n )
题1-10图(b) 线性性验证
1－11 已知系统函数()1N H z z -=-，试用MA TLAB 画出该系统的幅频特性。

解： 利用MATLAB 中的freqz()函数可以画出该系统的幅频特性曲线，如题1-11图所示。

N
取10。

MATLAB 程序如下： N=10;
b=[1 zeros(1,N-1) 1]; a=[1 zeros(1,N)];
OMEGA=0:pi/150:2*pi; H=freqz(b,a,OMEGA); plot(OMEGA,abs(H));
题1-11图 幅频响应特性
1-12 一般的滑动平均由下列方程定义
∑-==-++=2
1
)(11
)(21M M k k n x M M n y
++-+++++ )1()([1
1
1121M n x M n x M M
)]()1()([2M n x n x n x -++-+
该系统计算输出序列的第n 个样本时是将其作为输入序列第n 个样本前后的1(M +
2M 1)+个样本的平均。

求：（1）该系统的冲激响应)(n h ； （2）求该系统的频率响应；
（3）对01=M ，42=M ，求)(ωj e H 和)(arg ωj e H ，并用MATLAB 画出其图形。

解： （1）∑-=-++=2
1
)(11
)(21M M k k n M M n h δ
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤-++=其他,0,112121M n M M M （2）因为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤-++=其他,0,11)(2121M n M M M n h
因此频率响应就是
∑--++=2
1
11
)(21M M n j j e M M e
H ωω
利用等比级数求和公式 ∑=+--=2
1
2111
N N n N N k
a a a a
可以得到：
)2/sin(]
2/)1(sin[1111)(212
12/)()1(211221ωωωωωωω
++++=--++=---+-M M M M e e e e M M e
H M M j j M j M j j （3）当01=M ，42=M 时，
)
2/sin()
2/5sin(51)(ωωω=
j e H ，ωω2)(arg -=j e H
利用MATLAB 画出其频率响应图：
由 12(1)
121()11j M j M j j e e H e M M e
ωωω
ω
-+--=++- 得 12(1)
1
121()11M M z z H z M M z
-+--=++- 所以MATLAB 程序如下：
M1=0; M2=4; X=1/(M1+M2+1); b=[X zeros(1,M2) -X]; a=[1 -1];
OMEG=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEG);
subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H));
subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H)));
运行结果如题1-12图所示：
题1-12图 频率响应曲线图
1-13 设某线性时不变离散系统的差分方程为)()1()(3
10
)1(n x n y n y n y =++-
-，试求它的 单位脉冲响应。

并讨论其因果性和稳定性，并用MATLAB 计算，与理论值进行比较。

解：)()1()(3
10
)1(n x n y n y n y =++-
- 对上式两边取 Z 变换，得到：
)()()(3
10
)(1z X z zY z Y z Y z =+-
- )
3)(3
1(13103101)(2
1--=
+-=+-=
-z z z
z z z z z z H ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⨯=--11311131183z z
极点：3
1
1=
p z ，32=p z 当ROC ：3>z 时，系统因果不稳定，)(]33[8
3
)(n u n h n n --⨯=
； 当ROC ：
33
1<<z 时，系统非因果稳定，())](3)1(3[83)(n u n u n h n n
--+--⨯=；
当ROC ：31<
z 时，系统非因果不稳定，)1(]33[8
3
)(---⨯=-n u n h n n 。

1-14 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由，如果是
稳定系统，通过MA TLAB 画出其零极点图。

（1）∑-=-=
1
)(1
)(N k k n x N
n y
（2）)1()()(++=n x n x n y （3）)()(0n n x n y +=
解： （1）只要1≥N ，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入
有关。

如果M n x ≤)(，()y n M ≤，因此系统是稳定系统。

MATLAB 画出零极点,如题1-14图(a)所示： N0=100; X=N0-1;
b=[1 zeros(1,X-1) -X]; a=[1 -1]; zplane(b,a);
题1-14图(a) 零极点示意图
（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后的输入有关。

如果
M n x ≤)(，则M n x n x n y 2)1()()(≤++≤，因此系统是稳定系统。

MATLAB 画出零极点图如下： b=[1 1]; a=[1 0]; zplane(b,a);
题1-14图(b) 零极点示意图
（3）系统是非因果系统，因为n 时刻输出和n 时刻以后的输入有关。

