人教A版数学选修4-5第3讲 1

第三讲 一
A 级 基础巩固
一、选择题
1. 函数y ＝x －5＋2 6－x 的最大值是导学号 98920285( B )
A. 3
B. 5
C. 3
D. 5
[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×
6－x ≤
12＋22
×
(
x －5)2＋(
6－x )2＝ 5.
2. 已知a 、b ∈R ＋
，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是导学号 98920286( D )
A. 2 6
B. 6
C. 6
D. 12 [解析] (
4a ＋1＋
4b ＋1)2＝(1×
4a ＋1＋1×
4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)
＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12.
3. 已知p 、q ∈R ＋
，且p 2＋q 2＝2，则p ＋q 的最大值为导学号 98920287( A )
A. 2
B. 8
C. 12
D. 4
[解析] ∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，又∵p 、q ∈R ＋， ∴0<p ＋q ≤
2(p 2＋q 2)＝2×2＝2，
∴p ＋q 的最大值为2.
4. 设a 、b 、c 、d 、m 、n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋d
n
，则P 、Q 间的大小关系为导学号 98920288( B )
A. P <Q
B. P ≤Q
C. P >Q
D. P ≥Q
[解析] 由柯西不等式得， P ＝
am ·b m
＋
nc ·d n
≤am ＋nc ·
b m ＋d
n
＝Q ，∴P ≤Q .
5. 已知3x ＋y ＝10，则x 2＋y 2的最小值为导学号 98920289( C ) A. 110
B. 1
C. 10
D. 100
6. 已知x 、y >0，且xy ＝1，则(1＋1x )(1＋1
y )的最小值为导学号 98920290( A )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
4
[解析] (1＋1x )(1＋1
y )
＝[12＋(
1x )2][12＋(1y
)2] ≥(1×1＋
1x ×1y )2＝(1＋1xy
)2＝22
＝4， 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立. 二、填空题
7. 若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是__25
2
__. 导学号 98920291
8. 设实数x 、y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值是导学号 98920292 9. 函数f (x )＝2x －6＋15－2x 的最大值是__3__. 导学号 98920293 [解析] 函数的定义域为[6，15
2
]， ∵f (x )＝2x －6＋
15－2x ＝2
2x －12＋
15－2x ， ∴(2
2x －12＋
15－2x )2≤((2)2＋12)×[(
2x －12)2＋(
15－2x )2]＝3×3＝9，
当且仅当215－2x ＝2x －12，即x ＝7时取“＝”.
10. 设x >0，y >0，x ＋y ≤4，则1x ＋1
y 的最小值为__1__. 导学号 98920294
三、解答题
11. 大家分别用“综合法”“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则|ac ＋bd |≤1. 这就是著名的柯西(A. -L . Cauchy ，法国数学家、力学家)不等式当n ＝2时的特例，即(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)，等号当且仅当ad ＝bc 时成立. 导学号 98920295
请用自然语言叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明.
[解析]数学语言叙述柯西不等式：
若a、b、c、d∈R，则(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，等号当且仅当ad＝bc成立. 二维形式的证明：(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2·c2＋b2·d2＋a2·d2＋b2·c2
＝a2·c2＋2abcd＋b2·d2＋a2·d2－2abcd＋b2·c2
＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad－bc＝0，即ad＝bc时，等号成立.
12. 已知θ为锐角，a、b>0，求证(a＋b)2≤a2
cos2θ＋b2
sin2θ. 导学号98920296
[解析]设m＝(a
cosθ，b
sinθ)，n＝(cosθ，sinθ)，
则|a＋b|＝|
a
cosθ·cosθ＋
b
sinθ·sinθ|
＝|m·n|≤|m||n|
＝(
a
cosθ)
2＋(b
sinθ)
2·1
＝
a2
cos2θ＋
b2
sin2θ，
当且仅当a＝k cos2θ，b＝k sin2θ，k∈R时等号成立.
∴(a＋b)2≤a2
cos2θ＋
b2
sin2θ.
B级素养提升
一、选择题
1. 如果实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a、b为常数，那么mx＋ny 的最大值为导学号98920297(B)
A. a＋b
2 B. ab
C. a2＋b2
2 D.
a2＋b2
2
[解析]由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝a
2，x＝y＝
b
2
时，mx＋ny＝ab.
2. 若a、b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是导学号98920298(A)
A. [－25，25]
B. [－210，210]
C. [－10，10]
D. (－5，5]
[解析] (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20， ∴－25≤a －b ≤2 5.
3. 已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是导学号 98920299( B ) A. 56 B. 65 C. 2536
D. 3625
[解析] (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2] ≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 即2x 2＋3y 2≥6
5.
二、填空题
4. 函数y ＝3x －5＋46－x 的最大值为__5__. 导学号 98920300 [解析] ∵y 2＝(3x －5＋4
6－x )2
≤(32＋42)[(
x －5)2＋(6－x )2]
＝25(x －5＋6－x )＝25， 当且仅当3
6－x ＝4
x －5，
即x ＝134
25
时等号成立，∴函数y 的最大值为5.
5. 已知a 、b 、m 、n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__2__. 导学号 98920301
[解析] 根据二维形式的柯西不等式的代数形式知 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，
可得(am ＋bn )(bm ＋an )＝(am ＋bn )(an ＋bm )≥(am ·an ＋bn ·bm )2＝mn (a ＋b )2＝2×1＝2，当且仅当am an ＝bn
bm
，即m ＝n ＝2时，取得最小值2.
6. 函数y ＝x －4＋25－5x 的最大值为导学号 98920302 [解析] ∵y ＝
x －4＋
25－5x ，
∴y ＝1×x －4＋5×5－x
≤
(1＋5)(x －4＋5－x )＝6(当且仅当
5－x ＝5·x －4，即x ＝25
6
时等号成立. )
三、解答题
7. 已知x 2＋y 2＝2，且|x |≠|y |，求
1(x ＋y )2＋1
(x －y )2
的最小值. 导学号 98920303 [解析] 令u ＝x ＋y ，v ＝x －y ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v
2.
∵x 2＋y 2＝2，∴(u ＋v )2＋(u －v )2＝8， ∴u 2＋v 2＝4.
由柯西不等式，得(1u 2＋1
v
2)(u 2＋v 2)≥4，
当且仅当u 2＝v 2＝2，即x ＝±2，y ＝0，或x ＝0，y ＝±2时，1(x ＋y )2＋1
(x －y )2
的最小值
是1.
8. (2016·徐州高二检测)已知a 、b 、c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c . 导学号 98920304
[解析] 证明：由柯西不等式，得a cos 2θ＋b sin 2θ
≤[(a cos θ)2
＋(b cos θ)2
] 1
2
(cos 2θ＋sin 2
θ)12
＝(a cos 2θ＋b cos 2
θ) 12
<c .。