关于学习极限概念认知障碍的研究与分析
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上述结果说明学生存在下列认知障碍：（1）思维定势的 负迁移．多数学生习惯于将数列收敛作为主要模型来理解一 般函数极限问题，他们以固有的思维定式处理问题，表现出 思维建构过程中的混乱，因此思维中出现了负迁移[5]．例如， 将 f (x) → A 的图像画成 an → A 的图形．（2）数列极限与函 数极限的几何关系模糊．在教科书中，首先介绍数列极限， 其几何意义通常只将其函数值 an 表示在一个坐标轴上．但 在讨论一般函数时，学生仍在用坐标轴表示而不会用平面直 角坐标系表示．说明学生对数列极限与函数极限几何表示的 关系存在模糊认识．（3）不习惯用几何直观来解释代数意 义．绝大多数学生在讨论代数的形式关系时不能自觉地与其 几何直观联系起来．他们不重视、也不具备这种联系的能力， 而更注重熟记那些教条的语言表述形式．这也往往成为理解 抽象数学内容时的障碍．
第 15 卷第 1 期 2006 年 2 月
数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.15, No.1 Feb., 2006
关于学习极限概念认知障碍的研究与分析
李 莉，谢 琳
（辽宁师范大学 数学系，辽宁 大连 116029）
摘要：ε-语言是标准极限理论教学中的难点，为弄清难点所在，将标准极限理论的ε-语言定义中所涉及的某些问题进行 分解，通过测试和调查，分析学生在学习极限理论、掌握其语言表述和理解逻辑关系时存在的认知障碍，以期从根本上改进 相关内容的教学．
以此为依据，分析学生在学习ε-语言极限理论中各学习阶段 的认知结构问题．
3 认知状况调查
3.1 考查内容
作为该项工作的第一阶段，我们想从最基本概念入手，了 解学生对ε-语言极限概念学习的 3 个不同阶段的理解水平和所 涉及到的最直接的若干关系的掌握情况．重点考查的内容为：
（1）对极限存在时的（几何）直观理解．（习得阶段） （2）标准极限定义中的ε与δ（或Ν）之间的关系．（变 式运用阶段） （3）对极限存在的充分条件或涉及的某些语句（公式） 关系的理解．（运用迁移阶段） 3.2 题目设置
关于学生在这方面的一些具体错误，随着学生在掌握极 限理论过程中所暴露出的学习心理问题，我们还将进行更深 入的调查和研究．我们在教学中不断地改进，但囿于一些原 因，效果并不显著．因此，还很难给出非常成熟的教学建议．
4.3 运用和迁移阶段——对数列 {an} 收敛于 A 的充分条件
的理解情况分析
从测试的情况看，学生对充分条件的理解水平不好，两 次测试只有 10 人次回答基本正确，而基本不会的人占 64%~89%．其原因（认知障碍）主要有两个方面：
为解决极限理论的教学问题，首先应突破ε-语言的教学 难点问题．因为ε-语言是经典极限理论的标准语言，它已成 为数学分析以及与分析学有关的各种更高层次理论的重要 表述语言．在高等数学的学习中，对ε-语言表述的极限理论 的学习既是开端又是重要的基础．因此，深入地理解和掌握 由ε-语言表述的极限理论，对于进一步学习数学理论和方法 具有重要意义．
从数理逻辑的角度分析，这一认知障碍的产生是非常客 观的，因为极限存在定义的形式表达式是一个相间改变量词 词性的∑4（或∑3）型前束范式．而两组题中所考查的是量 词之间及其量词与命题函项之间的关系，它们是π2（或π3） 型前束范式中的相应逻辑关系．由于学生在以前的学习和生 活经验中很少接触比π2或∑2 型更复杂的关系（尤其极限定 义中还含有真值蕴涵式），所以，极限定义中的形式逻辑关 系会使许多人感到难以理解其整体意义．
以往人们解决ε-语言极限理论教学难点问题的方法大 致有 3 种：第一是探讨、改进现有的教学方法[1~6]；第二是 主张放弃或弱化极限理论的标准表述方式（即ε-语言）的教 学；第三是以别的表述方式替代ε-语言[7]．本文拟从调查分 析入手，以认知学习理论为依据，分析学生学习ε-语言极限 理论认知心理问题，探究出初步的解决方法，并用总结出的 方法改进教学，进行对比实验，用以说明认识学生理论认知 心理问题的合理性及改进后的教学方法的正确性．
