考前解答题串讲(解析)
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3
【解析】 【分析】
(1)先由 ABC 的面积为 AD2 且 D 为 BC 的中点，得到 ABD 的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理 3sinB
即可求出结果；
(2)根据(1)的结果和 BC = 6AB ，可求出 sinBDA 和 sinBAD ；再由余弦定理，即可求出结果.
【详解】
(1)由 ABC 的面积为 AD2 且 D 为 BC 的中点可知: ABD 的面积为 AD2 ,
确定选用公式的顺序．本题属于中档题．
4．在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 的对边，设 p = a + b + c ， S 是 ABC 的面积，求证： 2
（1） c (a cos B − b cos A) = a2 − b2 ；
（2） S = p ( p − a)( p − b)( p − c) .
变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
2．已知在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A,B,C 的对应边，点 D 为 BC 边的中点， ABC 的面积为 AD2 . 3sin B
(1)求 sin BAD sin BDA 的值；
(2)若 BC = 6AB, AD = 2 2 ，求 b ． 【答案】（1） 1 ； （2） 33 .
（1）若 CD = 1+ 3 ，求四边形 ABCD 的面积；
（2）若
sin
BCD
=
3
2 5
，
ADC
0,
2
，求
sin
ADC
.
【答案】（1） 1 + 3 （2） 4 + 3 3
2
10
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得 BD ，由余弦定理求得 cos C ，得 C 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积； （2）由正弦定理求得 sin BDC ，得 cos BDC ，在直角三角形 ABD 中求出角 ADB = ，由两角和
当 B = 时， b = 16 + 25 − 2 4 5 cos 60 = 3
当B
=
2 3
时， b
=
16 + 25 − 2 4 5 cos120 =
21 ； 61 ．
即边 b 的值等于 21 或 61 ．
【点睛】
页1
考前解答题串讲押题卷解析
本题给出三角形中角 B 的三角等式，求角 B 的大小，并在已知面积的情况下求边 b ．着重考查了三角恒等
BD
5
因为
ADC
0,
2
，
所以
BDC
0,
2
，
cos
BDC
=
4 5
.
在 Rt△ABD 中， tan ADB = AB = 3 ， AD 3
所以 ADB = ， 6
所以 sin
ADC
=
sin
BDC
+
64+3 2 5 2 10
3
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理，还考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式等等，运用较多，需
BC = 2BD ,BC = 6
在 ABC 中用余弦定理，可得 b2 = a2 + c2 − 2accosB = 1+ 36 − 21 6 1 = 33,b = 33 . 3
页2
考前解答题串讲押题卷解析
【点睛】 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.
3．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ⊥ AD ， AB = 1， AD = 3 ， BC = 2 .
在 ABD 中由正弦定理可得 BD = AB ,所以 sinBAD = 3sinBDA sinBAD sinBDA
由（1）可知 sinBAD sinBDA = 1 所以 sinBDA = 1 ,sinBAD = 1,
3
3
BAD (0, ) BAD = ,
2
在直角 ABD 中 AD = 2 2,sinBDA = 1 ,所以 AB = 1, BD = 3 . 3
2
3
3
（2）根据正弦定理的面积公式，算出边 c = 5 ．再利用余弦定理 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B 的式子，代入数
据即可算出边 b 的值等于 21 或 61 ．
【详解】
解：（1）由 4sin B sin2 ( + B) + cos 2B = 1 + 3 ，得： 2sin B [1 − cos( + B)] +1 − 2sin2 B = 1 + 3 ，
考前解答题串讲押题卷解析
考前解答题串讲解析
1．在
ABC
中，
4 sin
B sin2
4
+
B 2
+
cos 2B
=1+
3.
（1）求角 B 的度数；
（2）若 a = 4 ， S△ = 5 3 ，求边 b 的值.
【答案】（1） B = 或 B = 2 ；（2）
3
3
21 或
61 ．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出 sin B = 3 ，结合 B 是 ABC 的内角可 B = 或 B = 2 ；
4
所以 S
ABD
=
1 2
AB AD
=
3， 2
页3
S
ABD
=
1 2
BC CD sin C
= 1+ 2
3
，
所以 ABCD 的面积 S
=
S
ABD
+S
BCD
=
1+ 2
3.
考前解答题串讲押题卷解析
（2）在 BCD 中，由正弦定理知： BC = BD ， sin BDC sin BCD
所以 sin BDC = BC sin BCD = 3 .
6 的正弦公式可得 sin ADC ．
【详解】
解：（1）连接 BD，在 Rt△ABD 中，
由勾股定理得： BD2 = AB2 + AD2 = 4 ， 所以 BD = 2 ，
在 BCD 中，由余弦定理知： cos C = BC2 + CD2 − BD2 = 2 ，
2BC CD
2
因为 C (0, ) ，所以 C ，
42
2
可得 sin B = 3 ， 2
又 B 是 ABC 的内角，
B = 或 B = 2 ；
3
3
（2） a = 4 ， S△ = 5 3 ，
1 ac sin B = 1 4 c 3 = 5 3 ，解得 c = 5 ，
2
2
2
由余弦定理，得 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，
3sinB
6sinB
由三角形的面积公式可知: 1 AB BD sinB = AD2 ,
2
6sinB
由正弦定理可得: 3sinBAD sinBDA = 1,
所以 sinBAD sinBDA = 1 , 3
(2) BC = 6AB ,又因为 D 为中点，所以 BC = 2BD = 6AB ,即 BD = 3AB ,
【解析】 【分析】
(1)先由 ABC 的面积为 AD2 且 D 为 BC 的中点，得到 ABD 的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理 3sinB
即可求出结果；
(2)根据(1)的结果和 BC = 6AB ，可求出 sinBDA 和 sinBAD ；再由余弦定理，即可求出结果.