如果M n x ≤)(，
()y n M ≤，因此系统是稳定的。

1-15 求下列单位脉冲响应的Z 变换及收敛域，用MA TLAB 画出零极点分布图。

（1）、(0.2)()n
u n （2）
、0()j n
e u n ω （3）
、0c o s ()()n un ω
解：（1）由Z 变换的公式可得其Z 变换为：
1
1
10.2z
--=0.2z z -，0.2z >。

利用MATLAB 画出其零极点，程序及运行结果如题1-15图(a)所示： b=[1 0];
a=[1 -0.2]; zplane(b,a);
题1-15图(a) 零极点示意图
（2）利用Z 变换公式可得：其Z 变换为
01
11j e z --, 0j z e ω>
MATLAB 画出零极点如下题1-15图(b )所示： w0=2*pi; x=exp(j*w0); b=[1]; a=[1 -x]; zplane(b,a);
题1-15图(b ) 零极点示意图
（3） 因为000cos()2
j n j n e e n ωωω-+=，由（2）知0()j n
e u n ω的Z 变换为0111j e z ω--
0()j n
e
u n ω-的Z 变换为
01
11j e z ---
所以得出0cos()()n u n ω的变换经化简得：10
12
01cos 12cos z z z
ωω-----+ , 1z > 利用MATLAB 画出其零极点如下题1-15图(c )所示: w0=pi/4;
b=[1 -cos(w0)]; a=[1 -2*cos(w0) 1]; zplane(b,a);
题1-15图(c ) 零极点示意图
1-16 已知系统函数如下：432(8)(2)
()2 2.90.1 2.3 1.5
z z H z z z z z +-=
-++-，用MATLAB 编程判断
系统是否稳定. 解： MATLAB 程序如下：
A=[2 -2.9 0.1 2.3 -1.5] P=roots(A); M=max(abs(P)); if (M<1) disp('系统稳定') else disp('系统不稳定') end
运行结果如下： A =
2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000 系统稳定
1-17 设一因果LTI 系统的差分方程为
()2(1)3(2)()4(1)5(2)6(3)y n y n y n x n x n x n x n --+-=+-+---
并且已知初始条件为(1)1y -=-，(2)1y -=，输入()0.2()n x n u n =，利用MATLAB 求系统的输出()y n 。

解：%用迭代法求取10点数据
y=zeros(1,10); i=1:10;
y(1)=-2-3+1;
y(2)=2*y(1)+3+1+4;
y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2; y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.2^2; for n=5:10
y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2^(n-2); end
stem(i-1,y);xlabel('n');ylabel('y(n)'); 结果如题1-17图所示：
题1-17图 输出响应()y n
1-18 一系统的差分方程描述如下：
()0.81(2)()(2)y n y n x n x n +-=--
试确定该系统的频率响应，并求出输入序列为()1010cos()2
n x n π
=++10cos()n π的稳态输出。

解：由差分方程可得出221()0.81z H z z -=+，221()10.81j j j e H e e ωω
ω
---=+
其特征根为120.9j z =±、，所以该系统为一稳定系统。

当输入序列为()1010cos()10cos()2
n x n n π
π=++时，由稳态输出的定义，我们可以计算出：0
()0j H e =，2
()10.53j
H e
π
=，()0j H e π=。

所以其稳态输出为
()10.53cos(
)2
n y n π= 用MA TLAB 画出其频率响应: 程序如下：
b=[1 0 -1]; a=[1 0 0.81];
OMEG=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEG);
subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H));
subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H))); 运行结果:
题1-18图 频率响应曲线
1-19 考虑一个三阶系统
()0.4(1)0.2(2)0.8(3)5()y n y n y n y n x n ----+-=
输入)()(n u n x =，初始状态(1)2y -=，(2)4y -=和(3)5y -=，利用状态方程方法求出)(n y 。

解： 定义)3()(1-=n y n q ，)2()(2-=n y n q ，)1()(3-=n y n q ，差分方程可以写为如
下状态方程的形式：
0100(1)001()0()0.80.20.45q n q n x n ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
[]()0.80.20.4()5()y n q n x n =-+
可计算出1(0)5q =，2(0)4q =，3(0)2q =。