x→∞
（2）已知：当 x → x0 时， f (x) → A ．讨论：在函数极 限（ε-δ）定义中，语句“对任意给定的ε > 0”中，在整个 定义的表述中起什么作用？ε是一个事先给定的量呢，还是 可以变得任意小的量？
（3）已知 {an} 与常数 A，下列的①与②是否都是 an 收敛
于 A 的充分条件，试说明理由：① ∀ε > 0，∃Ν（正整数）， 有无穷多个自然数 n > Ν，使得 an − A < ε ；② ∀ε > 0，∃Ν （正整数），只有 n < Ν 时，才可能有 an − A ≥ ε．
x→∞
（3）讨论：设当 x → x0 时，f (x) → A ．在函数极限（ε-δ） 定义中，ε与δ是怎样的关系？
（4）已知 {an} 与常数 A，下列语句的意思是否相同，试
说明理由：① 存在无穷多项 an ，使 an ≥A；② 只有有限项 an ，使 an < A．
第二组： （1）设 lim f (x) = A ，画出 f (x) → A 的几何直观示意图．
在整个句子中所起的作用，及ε与δ (Ν)之间关系，因此无法做 到正确的变式运用，即变式运用阶段无法完成．具体表现为， 不理解用抽象符号所表达的量词之间的内在逻辑关系．虽然 人们可以认为极限概念是反映一种变化过程及其趋势的概 念，但其标准定义却恰恰是以纯形式的静态语汇表达的，因 而其中涉及比较复杂的谓词逻辑关系．学生的问题也往往源 于对这些逻辑关系和符号语句的具体含义存在认知障碍．他 们不清楚量词在整个定义中的约束作用，不自觉地将ε看成自 由变元，所以在涉及到具体证明或处理相关问题时，便常会 出现思想上的混乱．这应是学生学习ε-语言定义最主要的困 难，也是在做极限证明题时感到困难的重要原因．
4
完全错误或空白
将函数理解为数列，给
47 34%
出数列图像
25 18%
回答错误或空白
41 30% 没回答或回答错误 41 30%
5
回答错误或空白 37 27%
理解题意错误
4 3%
水平
内容
第1题 人数
1
回答正确
16
2
能画出 f (x) → A 的图像， 但没有准确说明
30
能画出基本图像，只反映
3
出单侧情况
18
将函数理解为数列，给出 4 以数列表示的基本图像 10
5
回答错误或空白
7
表 2 第二组题测试结果
百分比
第2题 内容
人数 百分比
内容
第3题 人数
19%
仅答ε是可变的任意小的量 22 27%
回答正确
5
38%
认为ε是任意给定的量，可变得任 意小，但只要取定，就不可再变
35
回答②是①不是，并能说
43%
明一部分理由
n的一切项2115答不同说了些理由但533727能画出fxa的图像但没有准确说明2316不明确753基本轮廓不全只画出一侧3022能画出基本图像只反映出单侧情况4734将函数理解为数列给出数列图像回答错误或空白4533写出语言极限定义但不完整5943答不同没说明理由或乱凑理由81594完全错误或空白2518回答错误或空白4130没回答或回答错误413053727理解题意错误43第1题第2题第3题水平内容人数百分比内容人数百分比内容人数百分比1回答正确1619仅答是可变的任意小的量2227回答正确562能画出fxa的图像但没有准确说明3038认为是任意给定的量可变得任意小但只要取定就不可再变3543回答是不是并能说明一部分理由24303能画出基本图像只反映出单侧情况1828认为就某一题是给定不变的
37
27%
能画出 f (x) → A 的图 像，但没有准确说明
23
16%
写出“ε-δ”语言极限 定义
21
答不同，说了些理由但
15%
不明确
7
5%
基本轮廓不全，只画出
3
一侧
30
能画出基本图像，只反
22%
映出单侧情况
45
33%
写出“ε-δ”语言极限 定义，但不完整
59
答不同，没说明理由或
43%
乱凑理由
81 59%
水平
第1题
内容
人数 百分比
第2题
内容
人数 百分比
第3题
内容
人数 百分比
第4题
内容
人数 百分比
1
正确画出 an →A 的几何 图形
24
17%
