2019-2020学年天津市河东区高二(下)期中数学试卷(有答案解析)

2019-2020学年天津市河东区高二（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）
1.若复数的实部与虚部之和为零，则b的值为
A. 2
B.
C.
D.
2.i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数
A. B. 0 C. 1 D. 0或1
3.下列式子错误的是
A. B. C. D.
4.设，若在处的导数，则的值为
A. B. C. 1 D.
5.若复数z满足为虚数单位，则为
A. B. C. D.
6.复数，则
A. B. 4 C. 5 D. 25
7.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的
图象可能为
A. B. C. D.
8.已知函数，则的值为
A. 1
B. 2
C.
D.
9.设是定义在上的可导函数，，且，则不等式
的解集为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10.已知i为虚数单位，则复数______．
11.设，，其中i为虚数单位．若，则z在复平面上对应点的
坐标为______．
12.已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，，那么，的大小
关系为______．
13.已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
14.函数的图象在点处切线方程为______．
15.若函数在处取得极小值，则______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
16.已知复数为虚数单位．
若，求z；
若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围．
17.求下列函数的导数：
．
18.已知函数图象上一点处的切线方程为，求a，
b的值．
19.已知函数．
若函数，，求函数的单调区间；
若不等式有解，求k的取值范围．
20.已知函数．
若，求函数的单调区间；
若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；
若、，且，求证：
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：由复数的实部与虚部之和为零，
得，即．
故选：A．
由复数的实部与虚部之和为零，得，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C
解析：【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：是纯虚数，
，即．
故选：C．
3.答案：B
解析：解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，，正确；
对于D，，正确；
故选：B．
根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
4.答案：B
解析：解：由，得．
由，解得：．
故选：B．
直接求出原函数的导函数，由列式求解的值．
本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．5.答案：A
解析：解：为虚数单位，
，
，
解得．
则．
故选：A．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.答案：C
解析：解：，
，
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7.答案：A
解析：解：由的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，
在y轴的右侧，函数单调递减，
导函数的图象可能为区间内，先有，
再有，在再有．
故选：A．
先从的图象判断出的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题
8.答案：D
解析：解：，
，
令，
则，
则，
则，
则，
故选：D．
求函数的导数，即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，利用导数求出的值是解决本题的关键．
9.答案：D
解析：解：是偶函数且大于0，，
则为上的奇函数和增函数，
，
则，
故选：D．
求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式组，解出即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．10.答案：i
解析：解：；
故答案为：i．
直接利用虚数单位i的运算性质得答案
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．
11.答案：
解析：解：，
则z在复平面上对应点的坐标为．
故答案为：．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：
解析：【分析】
本题考查平均变化率，属于基础题．
根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【解答】
解：当时，平均变化率，
当时，平均变化率，
，
故答案为：
13.答案：
解析：解：，
若函数有两个极值点，
则和在R上有2个交点，
，
时，即，递增，
时，，递减，
故，
而恒成立，所以，
故答案为：
求出函数的导数，问题转化为和在R上有2个交点，根据函数的单调性求出的
范围，从而求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
14.答案：
解析：解：由，得，
则，又，则切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
15.答案：2
解析：解：求导函数可得，
，解得，或，
当时，，函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，函数在处取得极大值，不符合题意，．
故答案为：2
通过对函数求导，根据函数在处有极值，可知，解得a的值，再验证可得结论．本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．
16.答案：解：，
若，则，得，此时；
若z在复平面内对应的点位于第一象限，
则且，
得，即，
即a的取值范围是．
解析：利用复数的四则运算，先进行化简，结合若，即可求z；
结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a的取值范围．
本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．17.答案：解：
；
解析：积的导数等于，再用复合函数的导数
即可；
商的导数，再用复合函数的导数即
可．
考查乘积和商的导数即复合函数的导数求法，属于基础题．
18.答案：解：函数的导数为，
所以，解得，．
解析：先求函数的导数，利用切线方程可得切线斜率，即，同时由切线方程可得的值，联立方程可求a，b．
本题的考点是导数的几何意义，以及导数的基本运算．
19.答案：解：函数，，
，
，．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增．
不等式有解．
令，
在R上单调递增，且．
函数在上单调递减，在单调递增．
时，使得取得极小值即最小值．
．
的取值范围是．
解析：函数，，
，由，可得即可得出单调性．
不等式有解令
，利用导数研究其单调性极值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20.答案：解：的定义域是，
，
时，，
由，解得：或，
由，解得：，
故在递增，在递减，在递增；
由得：，
若函数在区间递增，
则有在内恒成立，
即恒成立，
又函数在时取得最小值9，故；
证明：当时，不等式显然成立，
当时，，，要原不等式成立，
只要成立即可，
令，
故只要即可，
由可知函数在递增，
故，
故成立，
故原不等式成立．
解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
问题转化为成立即可，令，故只要
即可，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，转化思想，是一道综合题．。