江苏省盐城中学高二数学暑假作业18：立体几何(1)(教师版)

盐城中学高二数学暑假作业（十八）
-----立体几何（1）
姓名 学号 班级
一、填空题
1.“b a 、是异面直线”是指（1）φ=b a I ，但a 不平行于b ；（2）⊂a 平面α，⊂b 平面β且φ=b a I ；
（3）⊂a 平面α，⊂b 平面β且α∩β=φ；（4）⊂a 平面α，⊄b 平面α；（5）不存在任何平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立，上述结论中， 正确的是 （1），（5） ．
2.以下七个命题，其中正确命题的序号是____（1）（3）（4）______． （1）垂直于同一直线的两个平面平行；
（2）平行于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一平面的两个平面平行；
（4）一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行； （5）与同一条直线成等角的两个平面平行；
（6）一个平面上有共线三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； （7）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行．
3.“直线m 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥m ”的_____必要而不充分________条件.
4.设有如下三个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体。

其中真命题的个数是 1 .
5. 长方体全面积为11，十二条棱长之和为24，则长方体的一条对角线长为 5 .
6.点B A ,到平面α的距离分别是cm cm 6,4,则线段AB 的中点M 到平面α的距离为 1或5. .
7. 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为___π12______3cm ． 8.已知正四棱锥P-ABCD 的棱长为32a ，侧面等腰三角形的顶角为30︒，则从点A 出发环绕侧面一周后回到A 点的最短路程等于 4a ．
9.不重合的三条直线，若相交于一点，可以确定___________平面；若相交于两点可确定__________平面；若相交于三点可确定_________平面. . 1或3; 1或2; 1.
10．在四棱锥P _ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足什么条件时，AOB P V -恒为定值（写上认为正确的一个条件）: ．
11．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___12323S S S +=______．
12.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,EF 是异面直线AC, A 1D 的公垂线,则EF 和B D 1的关系是_____平行_________. 13．高为
2
4
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 1 .
14.在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边,AB AC 互相垂直，则222AB AC BC +=.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积和底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面,,ABC ACD ADB 两两互相垂直，则__
2222S ABC S ACD S ADB S BCD ++=V V V V ____.
二．解答题
所以
PN ||DC ，且DC PN 2
1
=
，
又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ||DC ，且DC AM 2
1
=
， 所以PN ||
AM
，且AM PN =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ||
AP
A B
C D
D
C
B
A 而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，所以MN ∥平面DAE ． 16. 直棱柱1111D C
B A ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠AD
C ＝90°，222===C
D AD AB ． （1）求证：⊥AC 平面C BC B 11；
（2）在11B A 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与 平面1ACB 都平行？证明你的结论．
17.如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．
证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，
∴A ，B ，C ，D 四点共面．
又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．
∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线． ∴AB ∥CD ． 同理AD ∥BC ．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
18. .如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，
1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =
，AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.
（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ；
B C D B 1 D 1 C 1
α A 1
B 2
A 2 C 2 D 2
β
E A 1
B 1
C 1
M
（Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．
（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC
又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点， 所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分
因为1AA AB A =I ， ……………………………………………………… 3分 所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，
因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，
所以1//NG BB ，11
2NG BB =. 又因为1//CM BB ，11
2
CM BB =，
所以//CM NG ，CM NG =.
所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分 因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分
所以11MN M N 112442323
B A AB V V --==⨯=. ………………………… 13分
19.在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2
的等边三角形，2AB =，O 是AB 中点．
（1）在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC .
解: （Ⅰ）当M 为棱PA 中点时，OM ∥平面PBC .
证明如下：
,M O Q 分别为,PA AB 中点， ∴OM ∥PB
又PB ⊂平面PBC ，OM ⊄平面PBC
OM ∴∥平面PBC . --------------------6分
（Ⅱ）连结OC ，OP
AC CB ==Q ，O 为AB 中点，2AB =,
OC ∴⊥AB ，1OC =.
同理, PO ⊥AB ，1PO =.
又PC =
,
2222PC OC PO ∴=+=, 90POC ∴∠=o .
PO ∴⊥OC .
Q PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,
PO ∴⊥平面ABC . PO ⊂Q 平面PAB
∴平面PAB ⊥平面ABC . --------------------12分
20．如图，平面⊥ABEF 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
,90︒=∠=∠FAB BAD AD BC 21//
，AF BE 2
1
//，H G ,分别为FD FA ,的中点 （1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）E F D C ,.,,四点是否共面？为什么？
（3）设BE AB =，证明：平面⊥ADE 平面CDE ．
解：（1）由题意知，,FG GA FH HD ==
所以GH
//
=
12AD 又BC
//
=
12AD ，故GH
//
=
BC
所以四边形BCHG 是平行四边形。

（2）,,,C D F E 四点共面。

理由如下：
由BC
//=
12AF ，G 是FA 的中点知，BE
//
=
GH ，所以//EF BG
由（Ⅰ）知//BG CH ，所以//EF CH ，故,EC FH 共面。

又点D 在直线FH 上 所以,,,C D F E 四点共面。

（3）连结EC ，由AB BE =，BE
//=
AG 及090BAG ∠=知ABEG 是正方形
故BG EA ⊥。

由题设知,,FA FD AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ， 因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，根据三垂线定理，BG ED ⊥ 又ED EA E =I ，所以BG ⊥平面ADE 由（Ⅰ）知//CH BG ，所以CH ⊥平面ADE 。

由（Ⅱ）知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE。