【华东师大版】高中数学必修五期末试卷含答案(2)

一、选择题
1．已知实数x ，y 满足22
1x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩
且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为
（ ）． A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
2．函数()2
1f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()()
,b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A
．B
C ．1
D ．2
3．设x ，y 满足约束条件1
x y a
x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）
A ．5-
B ．3
C ．5-或3
D ．5或3-
4．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则
12
4123
a b +++的最小值为（ ） A
B
C
D
5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）
A ．
360sin
n
n
π︒ B ．
360cos
n
n
π︒ C ．
180cos
n
n
π︒ D ．
90cos
n
n
π︒ 6．设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知4cos 5
C =
，sin 5sin b C c A =，则
c
a
=（ ） A ．5
B
C
．D
7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则
ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =
，b =
B 为（ ）
A ．60︒
B ．60︒或120︒
C ．30
D ．30或150︒
9．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022
B ．1023
C ．2046
D ．2047
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有22
33
n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4
B ．2
C ．3或4
D ．6
11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．
9
2
B ．
254
C ．
458
D ．
409
12．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()2
1102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则
n =( )．
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
二、填空题
13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则z =__________．
14．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，
1
2
DC =
，则AC =_________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______.
16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．
17．设x 、y 满足约束条件220
10240x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．
18．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪⎩
时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
19．在等比数列{}n a 中，251
4,
2
==
a a ，则公比q =__________．
20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若22a =-，714S =，则10a =__________.
三、解答题
21．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.
22．已知函数()2
45y x x x R =-+∈.
（1）求关于x 的不等式2y <的解集；
（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1
||2
AB AC AC ⋅=
，且1c =. 在①cos cos 2a C c A +=；② sin 3cos b C c B c -=；③ sin 2sin a B c A =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. （1）求角A ；
（2）若___________，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
24．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边
AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN △地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.
（1）当3km 2
AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？
（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使
OMN 的面积最小？最小面积是多少？
25．已知等差数列{}n a 满足，*n ∀∈N ，1n n a a +>，12a =且1a ，2a ，4a 成等比数列．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
26．在①2
22n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③
2
142
n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，
11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
作出不等式组22
1x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩
对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .
【详解】
由题意可作图：
当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，
此时P 符合：2
x m
y x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：
m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】
简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．
2．D
解析：D 【分析】
先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】
111
()2()22f x x b k f b b b x b b
''=
+-∴==+≥⋅= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】
利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
3．B
解析：B 【分析】
画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】
根据题中约束条件1x y a
x y +≥⎧⎨-≤-⎩
可画出可行域如图所示，
两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫
⎪⎝⎭
处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,2
2a a A -+⎛⎫
⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则221
72a a +-=，解得3a =，故选B.
【点睛】
本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
4．C
解析：C 【分析】
由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】
直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则
1216
412311696a b b b
+=+++-+ 120=
[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（16
11696b b
+-+）
120=
（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，
当且仅当
()61169611696b b b b -+=
-+时，即b 156-=，a 5
4
=，上式取得最小值
， 故选：C ． 【点评】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．
5．C
解析：C
【分析】
设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
180180
sin
cos
n n n n
π⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180
sin
n n n
π⨯=，问题得解. 【详解】
设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
221360sin
2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360
sin 2n n
π≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯
⨯=，即：180180
sin cos
n n n n
π⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
221
3602sin
2
2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360180
2sin sin 22n n n n
π≈⨯⨯=⨯ 此时2180
sin
n n n
π⨯= 所以
2180
sin
180cos n
n n n
n
ππ==⨯ 故选C 【点睛】
本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．
6．C
解析：C 【分析】
先根据正弦定理对sin 5sin b C
c A =边角互化得5b a =，再结合余弦定理整理得c
a
=. 【详解】
解：因为sin 5sin b C c A =，所以5bc ac =，即5b a =． 所以由余弦定理得：2
2
2
24
2525185
c a a a a a
=+-⋅⋅=， 整理化简得：c
a
= 故选：C. 【点睛】
本题考查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础题.
7．B
解析：B 【分析】
根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】
2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，
所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2
A B π
+=，故ABC ∆是直角三角形.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.
8．C
解析：C 【分析】
根据正弦定理得到1
sin 2
B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】 根据正弦定理：sin sin a b
A B =，即1sin 2
B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：
C . 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.
