数学九年级上册 期末试卷模拟训练(Word版 含解析)

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数学九年级上册 期末试卷模拟训练(Word 版 含解析)
一、选择题
1.如图,矩形ABCD 的对角线交于点O ,已知CD a =,DCA β∠=∠,下列结论错误的是( )
A .BDC β∠=∠
B .2sin a
AO β
=
C .tan BC a β=
D .cos a
BD β
=
2.已知圆锥的底面半径为3cm ,母线为5cm ,则圆锥的侧面积是 ( ) A .30πcm 2
B .15πcm 2
C .
152
π
cm 2 D .10πcm 2
3.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )
A .100m
B .1003m
C .150m
D .503m 4.若直线l 与半径为5的O 相离,则圆心O 与直线l 的距离d 为( )
A .5d <
B .5d >
C .5d =
D .5d ≤
5.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,下列说法中不正确...
的是( )
A .1
2
DE BC = B .
AD AE
AB AC
= C .△ADE ∽△ABC
D .:1:2ADE
ABC
S S
=
6.如图,△ABC 内接于⊙O ,连接OA 、OB ,若∠ABO =35°,则∠C 的度数为( )
A .70°
B .65°
C .55°
D .45°
7.已知⊙O 的半径为5cm ,圆心O 到直线l 的距离为5cm ,则直线l 与⊙O 的位置关系为
( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .无法确定 8.已知⊙O 的半径为4,点P 到圆心O 的距离为4.5,则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A .P 在圆内
B .P 在圆上
C .P 在圆外
D .无法确定
9.若关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-,23x =,则方程
2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为( )
A .120,2x x ==
B .122,4x x =-=
C .120,4x x ==
D .122,2x x =-=
10.二次函数2
y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如下表:
x
2- 1-
0 1
2
y
5 0
3- 4-
3-
以下结论:
①二次函数2
y ax bx c =++有最小值为4-; ②当1x <时,y 随x 的增大而增大;
③二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点;
④当13x 时,0y <.
其中正确的结论有( )个
A .1
B .2
C .3
D .4
11.如图,
O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是点E ,22.5CAO ∠=,6OC =,则
CD 的长为( )
A.62B.32C.6 D.12
12.已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CM是它的中线,以C为圆心,5cm为半径作⊙C,则点M与⊙C的位置关系为( )
A.点M在⊙C上B.点M在⊙C内C.点M在⊙C外D.点M不在⊙C内二、填空题
13.一元二次方程290
x的解是__.
14.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成6个大小相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).转动一次转盘后,指针指向_____颜色的可能性大.
15.将边长分别为2cm,3cm,4cm的三个正方形按如图所示的方式排列,则图中阴影部分的面积为______2
cm.
16.如图,边长为2的正方形ABCD,以AB为直径作⊙O,CF与⊙O相切于点E,与AD交于点F,则△CDF的面积为________________
17.从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间的函数关系式是h=12t﹣6t2,则小球运动到的最大高度为________米;
18.已知扇形的圆心角为90°,弧长等于一个半径为5cm的圆的周长,用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计).则该圆锥的高为__________cm.
19.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为_____.
20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如表, x 6.17 6.18 6.19 6.20 y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
则方程ax 2+bx+c =0的一个解的范围是_____.
21.已知圆锥的侧面积为20πcm 2,母线长为5cm ,则圆锥底面半径为______cm . 22.如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠A =100°,则∠BOC 为_____.
23.如图,已知△ABC 是面积为3的等边三角形,△ABC ∽△ADE ,AB =2AD ,∠BAD =45°,AC 与DE 相交于点F ,则△AEF 的面积等于_____(结果保留根号).
24.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =∠BCD =90°,AB +AD =8cm .当BD 取得最小值时,AC 的最大值为_____cm .
三、解答题
25.如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,60BAC ∠=︒,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,过点D 作DE
AC 交AB 于点E ,点M 是线段AD 上的动点,连结BM 并延
长分别交DE ,AC 于点F 、G .
(1)求CD的长.
(2)若点M是线段AD的中点,求EF
DF
的值.
(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得
60
CPG
∠=︒?
26.从甲、乙两台包装机包装的质量为300g的袋装食品中各抽取10袋,测得其实际质量如下(单位:g)
甲:301,300,305,302,303,302,300,300,298,299
乙:305,302,300,300,300,300,298,299,301,305
(1)分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差;
(2)比较这两台包装机包装质量的稳定性.
27.4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6,将这些卡片的背面朝上,并洗匀.(1)从中任意抽取1张,抽到的数字大于0的概率是______;
(2)从中任意抽取1张,并将卡片上的数字记作二次函数y=ax2+bx中的a,再从余下的卡片中任意抽取1张,并将卡片上的数字记作二次函数y=ax2+bx中的b,利用树状图或表格的方法,求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率.
28.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
29.已知:如图,抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于点A、B,其中点A在点B的左边,交y
轴于点C,点P为抛物线上位于x轴上方的一点.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若△PAB的面积为4,求点P的坐标.
30.如图,有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m,如果小明的身高为
1.6m,求路灯杆AB的高度.
31.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于90%,市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示:
(1)根据图象,直接写出y与x的函数关系式;
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元
(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?
32.如图,二次函数22y ax ax c =-+ (a < 0) 与 x 轴交于 A 、C 两点,与 y 轴交于点 B ,P 为 抛物线的顶点,连接 AB ,已知 OA :OC=1:3. (1)求 A 、C 两点坐标;
(2)过点 B 作 BD ∥x 轴交抛物线于 D ,过点 P 作 PE ∥AB 交 x 轴于 E ,连接 DE , ①求 E 坐标; ②若 tan ∠BPM=
2
5
,求抛物线的解析式.
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一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】
根据矩形的性质得对角线相等且互相平分,再结合三角函数的定义,逐个计算即可判断. 【详解】
解:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90° ∴AO=CO=BO=DO, ∴∠OCD=∠ODC=β,
A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确;
B 、在Rt △AD
C 中,cos ∠ACD=DC
AC , ∴cos β=2a AO
,∴AO=
2cos a ,故B 选项错误;
C 、在Rt △BC
D 中,tan ∠BDC=
BC DC , ∴ tan β=BC
a
∴BC=atan β,故C 选项正确; D 、在Rt △BCD 中,cos ∠BDC=DC
DB , ∴ cos β=a BD
∴cos a BD β=,故D 选项正确.
故选:B. 【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
解析:B 【解析】
试题解析:∵底面半径为3cm , ∴底面周长6πcm ∴圆锥的侧面积是1
2
×6π×5=15π(cm 2), 故选B .
3.A
解析:A 【解析】
∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1