其MA TLAB 程序如下：
%状态方程求解系统响应演示程序
A=[0 1 0;0 0 1;-0.8 0.2 0.4]; B=[0;0;5]; C=[-0.8 0.2 0.4]; D=[5]; q0=[5;4;2]; n=0:1:25; X=[ones(size(n))]'; [Y, s]=dlsim(A,B,C,D,X,q0); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); grid;
题1-19图 输出响应()y n
第二章
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(2
1
)()1(21)(2--++=
n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n
10<<a
（4）)4()3()(4--+=n u n u n x
（5）∑∞
=-⎪⎭
⎫
⎝⎛=05)3(41)(k n
k n n x δ
（6）()6cos ,14()0,
n n x n π⎧-≤≤=⎨
⎩
其他
解： （1） 0
10
()()j n j j n
n X e n n e e ωω
ωδ∞
--=-∞=
-=∑
（2） 22
11()()122j j n
j j n X e x n e e e ω
ωωω∞
--=-∞
=
=+-∑ωs i n 1j +=
（3） 2232
()(2)1j j n
j n
n j n
j n n a e X e a u n e
a e
ae ω
ω
ωωω
-∞
∞
---=-∞=-=
+=
=
-∑∑， 10<<a
（4） []4()(3)(4)j j n
n X e u n u n e
ω
ω∞
-=-∞
=
+--∑∑-=-=
3
3
n n
j e ω∑∑==-+=3
1
3
n n j n n
j e e
ωω
ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=
----ωωω
ω
ω21sin 27sin 1137j j j e e e
（5） 3350011()(3)44n k
j jn j k n k k X e n k e e ωω
ωδ∞∞
+∞
--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑
∑∞
+=--⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
⎪
⎭⎫
⎝⎛=0
3
3411141k j k
j e e ωω
（6） 4
4
3
364
41()cos 32j j j jn jn n n X e ne
e e e π
π
ω
ω
ωπ
---=-=-⎛⎫=
=+ ⎪⎝⎭
∑∑ 994()()4()()333
300
1122j j n j j n n n e e e e ππππ
ωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()33
11112211j j j j j j e e e e e e ππ
ωωπ
π
ωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ω
j e
X ，试计算
(1)0
()j X e （２）
()j X e
d π
ω
πω-
⎰（３）2
()j X e d π
ω
π
ω-⎰。

解： （１）0
()()1n j n X e x n =∞
=-∞
=
=-∑
（２）1(0)()32j x X e d πωπ
ωπ
-
=
=-⎰，()6j X e d π
ωπ
ωπ-=-⎰
（３）
2
2
2
2
()2()38n j n X e d x n π
ω
π
ωππ=-
=-==∑⎰
2－3 已知
⎩
⎨
⎧≤<<=πωωωωω||,0||,
1)(00j e X 求)(ωj e X 的逆傅里叶变换)(n x 。

解：
01
()2j n sin n
x n e d n
ωωω
ωωπ
π-
=
=
⎰ 2－4 设)(ωj e X 和)(ωj e Y 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。

（1）)(0n n x - （2）)(*n x （3）)(n x -
（4）)(n nx
解：(1) 00
[()]()j n
n DTFT x n n x n n e
ω∞
-=-∞-=
-∑， 令,,0'0'n n n n n n +=-=则：
00()0[()]()()j n n j n j n DTFT x n n x n e e X e ωωω∞
'-+-=-∞
'-=
=∑
(2) *
*
()()()j n
j n n n DTFT x n x n e
x n e ωω*
∞
∞-=-∞
=-∞⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑()j X e ω*-= (3) []()()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
-=
-∑，令n n -='
，则：
[]'
'
'()()()j n
j
n D T F T x n x n e X e
ωω∞
-=-∞
-
==
∑
(4) 由()()j j n
n X e x n e
ω
ω∞
-=-∞
=
∑，得[]()()()j j n n X e j nx n e jFT nx n ωωω∞-=-∞
∂=-=-∂∑
所以 []()
()j X e DTFT nx n j ωω
∂=∂
2－5 已知序列()2()n x n u n =-，求其傅里叶变换DTFT 。

解：0
()2()2j n
j n
n j n
n n X e u n e
e
ω
ωω∞
--=-∞
=-∞
=
-=
∑∑0
11()1212
j n j n e e ωω∞
===-∑
2－6 设)()(4n R n x =，试求)(n x 的共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o ；并分别
用图表示。