【详解】
(1)由 ABC 的面积为 AD2 且 D 为 BC 的中点可知: ABD 的面积为 AD2 ,
确定选用公式的顺序．本题属于中档题．
4．在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 的对边，设 p = a + b + c ， S 是 ABC 的面积，求证： 2
（1） c (a cos B − b cos A) = a2 − b2 ；
（2） S = p ( p − a)( p − b)( p − c) .
变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
2．已知在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A,B,C 的对应边，点 D 为 BC 边的中点， ABC 的面积为 AD2 . 3sin B
(1)求 sin BAD sin BDA 的值；
(2)若 BC = 6AB, AD = 2 2 ，求 b ． 【答案】（1） 1 ； （2） 33 .
（1）若 CD = 1+ 3 ，求四边形 ABCD 的面积；
（2）若
sin
BCD
=
3
2 5
，
ADC
0,
2
，求
sin
ADC
.
【答案】（1） 1 + 3 （2） 4 + 3 3
2
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【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得 BD ，由余弦定理求得 cos C ，得 C 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积； （2）由正弦定理求得 sin BDC ，得 cos BDC ，在直角三角形 ABD 中求出角 ADB = ，由两角和
当 B = 时， b = 16 + 25 − 2 4 5 cos 60 = 3
当B
=
2 3
时， b
=
16 + 25 − 2 4 5 cos120 =
21 ； 61 ．
即边 b 的值等于 21 或 61 ．
【点睛】
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考前解答题串讲押题卷解析
本题给出三角形中角 B 的三角等式，求角 B 的大小，并在已知面积的情况下求边 b ．着重考查了三角恒等
BD
5
因为
ADC
0,
2
，
所以
BDC
0,
2
，
cos
BDC
=
4 5
.
在 Rt△ABD 中， tan ADB = AB = 3 ， AD 3
所以 ADB = ， 6
所以 sin
ADC
=
sin
BDC
+
64+3 2 5 2 10
3
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理，还考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式等等，运用较多，需
BC = 2BD ,BC = 6
在 ABC 中用余弦定理，可得 b2 = a2 + c2 − 2accosB = 1+ 36 − 21 6 1 = 33,b = 33 . 3
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考前解答题串讲押题卷解析
【点睛】 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.
3．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ⊥ AD ， AB = 1， AD = 3 ， BC = 2 .
在 ABD 中由正弦定理可得 BD = AB ,所以 sinBAD = 3sinBDA sinBAD sinBDA
由（1）可知 sinBAD sinBDA = 1 所以 sinBDA = 1 ,sinBAD = 1,
3
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BAD (0, ) BAD = ,
2
在直角 ABD 中 AD = 2 2,sinBDA = 1 ,所以 AB = 1, BD = 3 . 3
2
3
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（2）根据正弦定理的面积公式，算出边 c = 5 ．再利用余弦定理 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B 的式子，代入数
据即可算出边 b 的值等于 21 或 61 ．
【详解】
解：（1）由 4sin B sin2 ( + B) + cos 2B = 1 + 3 ，得： 2sin B [1 − cos( + B)] +1 − 2sin2 B = 1 + 3 ，
考前解答题串讲押题卷解析
考前解答题串讲解析
1．在
ABC
中，
4 sin
B sin2
4
+
B 2
+
cos 2B
=1+
3.
（1）求角 B 的度数；
（2）若 a = 4 ， S△ = 5 3 ，求边 b 的值.
【答案】（1） B = 或 B = 2 ；（2）
3
3
21 或
61 ．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出 sin B = 3 ，结合 B 是 ABC 的内角可 B = 或 B = 2 ；
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所以 S
ABD
=
1 2
AB AD
=
3， 2
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S
ABD
=
1 2
BC CD sin C
= 1+ 2
3
，
所以 ABCD 的面积 S
=
S
ABD
+S
BCD
=
1+ 2
3.
考前解答题串讲押题卷解析
（2）在 BCD 中，由正弦定理知： BC = BD ， sin BDC sin BCD
所以 sin BDC = BC sin BCD = 3 .
6 的正弦公式可得 sin ADC ．
【详解】
解：（1）连接 BD，在 Rt△ABD 中，
由勾股定理得： BD2 = AB2 + AD2 = 4 ， 所以 BD = 2 ，
在 BCD 中，由余弦定理知： cos C = BC2 + CD2 − BD2 = 2 ，
2BC CD
2
因为 C (0, ) ，所以 C ，
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可得 sin B = 3 ， 2
又 B 是 ABC 的内角，
B = 或 B = 2 ；
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3
（2） a = 4 ， S△ = 5 3 ，
1 ac sin B = 1 4 c 3 = 5 3 ，解得 c = 5 ，
2
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由余弦定理，得 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，
3sinB
6sinB
由三角形的面积公式可知: 1 AB BD sinB = AD2 ,
2
6sinB
由正弦定理可得: 3sinBAD sinBDA = 1,
所以 sinBAD sinBDA = 1 , 3
(2) BC = 6AB ,又因为 D 为中点，所以 BC = 2BD = 6AB ,即 BD = 3AB ,