2014人教A版数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点》教案精讲

3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
[读教材·填要点]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．
[小问题·大思维]
1．函数的“零点”是一个点吗？
提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？
提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2.
3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则
f(a)·f(b)<0一定成立吗？
提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定
义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．
[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[自主解答] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
即(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－6)
＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
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求函数y＝f x的零点通常有两种办法：其一是令f x＝0，根据解方程f x＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f x的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.
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1．求下列函数的零点．
(1)y＝x2－2x；
(2)y＝ln x－2.
解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，
∴y＝x2－2x的零点为0,2.
(2)令y＝ln x－2＝0，则ln x＝2＝lne2.
∴x＝e2.∴函数y＝ln x－2的零点为e2.
[例2] 函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[自主解答] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．
[答案] C
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确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反.
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2．方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是( )
A．(－∞，0) B．(0.1,1)
C．(1,2) D．(2,4)
解析：由于lg x有意义，所以x>0.令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．
答案：B
[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[自主解答] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
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若函数f x在[a，b]上单调，且f a f b0，则f x存在零点，且在a ，b上只有1个零点.
若通过构造有f x＝g x－h x，且g x、h x图象容易作出，则f x 的零点个数就是g x与h x图象交点个数，通过作图容易得到f x零点个数.
特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断.
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3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．
解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．
由图可知y 1与y 2只有一个交点，则log 2x ＋2x
－7＝0有一个根，∴函数f (x )有一个零点．f (2)＝log 22＋22
－7＝－2，f (3)＝log 23＋23
－7>0，∴f (2)·f (3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).
解题高手
妙解题
省解题时间，也是得分！k 的取值范围．
[巧思] 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2
－2x －3k －2，则由根的分布，知函数f (x )的图象只能如图所示．
对应的条件是⎩⎪⎨
⎪⎧
k >0f
或⎩⎪⎨⎪⎧
k <0，
f
，
解出即可．
[妙解] 令f (x )＝2kx 2
－2x －3k －2，为使方程
f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，
只需⎩⎪⎨
⎪⎧
k >0，f
或⎩⎪⎨
⎪⎧
k <0，f
，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
k >0，2k －2－3k －2<0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
k <02k －2－3k －2>0，
解得k >0或k <－4.
故k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
1．函数f (x )＝lg x ＋1
2
的零点是 ( )
A.1
10 B.10 C.
1010
D ．10
解析：∵lg x ＋12＝0，∴lg x ＝－1
2，
∴x ＝10－12＝10
10.
答案：C
2．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A ．[0，1
8]
B ．[18，14]
C ．[14，12
]
D ．[1
2
，1]
解析：f (14)·f (12)＝(π4＋log 214)(π2＋log 21
2)
＝(π4－2)(π
2－1)＜0
答案：C
3．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．不能确定
解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：A
4．若函数f (x )＝x 2
－x ＋a 有两个零点，则a 的取值范围是________． 解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a ＝1－4a .
而f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，即方程x 2
－x ＋a 有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a <14.
答案：(－∞，1
4)
5．若函数f (x )＝x －1
x
，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：∵f (x )＝
x －1x ，∴f (4x )＝4x －1
4x
. 则g (x )＝4x －1
4x －x ，令g (x )＝0.
有
4x －14x －x ＝0，解得x ＝1
2
.
答案：12
6．试判断方程x 3
＝2x
在区间[1,2]内是否有实数根？
解：因为函数f (x )＝x 3
－2x
的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f (1)＝1－2＝－1<0，
f (2)＝8－4＝4>0，所以f (1)·f (2)<0，所以函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个
零点，即方程x 3
＝2x
在区间[1,2]内至少有一个实数根．
一、选择题
1．若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A ．若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0
B ．若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0
C ．若f (a )·f (b )＞0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0
D ．若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0 解析：由零点存在性定理可知选项A 不正确；
对于选项B ，可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)·(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
答案：D
2．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x
在x ∈R 上单调递减，所以f (x )
＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－(12)x
在定义域内有唯一零点．
答案：B
3．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )
A ．1 003
B ．1 004
C ．2 006
D ．2 007
解析：∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f (0)＝0，
∴共有2 006＋1＝2 007个．
答案：D
4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有( )
A．3个B．2个
C．至少一个D．0个
解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.
答案：C
二、填空题
5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为________.
解析：令f(x)
由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，
f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，
f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，
f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，
由于f(1)·f(2)＜0，
所以一个根所在的区间为(1,2)．
答案：(1,2)
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案：①②③
7．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．
解析：取g(x)＝ln x h(x)＝x－2
则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点如下图：
答案：2
8．若函数f (x )＝a x
－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x
与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.
答案：(1，＋∞) 三、解答题
9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(1
2x －1)(x －2)＝0，
解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.
当a ≠0且a ≠1
2时，则由(ax －1)(x －2)＝0，
解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述其零点为x ＝1
a
或x ＝2.
10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1) (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点；
解：(1)要使函数有意义：则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x ＞0，
x ＋3＞0
解之得：－3＜x ＜1， 所以函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2
－2x ＋3)，
由f (x )＝0，得－x 2
－2x ＋3＝1， 即x 2
＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.
∵－1±3∈(－3,1)，∴f (x )的零点是－1± 3.。