9．D
解析：D 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】
当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n n
a ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，
∴所求和为11
12204712
S -==-．
故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．
10．A
解析：A 【分析】
利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】
对任意的*n N ∈有2233
n n S a =-， 可得：11122
33a S a ==
- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，1122
33
n n S a --=-
两式相减得1122
33
n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，
所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，
所以()2n
n a =-，()()()212212123
n
n n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以2
11(2)123
k k S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以
5
(219)2
k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而
可求得本题答案. 【详解】
因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；
当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，11
2
n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比1
2
q =
，首项13a =， 则()
44
14
131124511812
a q S q
⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
==
--. 故选：C 【点睛】
本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.
12．C
解析：C 【分析】
由2110n n n a a a -+-+=，可得2
112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和
公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，等差数列{}n a 中，()2
1102n n n a a a n -+-+=≥，可得2
112n n n n a a a a -++==，
又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()
(2)3812
n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是
解析：
5
【分析】
画出满足条件的平面区域，结合2
2(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可． 【详解】
画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，的平面区域，如图所示：
而22(4)z x y =++()40-，
的距离， 显然()40-，
到直线240x y -+=的距离是最小值， 由8445541
d -+=
=
+，得最小值是5
5
， 45． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
14．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过 3【分析】 由面积比得
2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2AB
AC
=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ． 【详解】
由已知
1
sin 221sin 2
ABD ACD BD AD ADB
S BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，1
2
CD =，则1BD =， 又AD 平分BAC ∠，所以
2AB BD
AC CD
==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，2222
2114cos 1222
BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠=
==-⋅， 同理，ACD △中，2
21154cos 14212
x ADC x +-∠=
=-⨯⨯， 因为180ADB ADC ∠+∠=︒，
所以2
25cos cos 1204
ADB ADC x x ∠+∠=-+-=
，解得x （负的舍去），
故答案为：2
． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过
180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．
15．2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力
解析：2 【分析】
直接利用正弦定理得到答案. 【详解】
根据正弦定理得到：
sin sin a b A B
=，故9sin 10B =，9
1sin sin 10B A >=
>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.
16．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-
【分析】
由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】
()2a c cosB bcosC -=
根据正弦定理得：
()2sinA sinC cosB sinBcosC -=
2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+
()2sinAcosB sin B C =+
2sinAcosB sinA =
12
cosB ∴=
, 60B ∴=
1||2332AB BC AB BC cosB ⎛
⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝
⎭
故答案为3- 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然
解析：16 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线
2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．
【详解】
作出x 、y 满足约束条件220
10240x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
表示的平面区域，如图所示：
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，
z 越大
作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大
由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.
18．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点
解析：)4，
⎡+∞⎣ 【分析】
先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即
max |2|x y a -≤，即可得出答案.
【详解】
由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.
则()()1,0,1,3A C ,由270
10x y x y +-=⎧⎨--=⎩
，得()3,2B .
当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，
当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.
所以|2|4x y -≤，所以4a ≤
故答案为：[)4+∞，
. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.
19．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：
12
【分析】
本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组214
51412a a q a a q ==⎧⎪
⎨==⎪⎩
解题即可. 【详解】
解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，45
1a a q
∵24a =，512a =，∴ 214
51412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：18
12a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
， 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量法，是基础题.
20．14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题
解析：14 【分析】
本题先求1a 、d ，再求10a 即可解题. 【详解】
解：因为数列{}n a 是等差数列，22a =-，714S =
所以217127(71)
7142a a d S a d =+=-⎧
⎪
⎨⨯-=+=⎪⎩
，解得142a d =-⎧⎨=⎩，
所以101914a a d =+= 故答案为：14 【点睛】
本题考查等差数列的基本量法，是基础题.
三、解答题
21．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞
【分析】
(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）； (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】
(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ， ∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，
∴ f(x ＋1)－f(x)=()()2
11a x b x c ++++-()
2ax bx c ++=2ax+a+b=2x
∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11
a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．
(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0． 化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1． ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
22．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，
【分析】
（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；
（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数2
45y x x =-+的最小值，并利用配方法求得
最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解. 【详解】
(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<， 所以2y <的解集为{|13}x x <<；
(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<， 由()2
24521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1， 所以31m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，
所以实数m 的取值范围为()2,4. 【点睛】
本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般. 23．（1）3
A π
=； （2
）
2
【分析】
（1）由1||2
AB AC AC ⋅=
，得到1cos 2AB A =，进而求得1
cos 2A =，即可求解；
（2）分别选①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得2B π
=，得到4
ABD π∠=，进而
得到sin ADB ∠的值，在ABD △中结合正弦定理，即可求解. 【详解】
（1）由1||2
AB AC AC ⋅=，可得1
cos ||2AB AC A AC ⋅=，
所以1cos 2AB A =，又由1c =，所以1
cos 2
A =，
因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
.