BC AC , ∵BC=50,∴


100=
=(m ).故选A
4.B
解析:B 【解析】 【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径,据此解答即可. 【详解】
解:∵直线l 与半径为5的O 相离,
∴圆心O 与直线l 的距离d 满足:5d >.
故选:B. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,属于应知应会题型,若圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,当d >r 时,直线与圆相离;当d =r 时,直线与圆相切;当d <r 时,直线与圆相交.
5.D
解析:D 【解析】
∵在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点, ∴DE ∥BC ,DE=
1
2
BC , ∴△ADE ∽△ABC ,AD AE
AB AC =, ∴
21()4
ADE ABC
S DE S
BC ==. 由此可知:A 、B 、C 三个选项中的结论正确,D 选项中结论错误. 故选D.
解析:C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数,再进一步根据圆周角定理求解.
【详解】
解:∵OA=OB,∠ABO=35°,
∴∠BAO=∠ABO=35°,
∴∠O=180°-35°×2=110°,
∴∠C=1
2
∠O=55°.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质,圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
7.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,即可判断直线和圆相切.
【详解】
∵圆心到直线的距离5cm=5cm,
∴直线和圆相切,
故选B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的关系,解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系.若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离.
8.C
解析:C
【解析】
【分析】
点到圆心的距离大于半径,得到点在圆外.
【详解】
∵点P到圆心O的距离为4.5,⊙O的半径为4,
∴点P在圆外.
故选:C.
【点睛】
此题考查点与圆的位置关系,通过比较点到圆心的距离d 的距离与半径r 的大小确定点与圆的位置关系.
9.C
解析:C 【解析】 【分析】
设方程2
(1)(1)0a x b x c -+-+=中,1t x =-,根据已知方程的解,即可求出关于t 的方程的解,然后根据1t x =-即可求出结论. 【详解】
解:设方程2
(1)(1)0a x b x c -+-+=中,1t x =- 则方程变为20at bt c ++=
∵关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-,23x =, ∴关于t 的方程20at bt c ++=的解为1
1t =-,23t =,
∴对于方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=,11x -=-或3 解得:10x =,24x =, 故选C . 【点睛】
此题考查的是根据已知方程的解,求新方程的解,掌握换元法是解决此题的关键.
10.B
解析:B 【解析】 【分析】
根据表中数据,可获取相关信息:抛物线的顶点坐标为(1,-4),开口向上,与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),据此即可得到答案. 【详解】
①由表格给出的数据可知(0,-3)和(2,-3)是一对对称点,所以抛物线的对称轴为
20
2
+=1,即顶点的横坐标为x=1,所以当x=1时,函数取得最小值-4,故此选项正确; ②由表格和①可知当x <1时,函数y 随x 的增大而减少;故此选项错误;
③由表格和①可知顶点坐标为(1,-4),开口向上,∴二次函数2
y ax bx c =++的图象
与x 轴有两个交点,一个是(-1,0),另一个是(3,0);故此选项错误; ④函数图象在x 轴下方y<0,由表格和③可知,二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),∴当13x 时,y<0;故此选项正确;
综上:①④两项正确, 故选:B . 【点睛】
本题综合性的考查了二次函数的性质,解题的关键是能根据二次函数的对称性判断:纵坐
标相同两个点的是一对对称点. 11.A 解析:A 【解析】
【分析】
先根据垂径定理得到CE DE =,再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=,可得OCE ∆为等腰直角三角形,所以2322
CE OC =
=,从而得到CD 的长. 【详解】
∵CD AB ⊥,AB 为直径,
∴CE DE =, ∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角,∠A=22.5°,
∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=,
∴OCE ∆为等腰直角三角形,
∵OC=6,
∴2263222
CE OC ==⨯=, ∴262CD CE ==.
故选A .
【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;垂直于弦的直径,平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧.
12.A
解析:A
【解析】
【分析】
根据题意可求得CM 的长,再根据点和圆的位置关系判断即可.
【详解】
如图,
∵由勾股定理得2268+,
∵CM 是AB 的中线,
∴CM=5cm,
∴d=r,
所以点M在⊙C上,
故选A.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系,解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径.二、填空题
13.x1=3,x2=﹣3.
【解析】
【分析】
先移项,在两边开方即可得出答案.
【详解】

∴=9,
∴x=±3,
即x1=3,x2=﹣3,
故答案为x1=3,x2=﹣3.
【点睛】
本题考查了解一
解析:x1=3,x2=﹣3.
【解析】
【分析】
先移项,在两边开方即可得出答案.
【详解】
x-=
∵290
∴2x=9,
∴x=±3,
即x1=3,x2=﹣3,
故答案为x1=3,x2=﹣3.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法,熟练掌握该方法是本题解题的关键. 14.红
【解析】
【分析】
哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.
∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,
∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.
故答案为:红.
【点睛】
解析:红
【解析】
【分析】
哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.
【详解】
∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,
∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.
故答案为:红.
【点睛】
本题考查了可能性大小的知识,解题的关键是看清那种颜色的最多,难度不大.15.【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注,阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积,再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解:如
解析:13 3
【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注,阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积,再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解:如图所示,
∵四边形MEGH为正方形,
∴△AEN~△AHG
∴NE:GH=AE:AG
∵AE=2+3=5,AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9
∴NE=20 9
同理可求BK=8 9
梯形BENK的面积:120814
3 2993⎛⎫
⨯+⨯=

⎝⎭
∴阴影部分的面积:
1413 33
33⨯-=
故答案为:13 3
.
【点睛】
本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质,根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.
16.【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线,进而得出FC=AF+DC,设AF=x,再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°,
∴AB、BC是⊙O的切线,
∵C
解析:3 2
【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线,进而得出FC=AF+DC,设AF=x,再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°,
∴AB、BC是⊙O的切线,
∵CF是⊙O的切线,
∴AF=EF,BC=EC,
∴FC=AF+DC,
设AF=x ,则,DF=2-x ,
∴CF=2+x ,
在RT △DCF 中,CF 2=DF 2+DC 2,
即(2+x )2=(2-x )2+22,解得x=
12, ∴DF=2-
12=32, ∴113322222
CDF S DF DC =⋅=⨯⨯=, 故答案为:
32. 【点睛】
本题考查了正方形的性质,切线长定理的应用,勾股定理的应用,熟练掌握性质定理是解题的关键.
17.6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得,即可得到答案.
【详解】