解：
()()()441
,2e x n R n R n =
+-⎡⎤⎣⎦ ()()()0441
2x n R n R n =--⎡⎤⎣
⎦ 图形如下题2-6图所示：
题2-6图 )(n x e 与)(n x o 序列图
2－7 设系统的单位脉冲响应)(2)(n u a n h n =，10<<a ，输入序列为
)1()(2)(-+=n n n x δδ
完成下面各题：
（1） 求出系统输出序列)(n y ；
（2） 分别求出)(n x 、)(n h 和)(n y 的傅里叶变换。

解：（1）[]()()()2()2()(1)n
y n h n x n a u n n n δδ=*=*+-1
2()2(1)n
n a u n a
u n -=+-
（2）[]()2()(1)2j j n
j n X e n n e
e ω
ωωδδ∞
--=-∞
=
+-=+∑
2
()2()21j n j n
n j n j n n H e a u n e
a e ae
ω
ωωω
∞
∞
---=-∞
==
==
-∑∑ 2(2)
()()()1j j j j j e Y e H e X e ae
ωω
ω
ω
ω
--+=⋅=- 2－8 若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
()1cos j R H e ωω=+ 求序列()h n 及其傅里叶变换()j H e ω。

解：11()1cos 122
j j j R H e e e ω
ωωω-=+=+
+
[]()()j n
e e
n DTFT h n h n e
ω∞
-=-∞
==
∑
1
,12()1,01
,12
e n h n n n ⎧=-⎪⎪
==⎨⎪⎪=⎩
0,00,0,1()(),01,01,1
2(),0e e
n n n h n h n n n n h n n <<>⎧⎧⎪⎪
====⎨⎨⎪⎪=>⎩⎩
/2()()12cos
2
j j n
j j n H e h n e
e e ω
ωωωω
∞
---=-∞
=
=+=∑
2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内(){2,1,3,0,4}x n =的序列()x n 的DFS 。

解：25
4
()()kn j n X k x n e
π
-==
∑2485
5
5
234k k k j j j e
e
e
πππ---+++＝
2－10 求出周期序列(){0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,}x n =的DFS 。

解：由题知()x n 周期为4 24
3
()()kn j n X k x n e
π-==
∑2
3
()kn j n x n e
π-==∑ 322
23k
k j j j k
e
e
e
ππ
π---=++
32
222(1)2()k k
k
j j j k j k e
e e
e ππππ---=-+++
2－11 已知周期为N 的信号()x n ，其DFS 为()X k ，证明DFS 的调制特性[()]nl
N DFS W x n
()X k l =+。

证明：21
[()]()kn N
N j nl
nl N
N n DFS W x n W x n e
π--==
∑
2210
()kn nl N N
N j j n x n e e
ππ---==
∑
2()1
0()k l n N
N j n x n e
π---==
∑
()X k l =+ 命题得证。

2－12 设
⎩
⎨
⎧==其他,01
,0,1)(n n x 将()x n 以4为周期进行周期延拓，形成周期序列)(~
n x ，画出)(n x 和)(~n x 的波形，求出)(~
n x 的离散傅里叶级数)(~
k X 和傅里叶变换。

解： []23
4
()()()j
k n x k DFS x n x n e
π
π-===
∑k j n kn j e
e
2
1
2
1π
π
-=-+==∑
4
444
24j k j k j k j k e
e e cos k e
π
πππ
π---⎛⎫⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()x k 以4为周期。

[]22()()()()4
4j k X e DTFT x n x k k ωπ
π
δω∞
=-∞
==
-∑()()22k x k k ππδω∞=-∞=-∑ 4
cos()()42
j k
k k e k π
π
π
π
δω∞
-=-∞
=-
∑
)(n x 和)(~n x 波形图如下题2-12图所示：
题2-12图)
(n
x和)
(~n
x波形图
2－13 如果()
x n是一个周期为N的周期序列，其DFS为
1
()
X k，将()
x n看作周期为2N 的
周期序列，其DFS为
2
()
X k。