（2）若选①：因为cos cos 2a C c A +=，
由余弦定理可得222222
222a b c b c a a c ab bc
+-+-⋅+⋅=，整理得2
20b b ，解得2b =，
又由余弦定理可得2
2
2
2
2
1
2cos 2122132
a b c bc A =+
-=+-⨯⨯⨯=，即a = 因为222a c b +=，所以2
B π
=
，
又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4
ABD π
∠=
，所以
5()3412
ADB πππ
π∠=-+=，
则sin sin[(
)]sin cos cos sin 343434
ADB π
πππππ
π∠=-+=+=
， 在ABD △
中，由正弦定理可得
sin sin 2
24
AB
BD A ADB
=
⋅=
=
∠. 若选②：由sin cos b C
B c =，
根据正弦定理可得sin sin cos sin B C C B C =， 因为(0,)
C π∈，可得sin 0C >，所以sin 1B B =，
可得sin 2sin()13
B B B π
-=-=，即1sin()32
B π-=，
因为23
3
3
B π
π
π-
<-
<
，所以36B ππ-=，可得2B π=
又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4
ABD π
∠=
，所以
5()3412
ADB πππ
π∠=-+=，
则sin sin[(
)]sin cos cos sin 343434
ADB π
πππππ
π∠=-+=+=
， 在ABD △
中，由正弦定理可得
sin sin 2
24
AB
BD A ADB
=
⋅=
=
∠. 若选③：由sin 2sin a B c A =，
根据正弦定理可得sin sin 2sin sin A B C A =， 因为(0,)C π∈，可得sin 0C >，可得sin 2sin B C =， 又由()()3
C A B B π
ππ=-+=-+，
可得sin 2sin 2sin()sin 3
B C B B B π
==+=+，所以cos 0B =，
因为(0,)B π∈，所以2
B π
=
.
又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4
ABD π
∠=
，所以
5()3412
ADB πππ
π∠=-+=，
则sin sin[(
)]sin cos cos sin 343434
ADB π
πππππ
π∠=-+=+=
， 在ABD △
中，由正弦定理可得sin sin 22AB
BD A ADB
=
⋅=
=
∠. 【点睛】
方法点睛：对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
24．（1）9km ；（2
3）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为
(
2
272km 4
.
【分析】
（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得
MN
AM
，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.
（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN
的面积最小为(
2
272km 4
.
【详解】
（1）在三角形OAM
中，由余弦定理得2OM ==，所以2
2
2279
944
OM AM OA +=
+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等
边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得
sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒
=⇒=︒︒︒
，
在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得
sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒
=⇒==︒︒︒︒︒
.
所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302
MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒
====︒=︒︒︒︒︒
以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，
所以
3OMN OMN
OAM
OAM
S MN
S S
S
AM
=
=
=，
即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.
（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=
︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得
()333sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ⋅︒==⇒==︒︒-.
在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得
()()()
333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 60OM OM θθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒.
所以
()()11271
sin 30242cos 2sin 6016sin 60cos OMN
S
OM ON θθθθ
=⋅⋅⋅︒=⋅⋅=⋅+︒+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ
=
⋅︒+︒⋅
27271616=
=
2727168=
=
27278
4=
=
.
由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，
OMN
S △
最小值为
(22722727km 444
-==.
【点睛】
求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.
25．（1）2n a n =，n ∈+N ；（2）()2
214n n S n +=-+.
【分析】
（1）根据题意可知2
214a a a =，而12a =即可解出d ，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）知，2n a n =，所以22n
n b n =⋅，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n
项和n S ． 【详解】
（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2
214a a a =，()()2
1113a d a a d +=+．
又因为12a =，解得2d =或0d =（舍），所以2n a n =，n ∈+N ．
（2）由（1）知，2n a n =，所以22n
n b n =⋅． 因为2222422n
n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，
2312222422n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
21222222222n n n n S S n +-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯
化简得()22
14n n S n +-=--，即()2214n n S n +=-+．
【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．常见的数列求和方法：公式法，倒序相加求和法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法，并项求和法等．
26．见解析
【分析】
根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T .
【详解】
若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，
又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =，
故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=，
所以()()2212
n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯ 故()111111=232311
n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 若选②，由题设可得11
126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 同①可得131
n n T n =-+. 若选③，由题设可得
1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，
同①可得131n n T n =-
+. 【点睛】
方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。