正确画出 f (x) →A 的几 何图形
8
6%
认为是由ε的值确定δ 的取值范围
17
答不同，并说明无限项 12% 不等于 n > N 的一切项 5
3%
2
画出几何图形，没用 N 表示
2 认知理论与概念学习
认知心理学认为，概念的学习可分为概念的形成与同化 两种形式．数学概念的学习是不断将同一类数学事实的本质 属性与非本质属性进行辨别的过程．在数学概念和规则的学 习中，其认知结构的建立一般要经过 3 个阶段：第一是习得 阶段，即习得概念和规则的心理意义，并以命题形式在头脑 中表征和储存这些意义；第二是变式运用阶段，即在变式的 情景中运用习得的概念和规则，使概念和规则以产生式的形 式表征和储存；第三是运用和迁移阶段，即以产生式或产生 式系统表征的概念和规则的自动运用和迁移阶段[8]．本文将
测试题中两组相应问题都是极限定义的一部分．从第一 组第三题的测试结果可看出学生习惯于按书本的原话教条 地表述，不会用自己的语言灵活表达．从第二组第二题的测 试结果可看出学生的理解呆板、肤浅，大多仅就句子本身的 含义做了解释．学生存在的认知障碍：变式运用阶段的学习
44
数学教育学报
第 15 卷
任务没完成． 多数学生没有从本质上认识到量词“∀ε（无论多么小）”
综上，尽管学生存在一些问题，但从总体上看，学生能
以命题形式在头脑中表征和储存极限概念的意义．表现为他 们在理解ε-语言极限概念的直接意义上并无真正的困难．而 这里出现的问题是他们的表征和储存比较教条，主要表现在 对极限类型的认识模糊和对数学表示方法掌握得不够熟 练．克服这些问题对于学生习得阶段的学习十分重要．
关键词：ε-语言；极限定义；认知障碍
中图分类号：G424.1 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2006）01–0042–03
1 问题的提出
从方法论角度来认识数学分析（或微积分），其核心内 容是极限理论，这已是人们的共识．而在高等数学的教学中， 极限理论一直是人们公认的教学难点．为解决这一教学问 题，多年来国内不少学者一直在探求和研究，但教学难点仍 未得到很好解决．我们认为，其主要原因是研究者们多是从 教学理论的角度，以施教者的主体认识为出发点来讨论相关 内容的教法，而没有从学习理论的角度来研究学生学习该知 识的认知心理问题．我们认为，只有知道学生在想什么，有 什么问题，才能从根本上解决教学问题．
24
28%
认为ε就某一题是给定不变的；在 不同题中，可人为任意给定
8
回答②与①不全是，但说
10%
不清理由
38
12%
回答不着边际或空白10 12%回答 Nhomakorabea误或空白
13
9%
百分比 6% 30% 47% 17%
4 测试统计结果的认知障碍分析与教学建议
4.1 习得阶段——对收敛的几何直观解释的分析
从第一组测试情况看，第一组第一题的测试结果表明， 大多数学生能在直观上把握数列收敛的几何意义．有些学生 虽然没有画出来，多是由于对符号与图形的配合掌握不好所 致．而第二题关于函数在 x → ∞时极限的几何解释却只有少 数人能准确地给出图示说明，但对 x → ∞时的单侧极限，却 有 1/3 的人能够较清楚地用图示说明．
在考查过程中，我们设置了两组难易程度基本相同的题 目[9]．分次对第一组题目测试后，在分析了学生的认知结构 的基础上，对教学方法做了相应的改进，然后进行了第二组 题目测试，前后用了 3 年时间．
第一组： （1）设 f (n) = an , n∈N，画出 an → A 的图形． （2）设 lim f (x) = A ，画出 f (x) → A 的几何直观示意图．
由上述分析，我们提出如下教学建议： （1）适时将数列极限概念统一到函数极限概念之下，对 数列极限的几何解释，除了给出直线图示外，也应给出平面 图示，使学生明确数列极限只是函数极限的特例．同时应使 学生搞清函数极限各类型之间的联系和区别．（2）有目的地 引导学生以几何直观来理解各种代数形式表达的含义，并可 编制一些较好的习题（比如一些定理和习题的几何解释）让 学生思考．（3）在图示讲解时，应适当给出图示说明的技术 性细节，并应使学生重视数学图形表达的方法． 我们在后续的教学中，运用上述教学建议改进教学，取 得了较满意的成果．这一点，从表 2 的数据中即可看出．回 答正确者从 6%增加到 19%；能较正确回答者从 22%增加到 57%；回答错误者从 27%减少到 9%． 4.2 变式运用阶段——对ε与δ(Ν)之间关系的理解情况分析
