八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题(Word版 含答案)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．已知点P 为直线m 外一点，点A ，B ，C 为直线m 上三点，PA ＝4 cm ，PB ＝5 cm ，PC ＝2 cm ，则点P 到直线m 的距离为( )
A ．4 cm
B ．5 cm
C ．小于2 cm
D ．不大于2 cm
2．如图，AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
3．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．450°
4．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )
A ．20°
B ．25°
C ．35°
D ．40°
5．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；④12
DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )
A ．①③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
6．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）
A ．70°
B ．180°
C ．110°
D ．80°
7．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）
A ．∠1+∠2−∠3=90°
B ．∠1−∠2+∠3=90°
C ．∠1+∠2+∠3=90°
D ．∠2+∠3−∠1=180°
8．如图，直线12l l //，被直线3l 、4l 所截，并且34l l ⊥，144∠=，则2∠等于（ ）
A ．56°
B ．36°
C ．44°
D ．46° 9．如图，在△ABC 中，点D ，
E 分别为边AB ，AC 上的点，画射线ED ．下列说法错误的是
（ ）
A ．∠
B 与∠2是同旁内角
B ．∠A 与∠1是同位角
C ．∠3与∠A 是同旁内角
D ．∠3与∠4是内错角 10．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，O
E 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度
数为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
11．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．②③④
12．如图，直线l 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、点F ，EG 平分BEF ∠交直线CD 与点G ，若168BEF ∠=∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）．
A ．34°
B ．36°
C ．38°
D ．68°
二、填空题
13．如图，已知AD //BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝112°，且BD ⊥CD ，则∠ADC ＝_____．
14．如果1∠的两边分别平行于2∠的两边，且1∠比2∠的2倍少30，则
1∠=________．
15．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.
16．如图，已知EF ∥GH ，A 、D 为GH 上的两点，M 、B 为EF 上的两点，延长AM 于点C ，AB 平分∠DAC ，直线DB 平分∠FBC ，若∠ACB=100°，则∠DBA 的度数为________．
17．如图，直线a ∥b ，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC ＝_______．
18．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．
19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．
三、解答题
21．问题情境
（1）如图1，已知AB ∥CD ，∠PBA ＝125°，∠PCD ＝155°，求∠BPC 的度数．
佩佩同学的思路：过点P 作PG ∥AB ，进而PG ∥CD ，由平行线的性质来求∠BPC ，求得
∠BPC ＝
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB ＝90°，DF ∥CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记∠PED ＝∠α，∠PAC ＝∠β．
①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若∠PED ，∠PAC 的角平分线EN ，AN 相交于点N ，请直接写出∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系．
22．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．
（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．
（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=， 求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明． （不可以直接用三角形内角和180°）
23．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．
小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
24．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线．
（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；
（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系，并证明；
（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系．
25．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAN ＝45°．
（1）求a 、b 的值；
（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作
CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
26．如图，已知直线12//l l ，直线3l 交1l 于C 点，交2l 于D 点，P 是线段CD 上的一个动点，
（1）若P 点在线段CD （C 、D 两点除外）上运动，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系是什么？这种关系是否变化？
（2）若P 点在线段CD 之外时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系怎样？说明理由
27．（问题提出）
（1）如图①，已知 AB ∥CD ，求证 ：∠1+∠MEN+∠2=360°
（推广应用）
（2）如图②，已知 AB ∥ CD ，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6的度数为___________． 如图③，已知 AB ∥CD ，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6+…+∠n 的度数为_________．
28．点C ，B 分别在直线MN ，PQ 上，点A 在直线MN ，PQ 之间，//MN PQ ．
（1）如图1，求证：A MCA PBA ∠=∠+∠；
（2）如图2，过点C 作//CD AB ，点E 在PQ 上，ECM ACD ∠=∠，求证：A ECN ∠=∠；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ，ABF ∠的平分线交
AC 于点G ，若DCE ACE ∠=∠，32
CFB CGB ∠=∠，求A ∠的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC ⊥m 时，PC 是点P 到直线m 的距离，即点P 到直线m 的距离2cm ，
当PC 不垂直直线m 时，点P 到直线m 的距离小于PC 的长，即点P 到直线m 的距离小于2cm ，
综上所述：点P 到直线m 的距离不大于2cm ，
故选D ．
【点睛】
此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
2．D
解析：D
【分析】
利用角平分线和平行的性质即可求出．
【详解】
∵AB ∥CD
∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC 平分∠ABD ，
∴∠ABD=2∠ABC=100°，
∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，
∴∠2=∠BDC=80°．
故选D．
【点睛】
本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.
