人教A版必修四 平面向量的坐标运算 课时作业

2.3.3 平面向量的坐标运算
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．已知a ＝(3，1)，b ＝(－2，5)，则3a －2b ＝( )
A ．(2，7)
B ．(13，－7)
C ．(2，－7)
D ．(13，13)
解析：3a －2b ＝3(3，1)－2(－2，5)＝(13，－7)．故选B.
答案：B
2．已知向量a ＝(1，2)，2a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( )
A ．(1，－2)
B ．(1，2)
C ．(5，6)
D ．(2，0)
解析：b ＝(3，2)－2a ＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．
答案：A
3．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|
＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35
，－45. 答案：A
4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )
A ．(1，－1)
B ．(－1，1)
C ．(－4，6)
D ．(4，－6)
解析：因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0， 故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：D
5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )
A ．－2，1
B ．1，－2
C ．2，－1
D ．－1，2
解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，
所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4， 解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
二、填空题
6．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________． 解析：因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，
所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________． 解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，
所以F 3＝－F 1－F 2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．
答案：(－3，－4)
8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →
＝3a ，则点B 的坐标为________．
解析：OA →＝(－1，－5)，AB →
＝3a ＝(6，9)，
故OB →＝OA →＋AB →
＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
三、解答题
9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →
|＝43，∠xOA ＝60°.
(1)求向量OA →
的坐标；
(2)若B (3，－1)，求BA →
的坐标．
解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin
60°＝6，即A (23，6)，OA →
＝(23，6)．
(2)BA →
＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．
10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →
＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．
(1)求线段BD 的中点M 的坐标；
(2)若点P (2，y )满足PB →
＝λBD →(λ∈R)，求λ与y 的值．
解：(1)设B (x 1，y 1)，
因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，
所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1. 所以B (3，1)．
同理可得D (－4，－3)，
设BD 的中点M (x 2，y 2)，
则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1. (2)由PB →
＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又PB →＝λBD →(λ∈R)，
所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.
B 级 能力提升
1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .
解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，45. 答案：A
2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →
＝(1，5)，则BC →
＝________．
解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →
，所以PC →＝PQ →＋QC →
＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．
因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →
＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．
设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；
(3)求M ，N 的坐标及向量MN →
的坐标．
解析：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧m ＝－1，n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，
因为CM →
＝OM →－OC →＝3c ，
所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M (0，20)．
又因为CN →＝ON →
－OC →＝－2b ， 所以ON →＝－2b ＋OC →
＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N (9，2)，所以MN →
＝(9，－18)．。