试利用
1
()
X k确定
2
()
X k。

解：按照题意，可以写出：
1
()
X k=∑-
=
1
)
(~
N
n
kn
N
W
n
x=∑-
=
-
1
2
)
(~
N
n
kn
N
j
e
n
x
π
1
22
()()
N
kn
N
n
X k x n W
-
=
=∑
∑-
=
-
=
1
2
2
)
(~
N
n
n
k
N
j
e
n
x
π
+∑-
=
-
1
2
2
2
)
(~
N
N
n
n
k
N
j
e
n
x
π
令N
n
n-
=
'，则
2
1
2
2
()()
k
N j n
N
n
X k x n e
π
--
=
=∑+∑-
=
+
-
+
1
'
2
)
'
(
2
)
'(~
N
n
k
N
n
N
j
e
N
n
x
π
∑-
=
-
-
+
=
1
2
2
)
(~
)
1(
N
n
n
k
N
j
jkn e
n
x
e
π
1
(1)
2
jkn
k
e X
-⎫
⎛
=+ ⎪
⎝⎭
所以
1
2
2,
()2
k
X k even
X k
k odd
⎧⎫
⎛
=
⎪ ⎪
=⎝⎭
⎨
⎪=
⎩，
2－14 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号()x n 。

（1）2()11166
j j j j e X e e e ω
ω
ωω
---=
+-
（2）()(1)()2
j k k k
X e ω
πδω∞
=-∞
=
--∑
解： （1）26()11(3)(2)
166
j j j j j j j e e X e e e e e ω
ω
ω
ω
ωωω
-------=
=
-++-
6655111132
j j e e ωω--=--+ 因此
)(])2
1
()31[(56)(n u n x n n -= （2）因为()j X e ω含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为()x n ，其周期为N ，DFS 为()k X k a =，则有：
21
1()[()]()N j kn N k x n IDFS X k X k e N π
-===∑
()x n 的DTFT ()j X e ω，有
22()()()j k X e X k k N
N
ω
π
πδω∞
=-∞
=
-
∑ 即
21()0122()N jk n N k
k k k a e a k N N N πππδω-∞
==-∞↔-
∑∑
21(
)0
22()N jk n N
k k k k a e
a k N
π
ππ
δω-∞
==-∞
↔-
∑∑ 而已知
()(1)()2
j k k k
X e ω
πδω∞
=-∞
=
--
∑
可见
,4=N k k a )1(2-=π
即
π
2)1(k
k a -=
所以
33220011(1)
()442k jk n jk n k k k x n a e e πππ
==-==∑∑
3221[1]8j n j n j n
e e e ππ
ππ
=-+-，0n =，1，2，3 得()x n 是以1
{0,0,
,0}2π
为周期的周期函数。

2－15 计算以下诸序列的N 点DFT ，在变换区间01n N ≤≤-内，序列定义为
（1）()1x n = （2）()()m x n R n =，0m N << （3）2(),j mn N
x n e
π=0m N <<
（4）0()()x n n n δ=-,其中00n N <<
（5）0()()()x n u n u n n =-- ，其中00n N ≤<
解： （1）221120
1()11j
kN N N N j kn
kn N N j
k n n N
e
X k W e
e
πππ-----==-=
⋅==
-∑∑⎩⎨
⎧-===1
,2,1,00
,N k k N （2）()110
sin 1()1sin km m j k m kn N N
N
k
n N
mk W N X k W
e
W k N πππ---=⎛⎫ ⎪-⎝⎭=
==-⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑ （3）()221
10
()N N j mn j m k n kn N
N
N
n n X k e
W
e
ππ
---===
⋅=∑∑()()k m N
j
N k m N j
e
e
------=
π
π
2211
,0,N k m
k m =⎧=⎨
≠⎩
， 01k N ≤≤- （4） 由DFT 的定义直接计算序列的DFT ，对Z 变换采样。

由于0
()n X z z
-=，对()X z
在k
N W z -=， 12,1,0-=N k 上采样，求得:
0()n k
N X k W = 0,1,2,,1k N =-
（5） 0010
1()1kn n nk
N N
k n N W X k W
W -=-=
=-∑()00022
1222
kn kn k n N
N N
k k N N
W W W W W ----=-
=()
01202sin sin n k j
N n k N e
k N πππ-⎫
⎛- ⎪⎝⎭
, 0,1,2,
,1k N =-
2－16 已知2(),0j
mn N
x n e m N π=<<，N n <≤0，求其N 点DFT 。

解: 221
1()0
,()0,N N j
mn j
m k n kn N
N
N
n n N k m
X k e
W
e
k m ππ
---===⎧=
==⎨
≠⎩
∑∑，01k N ≤≤- 2－17 设()1209X k k k δ=+≤≤(),，求其原序列()[()]x n IDFT X k =。