3．C
解析：C
【分析】
首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【详解】
过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．C
解析：C
【分析】
已知∠CFN＝110°，根据对顶角相等可得∠DFE＝∠CFN＝110°，因为FG平分∠EFD，由角
平分线的定义可得∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°；再由EG⊥FG，可得∠G＝90°，即可求得∠GEF
＝35°；又因AB∥CD,∠EFD＝110°，根据平行线的性质可得∠BEF＝70°，即可得∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
【详解】
∵∠CFN＝110°，
∴∠DFE＝∠CFN＝110°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°，
又EG⊥FG，即∠G＝90°，
∴∠GEF＝35°，
∵AB∥CD,∠EFD＝110°，
∴∠BEF＝70°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．熟练运用相关知识是解决问题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+1
2
（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝1
2
∠CGE，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．6．C
解析：C
【解析】
【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
7．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．8．D
解析：D
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠1=∠3=44°，再根据l3⊥l4，可得∠2=90°-44°=46°．
【详解】
解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=44°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2=90°-44°=46°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．B
解析：B
【分析】
根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．
【详解】
解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；
C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
10．D
解析：D
【分析】
根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数．
【详解】
解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝70°．
【点睛】
本题考查了邻补角、对顶角、角平分线的应用，解题时注意运用：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．
11．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴BC∥AD，符合题意；
③∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
④∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
故能推出BC∥AD的条件为②③④．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
12．A
解析：A
【分析】
由角平分线的性质可得∠GEB=1
2
∠BEF=34°，由同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，即
可求解．
【详解】
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB=1
2
∠BEF=34°，
∵∠1=∠BEF=68°，
∴CD∥AB，
∴∠EGF=∠GEB=34°，
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题
13．124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠AB
解析：124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∠ABC=34°
∴∠DBC=1
2
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=34°
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．
故答案为124°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
14．或
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两
解析：30或110
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
15．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
16．50°
【解析】
解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC 内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线
解析：50°
【解析】
解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，
∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分
∠FBC，∴∠5=1
2（180°﹣∠4）=1
2
（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣
∠5
=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）
=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x
=50°．
故答案为50°．
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理
清图中各角度之间的关系是解题的关键．
17．78°
【解析】
解：过点B 作BE∥a ，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，
∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线
解析：78°
【解析】
解：过点B 作
BE ∥a ，∵a ∥b ，∴a ∥b ∥BE ，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC =∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．
18．40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=4
解析：40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵110α∠=+︒，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．
19．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答. 【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵，，
∴，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵，
∴∠2
解析：55
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵//a b ，135∠=︒，
∴335∠=︒，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵////a b c ，
∴∠2=∠4=55°.
故答案为：55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．（1）80°；（2）①∠APE ＝∠α+∠β；②∠APE ＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE ＝12
（∠α+∠β） 【分析】
（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，由平行线的性质可得∠BPC 的度数；
（2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P 作PQ ∥DF ，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA ，∠α＝∠QPE ，即可得到∠APE ＝∠APQ ﹣∠EPQ ＝∠β﹣∠α；
（3）过P 和N 分别作FD 的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE ＝
12
（∠α+∠β）． 【详解】
解：（1）如图1，过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG ＝180°，∠C+∠CPG ＝180°，
又∵∠PBA ＝125°，∠PCD ＝155°，
∴∠BPC ＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE ＝∠α+∠β；理由如下：
作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝1
2
（∠α+∠β）．理由如下：
作NQ∥DF，∵DF∥CG，
∴NQ ∥CG ，
∴∠DEN ＝∠QNE ，∠CAN ＝∠QNA ，
∵EN 平分∠DEP ，AN 平分∠CAP ，
∴∠DEN ＝12∠α，∠CAN ＝12∠β， ∴∠QNE ＝12∠α，∠QNA ＝12
∠β， ∴∠ANE ＝∠QNE +∠QNA ＝
12∠α+12∠β=12
（∠α+∠β）； 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
22．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；
（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．
【详解】