（1）对等价形式的辨别能力较差． 例如，学生不清楚题中的②是“n > N 的一切项，都有 an − A < ε ”的等价式，而误认为“n > N 的无穷多项”就是 “n > N 的一切项”．其原因主要是学生在此前很少考虑等价命 题的相互转换，不善于从不同角度去理解问题．于是，当一种 关系用另一种形式表现出来时，他们就很难给出正确的判断． （2）对无穷集的量的关系认识模糊． 许多学生对于无穷集量的关系——“从无穷多项中去掉 无穷项仍然可能留下无穷项”在认识上感到困惑，因此在这 一关系的基础上继续建立其它的逻辑关系必然更感困难． 以上分析表明，学生对概念的自动运用和迁移阶段尚未 形成，在运用产生式系统表征概念的过程中几乎不会对相关 命题进行正确地迁移和转换．因此，在ε-语言极限概念的学 习中，仅凭初步的学习，很难达到概念学习的第三阶段—— 运用和迁移阶段． 综上所述，学习ε-语言表述的极限概念的困难是，在初 步的学习中学生只能完成第一阶段的学习，而不能完成第二 阶段的学习，进而无法形成学习的第三阶段． 普通院校的学生在形式逻辑方面尚未建立稳定的认知 结构．而以ε-语言定义的极限概念恰恰是纯形式化的逻辑关 系，因此对“形式化或符号化语言”的心理恐惧是学生在学 习极限理论时的真正困难． 我们的教学建议：从教学的角度考虑，虽不可能在大学一 年级专门开设数理逻辑和集合论的课程，但可组织学生讨论一 些有趣的例子，例如编制一些与形式语言有关的解读练习，让 学生通过讨论和练习领会形式化的语言与日常语言之间的关 系，消除他们对形式化表述的陌生感和神秘感，逐渐搞清量词 与某些命题变形规则及与无穷集有关的数量关系．当然，相关 的教学内容还应在教学实践中不断探索和总结．
收稿日期：2005–11–21 作者简介：李莉（1954—），女，辽宁辽阳人，副教授，主要从事数学教育研究．
第1期
李 莉等：关于学习极限概念认知障碍的研究与分析
43
3.3 测试结果统计 （1）第一组题测试结果（受试 138 人）如表 1．
（2）第二组题测试结果（受试 81 人）如表 2．
表 1 第一组题测试结果
第 15 卷第 1 期 2006 年 2 月
数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.15, No.1 Feb., 2006
关于学习极限概念认知障碍的研究与分析
李 莉，谢 琳
（辽宁师范大学 数学系，辽宁 大连 116029）
摘要：ε-语言是标准极限理论教学中的难点，为弄清难点所在，将标准极限理论的ε-语言定义中所涉及的某些问题进行 分解，通过测试和调查，分析学生在学习极限理论、掌握其语言表述和理解逻辑关系时存在的认知障碍，以期从根本上改进 相关内容的教学．
以此为依据，分析学生在学习ε-语言极限理论中各学习阶段 的认知结构问题．
3 认知状况调查
3.1 考查内容
作为该项工作的第一阶段，我们想从最基本概念入手，了 解学生对ε-语言极限概念学习的 3 个不同阶段的理解水平和所 涉及到的最直接的若干关系的掌握情况．重点考查的内容为：
（1）对极限存在时的（几何）直观理解．（习得阶段） （2）标准极限定义中的ε与δ（或Ν）之间的关系．（变 式运用阶段） （3）对极限存在的充分条件或涉及的某些语句（公式） 关系的理解．（运用迁移阶段） 3.2 题目设置
关于学生在这方面的一些具体错误，随着学生在掌握极 限理论过程中所暴露出的学习心理问题，我们还将进行更深 入的调查和研究．我们在教学中不断地改进，但囿于一些原 因，效果并不显著．因此，还很难给出非常成熟的教学建议．
4.3 运用和迁移阶段——对数列 {an} 收敛于 A 的充分条件
的理解情况分析
从测试的情况看，学生对充分条件的理解水平不好，两 次测试只有 10 人次回答基本正确，而基本不会的人占 64%~89%．其原因（认知障碍）主要有两个方面：
为解决极限理论的教学问题，首先应突破ε-语言的教学 难点问题．因为ε-语言是经典极限理论的标准语言，它已成 为数学分析以及与分析学有关的各种更高层次理论的重要 表述语言．在高等数学的学习中，对ε-语言表述的极限理论 的学习既是开端又是重要的基础．因此，深入地理解和掌握 由ε-语言表述的极限理论，对于进一步学习数学理论和方法 具有重要意义．
从数理逻辑的角度分析，这一认知障碍的产生是非常客 观的，因为极限存在定义的形式表达式是一个相间改变量词 词性的∑4（或∑3）型前束范式．而两组题中所考查的是量 词之间及其量词与命题函项之间的关系，它们是π2（或π3） 型前束范式中的相应逻辑关系．由于学生在以前的学习和生 活经验中很少接触比π2或∑2 型更复杂的关系（尤其极限定 义中还含有真值蕴涵式），所以，极限定义中的形式逻辑关 系会使许多人感到难以理解其整体意义．
以往人们解决ε-语言极限理论教学难点问题的方法大 致有 3 种：第一是探讨、改进现有的教学方法[1~6]；第二是 主张放弃或弱化极限理论的标准表述方式（即ε-语言）的教 学；第三是以别的表述方式替代ε-语言[7]．本文拟从调查分 析入手，以认知学习理论为依据，分析学生学习ε-语言极限 理论认知心理问题，探究出初步的解决方法，并用总结出的 方法改进教学，进行对比实验，用以说明认识学生理论认知 心理问题的合理性及改进后的教学方法的正确性．
x→∞
（2）已知：当 x → x0 时， f (x) → A ．讨论：在函数极 限（ε-δ）定义中，语句“对任意给定的ε > 0”中，在整个 定义的表述中起什么作用？ε是一个事先给定的量呢，还是 可以变得任意小的量？
（3）已知 {an} 与常数 A，下列的①与②是否都是 an 收敛
于 A 的充分条件，试说明理由：① ∀ε > 0，∃Ν（正整数）， 有无穷多个自然数 n > Ν，使得 an − A < ε ；② ∀ε > 0，∃Ν （正整数），只有 n < Ν 时，才可能有 an − A ≥ ε．
x→∞
（3）讨论：设当 x → x0 时，f (x) → A ．在函数极限（ε-δ） 定义中，ε与δ是怎样的关系？
（4）已知 {an} 与常数 A，下列语句的意思是否相同，试
说明理由：① 存在无穷多项 an ，使 an ≥A；② 只有有限项 an ，使 an < A．
第二组： （1）设 lim f (x) = A ，画出 f (x) → A 的几何直观示意图．
在整个句子中所起的作用，及ε与δ (Ν)之间关系，因此无法做 到正确的变式运用，即变式运用阶段无法完成．具体表现为， 不理解用抽象符号所表达的量词之间的内在逻辑关系．虽然 人们可以认为极限概念是反映一种变化过程及其趋势的概 念，但其标准定义却恰恰是以纯形式的静态语汇表达的，因 而其中涉及比较复杂的谓词逻辑关系．学生的问题也往往源 于对这些逻辑关系和符号语句的具体含义存在认知障碍．他 们不清楚量词在整个定义中的约束作用，不自觉地将ε看成自 由变元，所以在涉及到具体证明或处理相关问题时，便常会 出现思想上的混乱．这应是学生学习ε-语言定义最主要的困 难，也是在做极限证明题时感到困难的重要原因．
4
完全错误或空白
将函数理解为数列，给
47 34%
出数列图像
25 18%
回答错误或空白
41 30% 没回答或回答错误 41 30%
5
回答错误或空白 37 27%
理解题意错误
4 3%
水平
内容
第1题 人数
1
回答正确
16
2
能画出 f (x) → A 的图像， 但没有准确说明
30
能画出基本图像，只反映
3
出单侧情况
18
将函数理解为数列，给出 4 以数列表示的基本图像 10
5
回答错误或空白
7
表 2 第二组题测试结果
百分比
第2题 内容
人数 百分比
内容
第3题 人数
19%
仅答ε是可变的任意小的量 22 27%
回答正确
5
38%
认为ε是任意给定的量，可变得任 意小，但只要取定，就不可再变
35
回答②是①不是，并能说
43%
明一部分理由