∴当t=1时,h 有最大值6.
故答案为:6.
【点睛】
此题考查最值问题,确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式,再根据开 解析:6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得2
21266(1)6h t
t t =--=+﹣,即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣,
∴当t=1时,h 有最大值6.
故答案为:6.
【点睛】
此题考查最值问题,确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式,再根据开口方向确定最值.
18.【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径,圆锥的轴截面为等腰三角形,其中底边为10,腰为母线即扇形的半径,根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解:设扇形半径为R,根据弧长公式得,
∴R
解析:
【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径,圆锥的轴截面为等腰三角形,其中底边为10,腰为母线即扇形的半径,根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解:设扇形半径为R,根据弧长公式得,
90
=25
180
R
∴R=20,
22
5515 .
故答案为:
【点睛】
本题考查弧长公式,及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系,底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.
19.2﹣2
【解析】
【分析】
取BC中点G,连接HG,AG,根据直角三角形的性质可得HG=CG=BG=BC=2,根据勾股定理可求AG=2,由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG,当点H在线段AG上时,
解析:2
【解析】
【分析】
取BC中点G,连接HG,AG,根据直角三角形的性质可得HG=CG=BG=1
2
BC=2,根据
勾股定理可求AG=,由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG,当点H在线段AG上时,可求AH的最小值.
【详解】
解:如图,取BC中点G,连接HG,AG,
∵CH⊥DB,点G是BC中点
∴HG=CG=BG=1
2
BC=2,
在Rt△ACG中,AG22
AC CG
5
在△AHG中,AH≥AG﹣HG,
即当点H在线段AG上时,AH最小值为52,
故答案为:52
【点睛】
本题考查了动点问题,解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式. 20.18<x<6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y=0时,相应的自变量的取值范围即可.
【详解】
由表格数据可得,当x=6.18时,y=﹣0.01,当x=6.19
解析:18<x<6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y=0时,相应的自变量的取值范围即可.
【详解】
由表格数据可得,当x=6.18时,y=﹣0.01,当x=6.19时,y=0.02,
∴当y=0时,相应的自变量x的取值范围为6.18<x<6.19,
故答案为:6.18<x<6.19.
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根,解题的关键是找到y由正变为负时,自变量的取值即可.
21.4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,求圆锥侧面展开扇形的弧长,然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解.
【详解】
解:由圆锥的母线长是5cm,侧面积
解析:4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,求圆锥侧面展开扇形的弧长,然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解.
【详解】
解:由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,
根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为:
240
5
S
l
r
π
===8π,
再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,
可得
8
22
l
r
π
ππ
===4cm.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查圆锥的计算,掌握公式正确计算是解题关键.
22.140°.
【解析】
【分析】
根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线,根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数,进而可求出∠BOC的度数.
【详解】
∵点O是△ABC
解析:140°.
【解析】
【分析】
根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线,根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数,进而可求出∠BOC的度数.
【详解】
∵点O是△ABC的内切圆的圆心,
∴OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠OBC=1
2
∠ABC,∠OCB=
1
2
∠ACB,
∵∠A=100°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°,
∴∠OBC+∠OCB=
12
(∠ABC+∠ACB )=40°, ∴∠BOC=180°-40°=140°.
故答案为:140°
【点睛】 本题考查了三角形内心的定义及三角形内角和定理,熟练掌握三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点是解题关键.
23.【解析】
【分析】
如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,根据等边三角形的性质可求出AB 的长,根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形,可得出A E 的长,根据角的和差
解析:34
- 【解析】
【分析】
如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,根据等边三角形的性质可求出AB 的长,根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形,可得出AE 的长,根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°,设AH =HF =x ,利用∠EFH 的正确可用x 表示出EH 的长,根据AE=EH+AH 列方程可求出x 的值,根据三角形面积公式即可得答案.
【详解】
如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,
∵△ABC CM ⊥AB ,
∴12×AB×CM ,∠BCM =30°,BM=12
AB ,BC=AB ,
∴AB ,
∴12AB 解得:AB =2,(负值舍去)
∵△ABC ∽△ADE ,△ABC 是等边三角形,
∴△ADE 是等边三角形,∠CAB=∠EAD=60°,∠E=60°,
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°,
∵∠BAD=45°,
∴∠EAF =∠BAD =45°,
∵FH ⊥AE ,
∴∠AFH =45°,∠EFH =30°,
∴AH =HF ,
设AH=HF=x,则EH=xtan30°=
3
3
x.
∵AB=2AD,AD=AE,
∴AE=1
2
AB=1,
∴x+
3
3
x=1,
解得x=
33 33
-
=
+