解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，
∵//AB CD ，
∴//GH CD ，
∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，
EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠
AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．
故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．
（2）如图，过点G 作//GP AB ，
180BEG EGP ∴∠+∠=︒，
180EHG HGP ∠+∠=︒，
90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，
90EHG EGP ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
DFG EHG ∴∠=∠，
180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，
90EGF ∴∠=︒，
90GFT ERT ∴∠+∠=︒，
90KFT ERT ∴∠+∠=︒，
ERT TEB ∠=∠，
90KFT TEB ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
FKT TEB ∴∠=∠，
90KFT FKT ∴∠+∠=︒，
90FTK ∴∠=︒，
KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．
∴FR 与HK 的位置关系是垂直．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
23．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC 即可；
（2）过P 作PE ∥AD 交AC 于E ，推出AB ∥PE ∥DC ，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案；
（3）分两种情况：P 在BD 延长线上；P 在DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P 作PE ∥AB ，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
24．（1）证明见解析；（2）∠CDB+∠AEC＝2∠DCE；（3）图3中∠CDB＝
∠AEC+2∠DCE，图4中∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．
【分析】
（1）依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，可得∠CDF＝1
2
∠CDB，∠CDE＝
1 2∠CDO，进而得出∠EDF＝
1
2
（∠CDB+∠CDO）＝90°，再根据平行线的性质，即可得
到∠AED＝90°，即DE⊥AO；
（2）连接OC，依据∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，可得∠DOE＝∠DCE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）如图3中，依据∠CDB是△ODG的外角，可得∠CDB＝∠DOG+∠DGO，依据∠DGO 是△CEG的外角，可得∠DGO＝∠AEC+∠C，进而得到∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝
∠AEC+2∠DCE；如图4中，同理可得∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
【详解】
解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，
∴∠CDF＝1
2
∠CDB，∠CDE＝
1
2
∠CDO，
∴∠EDF＝1
2
（∠CDB+∠CDO）＝90°，
又∵DF∥AO，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AO；
（2）如图2，连接OC，
∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，
∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，
∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△ODG的外角，
∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，
∵∠DGO是△CEG的外角，
∴∠DGO＝∠AEC+∠C，
∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；
如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠AEC是△OEH的外角，
∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，
∵∠OHE是△CDH的外角，
∴∠OHE＝∠CDB+∠C，
∴∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
25．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
故答案为：∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3.【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
26．（1）∠APB=∠PAC +∠PBD，不会变化；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB或
∠PAC=∠PBD+∠APB，理由见解析．
【分析】
（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD，即∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系不发生变化；
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等以及三角形外角的性质，即可求得∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系．
【详解】
（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD，
即∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系不发生变化；
（2）如图②，
当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB ，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB ．
当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在l 2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB ．
如图③，
理由如下：∵l 1∥l 2，
∴∠PED=∠PAC ，
∵∠PED=∠PBD+∠APB ，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．
27．（1）见解析，（2）900,180(1).n ︒︒-
【分析】
（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥AB ，根据平行线的性质得出即可；（2）如图②过E 作EQ ∥CD ，过F 作FW ∥CD ，过G 作GR ∥CD ，过H 作HY ∥CD ，根据平行线的判定得出EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可；如图③，利用
（1）（2）②发现规律，直接得到答案．
【详解】
证明：（1）证明：过点E 作EF ∥CD ，
∵AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，
∴∠1+∠MEF=180°，
同理∠2+∠NEF=180°，
∴∠1+∠2+∠MEN =360°；
（2）如图②过E 作EQ ∥CD ，过F 作FW ∥CD ，过G 作GR ∥CD ，过H 作HY ∥CD ，
∵CD ∥AB ， ∴EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ，
∴∠1+∠MEQ=180°，∠QEF+∠EFW=180°，∠WFG+∠FGR=180°，
∠RGH+∠GHY=180°，∠YHN+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°，
如图③，由∠1+∠2+∠MEN 3601802=︒=︒⨯，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠69001805=︒=︒⨯，
可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n 180(1)n =︒-，
故答案为：900°，180(1)n ︒-；
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠A=72°．
【分析】
（1）根据题意过点A 作平行线AD//MN ，证出三条直线互相平行并由平行得出与ACM ∠和ABP ∠相等的角即可得出结论；
（2）由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得A ECN ∠=∠； （3）根据题意设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=，由（1）列出关系式
2702CFB x ∠=︒-和11352
CGB x ∠=︒-，解出方程进而得出结论． 【详解】
证明：（1）过点A 作平行线AD//MN ，
∵AD//MN ，//MN PQ ,
∴AD//MN//PQ,
∴,MCA DAC PBA DAB ∠=∠∠=∠,
∴A DAC DAB MCA PBA ∠=∠+∠=∠+∠.
（2）∵//CD AB
∴180A ACD ∠+∠=︒
∵180ECM ECN ∠+∠=︒
又ECM ACD ∠=∠
∴A ECN ∠=∠
（3）证得MCA ACE ECD ∠=∠=∠ ABP NCD ∠=∠
设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=
由（1）可知CFB FCN FBQ ∠=∠+∠
列出关系式2702CFB x ∠=︒-
由（1）可知CGB MCG GBP ∠=∠+∠ 列出关系式11352CGB x ∠=︒- 312702(135)22
x x -=︒- 解得：54x =︒
结论：72A ∠=︒
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，结合平行线的性质与判定运用数形结合思维分析是解题的关键.。