n的一切项2115答不同说了些理由但533727能画出fxa的图像但没有准确说明2316不明确753基本轮廓不全只画出一侧3022能画出基本图像只反映出单侧情况4734将函数理解为数列给出数列图像回答错误或空白4533写出语言极限定义但不完整5943答不同没说明理由或乱凑理由81594完全错误或空白2518回答错误或空白4130没回答或回答错误413053727理解题意错误43第1题第2题第3题水平内容人数百分比内容人数百分比内容人数百分比1回答正确1619仅答是可变的任意小的量2227回答正确562能画出fxa的图像但没有准确说明3038认为是任意给定的量可变得任意小但只要取定就不可再变3543回答是不是并能说明一部分理由24303能画出基本图像只反映出单侧情况1828认为就某一题是给定不变的
37
27%
能画出 f (x) → A 的图 像，但没有准确说明
23
16%
写出“ε-δ”语言极限 定义
21
答不同，说了些理由但
15%
不明确
7
5%
基本轮廓不全，只画出
3
一侧
30
能画出基本图像，只反
22%
映出单侧情况
45
33%
写出“ε-δ”语言极限 定义，但不完整
59
答不同，没说明理由或
43%
乱凑理由
81 59%
水平
第1题
内容
人数 百分比
第2题
内容
人数 百分比
第3题
内容
人数 百分比
第4题
内容
人数 百分比
1
正确画出 an →A 的几何 图形
24
17%
正确画出 f (x) →A 的几 何图形
8
6%
认为是由ε的值确定δ 的取值范围
17
答不同，并说明无限项 12% 不等于 n > N 的一切项 5
3%
2
画出几何图形，没用 N 表示
2 认知理论与概念学习
认知心理学认为，概念的学习可分为概念的形成与同化 两种形式．数学概念的学习是不断将同一类数学事实的本质 属性与非本质属性进行辨别的过程．在数学概念和规则的学 习中，其认知结构的建立一般要经过 3 个阶段：第一是习得 阶段，即习得概念和规则的心理意义，并以命题形式在头脑 中表征和储存这些意义；第二是变式运用阶段，即在变式的 情景中运用习得的概念和规则，使概念和规则以产生式的形 式表征和储存；第三是运用和迁移阶段，即以产生式或产生 式系统表征的概念和规则的自动运用和迁移阶段[8]．本文将
测试题中两组相应问题都是极限定义的一部分．从第一 组第三题的测试结果可看出学生习惯于按书本的原话教条 地表述，不会用自己的语言灵活表达．从第二组第二题的测 试结果可看出学生的理解呆板、肤浅，大多仅就句子本身的 含义做了解释．学生存在的认知障碍：变式运用阶段的学习
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数学教育学报
第 15 卷
任务没完成． 多数学生没有从本质上认识到量词“∀ε（无论多么小）”
综上，尽管学生存在一些问题，但从总体上看，学生能
以命题形式在头脑中表征和储存极限概念的意义．表现为他 们在理解ε-语言极限概念的直接意义上并无真正的困难．而 这里出现的问题是他们的表征和储存比较教条，主要表现在 对极限类型的认识模糊和对数学表示方法掌握得不够熟 练．克服这些问题对于学生习得阶段的学习十分重要．
关键词：ε-语言；极限定义；认知障碍
中图分类号：G424.1 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2006）01–0042–03
1 问题的提出
从方法论角度来认识数学分析（或微积分），其核心内 容是极限理论，这已是人们的共识．而在高等数学的教学中， 极限理论一直是人们公认的教学难点．为解决这一教学问 题，多年来国内不少学者一直在探求和研究，但教学难点仍 未得到很好解决．我们认为，其主要原因是研究者们多是从 教学理论的角度，以施教者的主体认识为出发点来讨论相关 内容的教法，而没有从学习理论的角度来研究学生学习该知 识的认知心理问题．我们认为，只有知道学生在想什么，有 什么问题，才能从根本上解决教学问题．
24
28%
认为ε就某一题是给定不变的；在 不同题中，可人为任意给定
8
回答②与①不全是，但说
10%
不清理由
38
12%