解：
1
0[()]=1,[1]=1W N kn
N n DFT n DFT N k δδ-=⨯=∑()
1
()()5
x n n δ∴=
+ 2－18 已知下列)(k X ，01k N ≤<-，求)]([)(k X IDFT n x =，其中
,
2(),2
0,
j j N e k m N
X k e k N m θ
θ-⎧=⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪⎪⎩
其他
0m N <<。

解：[]10
1()()()N kn
N k x n IDFT X k X k W N --===∑()x n ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=--n m N N j j mn N j j e e N e e N N π
θπθ22221
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫
⎝⎛+θπ
θπmn N j mn N j e e 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θπmn N 2cos 2－19 已知序列()x n 的4点离散傅里叶变换为(){2,3,2,1}X k j j =+-，求其复共轭序
列*
()x n 的离散傅里叶变换1()X k 。

解：***
1()(){(2),1,(2),3}X k X N k j j =-=+-{2,1,2,3}j j =-+
2－20 证明DFT 的对称定理，即假设
()[()]X k DFT x n =
证明： [()]()DFT X n Nx N k =-
证明：
()1
()N kn N
n X k x n W -==∑
[]1
1
1000()()()N N N kn
mn kn
N
N
N n n m DFT X n X n W
x m W W ---===⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
∑∑∑
(
)
1
10
()N N n m k N m n x m W --+===∑∑
()
⎩⎨
⎧-≤≤-≠-==∑-=+1
0,,0,1
0N m k N m k N m N W N n k m n N
[]()(),0,1,2...1DFT X n Nx N k k N ∴=-=-
2－21 如果)]([)(n x DFT k X =，证明DFT 的初值定理
∑-==1
)(1)0(N k k X N x
证明：由IDFT 定义式
10
1()(),0,1,2..1N kn
N k x n X k W n N N --===-∑
知
1
1(0)()N k x X k N -==∑
2－22 证明离散帕斯维尔定理。

若)]([)(n x DFT k X =，则
1
12
2
1()()N N n k x n X k N --===∑
∑
证明：
112
00
11()()()N N k k X k X k X k N N --*===∑∑
11001()()N N kn N k n X k x n W N *
--==⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑∑
1
10
01()()N N kn
N n k x n X k W N --*-===∑∑
11
2
()()()
N N n n x n x n x n --*===
=∑∑
2－23 令()X k 表示N 点序列()x n 的N 点离散傅里叶变换。

()X k 本身也是个N 点序列。

如果计算()X k 的离散傅里叶变换得一序列1()x n ，试用()x n 求1()x n 。

解：按照题意，可以写成
()
1
1
1'100'01
1''0
()()(')(')N N N kn
kn kn N
N N k k n N N k n n N
n k x n X k W x n W W x n W ---===--+==⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑
因为
()⎩⎨
⎧=+=∑-=+其他
,0',1
'N n n N W
N k n n k N
所以
()()()1
1'0
()()N N N n x n Nx n Nl Nx n R n -==-+=-∑
2－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换()X k ，如题2-24图所示。

令,()20n x n y n n ⎧⎛⎫
⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩
为偶数
，为奇数
求()y n 的16点DFT ，并画出其图形。

解：按照题意，当n 为奇数时()y n 为零，故可写出
15
14
161600,2,
7
80
()()2(),015
nk
nk m m lk l n Y k y n W x W x l W k ===⎛⎫==
⎪⎝⎭
=≤≤∑∑
∑
1
2
34567
题2-24图
而 780(),07
()0lk
l x l W k X k =⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩∑，其他
所以7
8
0(),015()0lk l x l W k Y k =⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩∑，其他
7807
80
(),07(),815lk
l lk l x l W k x l W k ==⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩∑∑ 7(8)
80
(),07
(),815l k l X k k x l W k -=≤≤⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩∑(),07(8),815X k k X k k ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 即(),07
()(8)8150X k k Y k X k k ≤≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
，
，其他 所以()Y k 的图形如题2-26（a ）图所示：
题2-26（a ）图
2－25 已知序列
()4()3(1)2(2)(3)x n n n n n δδδδ=+-+-+-
()X k 是()x n 的6点DFT 。

