《复数加减法的几何意义》 导学案

《复数加减法的几何意义》导学案
一、学习目标
1、理解复数加减法的几何意义。

2、掌握复数加减法的几何运算。

3、能够运用复数加减法的几何意义解决相关问题。

二、知识回顾
1、复数的概念
形如＼（a ＋bi\）（＼（a,b\in R\））的数叫做复数，其中＼（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。

当＼（b ＝ 0\）时，复
数＼（a ＋ bi\）为实数；当＼（b ＼neq 0\）时，复数＼（a ＋ bi\）
为虚数；当＼（a ＝ 0\）且＼（b ＼neq 0\）时，复数＼（a ＋ bi\）
为纯虚数。

2、复数的几何表示
在复平面内，复数＼（z ＝ a ＋ bi\）对应点的坐标为＼（（a,b)＼），其中＼（a\）为横坐标，＼（b\）为纵坐标。

三、新课导入
我们已经学习了复数的概念和几何表示，那么复数的加减法在几何
上又有怎样的意义呢？让我们一起来探究吧！
四、复数加法的几何意义
设复数＼（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\），在复平面内，它们对应的向量分别为\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼）（其中＼（O\）为坐标原点）。

则＼（z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i\），对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ}＼），其中＼（Z\）点的坐标为＼（（a_1 ＋ a_2, b_1 ＋ b_2)＼）。

我们发现，＼（＼overrightarrow{OZ} ＝＼overrightarrow{OZ_1} ＋＼overrightarrow{OZ_2}＼），这表明两个复数的和对应的向量是以这两个复数对应的向量为邻边的平行四边形的对角线。

例如，复数＼（z_1 ＝ 1 ＋ 2i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_1} ＝（1,2)＼），复数＼（z_2 ＝ 3 ＋ i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_2} ＝（3,1)＼）。

则＼（z_1 ＋ z_2 ＝ 4 ＋ 3i\），对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ} ＝（4,3)＼）。

我们可以画出这三个向量，很容易看出＼（＼overrightarrow{OZ}＼）是由＼（＼overrightarrow{OZ_1}＼）和＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼）构成的平行四边形的对角线。

五、复数减法的几何意义
同样，对于复数＼（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋
b_2i\），则＼（z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i\）。

其几何意义是：两个复数的差对应的向量是连接这两个复数对应向量的终点，并指向被减数对应向量终点的向量。

例如，复数＼（z_1 ＝ 5 ＋ 3i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_1} ＝（5,3)＼），复数＼（z_2 ＝ 2 ＋ i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_2} ＝（2,1)＼）。

则＼（z_1 z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），对应的向量为＼（＼overrightarrow{Z_2Z_1} ＝（3,2)＼）。

从图中可以清晰地看到，＼（＼overrightarrow{Z_2Z_1}＼）就是连接＼（Z_2\）和＼（Z_1\），且指向＼（Z_1\）的向量。

六、复数加减法几何意义的应用
1、求复数的模
已知复数＼（z ＝ a ＋ bi\），则其模为＼（｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2}＼）。

利用复数加减法的几何意义，可以将复数的模与向量的长度联系起来。

例如，对于复数＼（z ＝ 3 ＋ 4i\），其对应的向量为＼（（3,4)＼），则＼（｜z| ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）。

2、判断复数所对应的点的位置关系
通过复数加减法的几何意义，可以判断两个复数所对应的点之间的位置关系，比如是否共线等。

例如，若有复数＼（z_1\），＼（z_2\），＼（z_1 z_2\）的实部和虚部都为零，则＼（z_1\），＼（z_2\）对应的点重合；若＼（z_1 z_2\）为实数，则＼（z_1\），＼（z_2\）对应的点在同一条平行于
实轴的直线上；若＼（z_1 z_2\）为纯虚数，则＼（z_1\），＼
（z_2\）对应的点在同一条平行于虚轴的直线上。

3、求动点轨迹方程
已知复数＼（z\）满足一定的条件，如＼（｜z z_0| ＝ r\）（其
中＼（z_0\）为已知复数，＼（r\）为常数），则复数＼（z\）对应的点的轨迹是以＼（z_0\）对应的点为圆心，＼（r\）为半径的圆。

例如，若＼（｜z （1 ＋ 2i)｜＝ 2\），则复数＼（z\）对应的点的轨迹是以＼（1 ＋ 2i\）对应的点＼（（1,2)＼）为圆心，＼（2\）为半径的圆。

七、典型例题
例 1：已知复数＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝－1 ＋ 4i\），求＼（z_1 ＋ z_2\）并画出其对应的向量。

解：＼（z_1 ＋ z_2 ＝（2 1) ＋（3 ＋ 4)i ＝ 1 ＋ 7i\），对应的向量为＼（（1,7)＼）。

在复平面内画出向量＼（（1,7)＼）。

例 2：若复数＼（z\）满足＼（｜z （2 i)｜＝ 3\），求复数＼（z\）对应的点的轨迹方程。

解：由复数减法的几何意义可知，复数＼（z\）对应的点的轨迹是
以＼（2 i\）对应的点＼（（2,－1)＼）为圆心，＼（3\）为半径的圆。

其方程为＼（（x 2)＾2 ＋（y ＋ 1)＾2 ＝ 9\）。

八、课堂练习
1、已知复数＼（z_1 ＝ 3 2i\），＼（z_2 ＝－2 ＋ i\），求＼
（z_1 z_2\）并画出其对应的向量。

2、若复数＼（z\）满足＼（｜z ＋ 1 2i| ＝ 2\），求复数＼（z\）对应的点的轨迹方程。

九、课后作业
1、复习本节课所学内容，重点理解复数加减法的几何意义。

2、完成课本上相关习题。

3、思考：如何利用复数加减法的几何意义解决更复杂的问题？
通过本节课的学习，我们深入理解了复数加减法的几何意义，并通
过实例和练习掌握了其应用。

希望同学们在今后的学习中能够灵活运
用这一知识，解决更多与复数相关的问题。