回答不着边际或空白10 12%回答 Nhomakorabea误或空白
13
9%
百分比 6% 30% 47% 17%
4 测试统计结果的认知障碍分析与教学建议
4.1 习得阶段——对收敛的几何直观解释的分析
从第一组测试情况看，第一组第一题的测试结果表明， 大多数学生能在直观上把握数列收敛的几何意义．有些学生 虽然没有画出来，多是由于对符号与图形的配合掌握不好所 致．而第二题关于函数在 x → ∞时极限的几何解释却只有少 数人能准确地给出图示说明，但对 x → ∞时的单侧极限，却 有 1/3 的人能够较清楚地用图示说明．
在考查过程中，我们设置了两组难易程度基本相同的题 目[9]．分次对第一组题目测试后，在分析了学生的认知结构 的基础上，对教学方法做了相应的改进，然后进行了第二组 题目测试，前后用了 3 年时间．
第一组： （1）设 f (n) = an , n∈N，画出 an → A 的图形． （2）设 lim f (x) = A ，画出 f (x) → A 的几何直观示意图．
由上述分析，我们提出如下教学建议： （1）适时将数列极限概念统一到函数极限概念之下，对 数列极限的几何解释，除了给出直线图示外，也应给出平面 图示，使学生明确数列极限只是函数极限的特例．同时应使 学生搞清函数极限各类型之间的联系和区别．（2）有目的地 引导学生以几何直观来理解各种代数形式表达的含义，并可 编制一些较好的习题（比如一些定理和习题的几何解释）让 学生思考．（3）在图示讲解时，应适当给出图示说明的技术 性细节，并应使学生重视数学图形表达的方法． 我们在后续的教学中，运用上述教学建议改进教学，取 得了较满意的成果．这一点，从表 2 的数据中即可看出．回 答正确者从 6%增加到 19%；能较正确回答者从 22%增加到 57%；回答错误者从 27%减少到 9%． 4.2 变式运用阶段——对ε与δ(Ν)之间关系的理解情况分析
（1）对等价形式的辨别能力较差． 例如，学生不清楚题中的②是“n > N 的一切项，都有 an − A < ε ”的等价式，而误认为“n > N 的无穷多项”就是 “n > N 的一切项”．其原因主要是学生在此前很少考虑等价命 题的相互转换，不善于从不同角度去理解问题．于是，当一种 关系用另一种形式表现出来时，他们就很难给出正确的判断． （2）对无穷集的量的关系认识模糊． 许多学生对于无穷集量的关系——“从无穷多项中去掉 无穷项仍然可能留下无穷项”在认识上感到困惑，因此在这 一关系的基础上继续建立其它的逻辑关系必然更感困难． 以上分析表明，学生对概念的自动运用和迁移阶段尚未 形成，在运用产生式系统表征概念的过程中几乎不会对相关 命题进行正确地迁移和转换．因此，在ε-语言极限概念的学 习中，仅凭初步的学习，很难达到概念学习的第三阶段—— 运用和迁移阶段． 综上所述，学习ε-语言表述的极限概念的困难是，在初 步的学习中学生只能完成第一阶段的学习，而不能完成第二 阶段的学习，进而无法形成学习的第三阶段． 普通院校的学生在形式逻辑方面尚未建立稳定的认知 结构．而以ε-语言定义的极限概念恰恰是纯形式化的逻辑关 系，因此对“形式化或符号化语言”的心理恐惧是学生在学 习极限理论时的真正困难． 我们的教学建议：从教学的角度考虑，虽不可能在大学一 年级专门开设数理逻辑和集合论的课程，但可组织学生讨论一 些有趣的例子，例如编制一些与形式语言有关的解读练习，让 学生通过讨论和练习领会形式化的语言与日常语言之间的关 系，消除他们对形式化表述的陌生感和神秘感，逐渐搞清量词 与某些命题变形规则及与无穷集有关的数量关系．当然，相关 的教学内容还应在教学实践中不断探索和总结．
收稿日期：2005–11–21 作者简介：李莉（1954—），女，辽宁辽阳人，副教授，主要从事数学教育研究．
第1期
李 莉等：关于学习极限概念认知障碍的研究与分析
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3.3 测试结果统计 （1）第一组题测试结果（受试 138 人）如表 1．
（2）第二组题测试结果（受试 81 人）如表 2．
表 1 第一组题测试结果