（1） 若有限长序列()y n 的6点DFT 是46()()k Y k W X k =,求()y n 。

（2） 若有限长序列()q n 的3点DFT 满足，()(2)Q k X k =，2,1,0=k ，求()q n 。

解： （1）序列()y n 的DFT 由()x n 的DFT 与复指数k
W 46相乘组成，这相当于是将()x n 圆
周移位了4点：6()((4))y n x n =-，所以：
()4(4)3(5)2()(1)y n n n n n δδδδ=-+-++-
（2）序列()q n 长度为3，DFT 变换为()(2)Q k X k =，0k =，1，2，
其中()X k 是()x n
的6点DFT 。

由于系数()X k 是对()X z 在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以
()(2)Q k X k =，0k =，1，2，相当于是对()X z 在单位圆上等间隔采样3点，所以
3()(3)()r q n x n r n R ∞=-∞⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
∑
在30≤≤n 区间外()0x n =,因而(0)(0)(3)5q x x =+=;(1)(1)3q x ==;(2)(2)q x ==
2就得到()5()3(1)2(2)q n n n n δδδ=+-+-。

2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数()w n 相乘。

设()x n 是一个N 点的序
列，()w n 是汉明窗：
112()cos 222N w n n N π⎡⎤⎛⎫=
+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 试用()x n 的DFT 求加窗序列()()x n w n 的DFT 。

解：首先用复指数表示汉明窗
22222222111()244
111 244
111 244
N N j n j n N N j n j n j j N N
j n j n N N
w n e e
e e e e
e e
ππππππππ⎛
⎫
⎛
⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭---=++=++=-- 因此
22111()()()()()244
j n j n N N
x n w n x n e x n e x n ππ
-=--
如果
[()]()DFT x n X k =
则
2[()]((1))j n N N DFT e x n X k π=- 2[()]((1))j n N N DFT e x n X k π-=+
所以加窗序列()()x n w n 的DFT 为
111
[()()]()((1))((1))244
N N DFT x n w n X k X k X k =
---+ 2－27 已知12(){0,1,1,2},(){0,1},x n x n =-=求112()()*()y n x n x n =和()y n =1()x n ⊗
2()x n ；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度L 的最小值应为多少？
解： 1(){0,0,1,1,2},(){2,0,1,1}y n y n =-=-， L=4+2-1=5
2－28 已知序列()()2(2)(3)x n n n n δδδ=+--+，若()y n 是()x n 与它本身的4点循环卷
积，求()y n 及其4点的DFT ()Y k 。

解：()x n 的4点DFT ：3
23444=0
()=
()W
12W W nk
k k n X k x n =++∑
()()()
y n x n x n =⊗
223244()()12W W )k k Y k X k ∴=++=(234564444414W 2W 4W 4W W k k k k k
=+++++ 2344454W 5W 2W k k k =+++
()5()4(1)5(2)2(
y n n n n n δδδδ∴=+--+-+ 2－29 ()x n 和()h n 都是长度为6点的有限长序列，()X k 和()H k 分别是()x n 和()h n 的8
点DFT 。

若组成乘积()()()Y k X k H k =，对()Y k 作8点IDFT 得到序列()y n ，问()y n 在哪些点上等于以下线性卷积：
()()()k z n x k h n k ∞
=-∞
=
-∑
解： ()x n 和()h n 都是长度为6点，则()()()z n x n h n =*的长度为11点，而()y n 为()x n
与()h n 的8点循环卷积。

根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。

2－30 序列
()()2(2)(3)x n n n n δδδ=+-+- （1） 求()x n 的4点DFT ；
（2） 若()y n 是()x n 与它本身的4点循环卷积，求()y n 及其4点DFT ()Y k ； （3） ()()(1)2(3)h n n n n δδδ=+-+-，求()x n 与()h n 的4点循环卷积。

解： 由题可知：(){1,0,2,1}x n =
（1） 243
()()kn
j n X k x n e
π-==
∑
32
12k j j k e e
ππ--=++ 32
12(1)k j k
e
π-=+-+
21212
3(1)0,2,4,1(1)1,3,5,1(1)1,3,5,k
k k k j k j k +-+⎧+-=±±⋅⋅⋅⎪⎪
=---=⋅⋅⋅⎨⎪-+-=---⋅⋅⋅⎪⎩
当当当
（2） ()()()y n x n x n =⊗
得到 10211120
(0)51040y ==取和
10210112
(1)40022y ==取和
10212011
(2)52021y ==取和
10211201
(3)21001y ==取和
即 (){5,4,5,2}y n = 243
()()kn
j n Y k y n e
π-==
∑
35452k
k j j j k
e
e
e
πππ---=+++。