∴S△AEF=1
2
×1×
33
-

33
4
-

故答案为:33 -

【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,等边三角形的性质,锐角三角函数,根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
24.【解析】
【分析】
设AB=x,则AD=8﹣x,由勾股定理可得BD2=x2+(8﹣x)2,由二次函数的性质可求出AB=AD=4时,BD的值最小,根据条件可知A,B,C,D四点在以BD 为直径的圆上.
解析:2
【解析】
【分析】
设AB=x,则AD=8﹣x,由勾股定理可得BD2=x2+(8﹣x)2,由二次函数的性质可求出AB=AD=4时,BD的值最小,根据条件可知A,B,C,D四点在以BD为直径的圆上.则AC为直径时最长,则最大值为2.
【详解】
解:设AB=x,则AD=8﹣x,
∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴BD 2=x 2+(8﹣x )2=2(x ﹣4)2+32.
∴当x =4时,BD 取得最小值为42.
∵A ,B ,C ,D 四点在以BD 为直径的圆上.如图,
∴AC 为直径时取得最大值.
AC 的最大值为2. 故答案为:2.
【点睛】 本题考查了四边形的对角线问题,掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.
三、解答题
25.(1)3DC =;(2)
23EF DF =;(3)当1637DM =143435
DM <<时,满足条件的点P 只有一个.
【解析】
【分析】
(1)由角平分线定义得30DAC ∠=︒,在Rt ADC ∆中,根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.
(2)由题意易求得63BC =43BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆,根据全等三角形性质得DF AG =,根据相似三角形判定得
~BFE BGA ∆∆,由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC
==,将DF AG =代入即可求得答案.
(3)由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形,再分情况讨论:
①当Q 与DE 相切时,结合题意画出图形,过点Q 作QH AC ⊥,并延长HQ 与DE 交
于点P ,连结QC ,QG ,设
Q 半径为r ,由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长;
②当Q 经过点E 时,结合题意画出图形,过点C 作CK AB ⊥,设Q 半径为r ,在Rt EQK ∆中,根据勾股定理求得r ,再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长;③当Q 经过点D 时,结合题意画出图形,此时点M 与点G 重合,且恰好在点A 处,由此可得DM 长.
【详解】
(1)解:∵AD 平分BAC ∠,60BAC ∠=︒,
∴1302DAC BAC ∠=∠=︒. 在Rt ADC ∆中,tan 3023DC AC =⋅︒=
(2)解:易得,63BC =,43BD =.
由DE AC ,得EDA DAC ∠=∠,DFM AGM ∠=∠.
∵AM DM =, ∴DFM AGM ∆≅∆,
∴AG DF =.
由DE
AC ,得~BFE BGA ∆∆, ∴EF BE BD AG AB BC
== ∴4323
63EF EF BD DF AG BC ==== (3)解:∵60CPG ∠=︒,过C ,P ,G 作外接圆,圆心为Q ,
∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.
①当Q 与DE 相切时,如图1,
过Q 点作QH AC ⊥,
并延长HQ 与DE 交于点P ,连结QC ,QG
设Q 的半径QP r =则12QH r =,1232
r r += 解得433r =
∴43343
CG ==,2AG =. 易知DFM
AGM ∆∆,可得43DM DF AM AG ==,则47DM AD = ∴1637DM =
②当Q 经过点E 时,如图2,
过C 点作CK AB ⊥,垂足为K .
设Q 的半径QC QE r ==,则33-QK r =.
在Rt EQK ∆中,()221332r r +-=,解得1439r =
, ∴14143393
CG =⨯= 易知DFM
AGM ∆∆,可得1435DM = ③当Q 经过点D 时,如图3,
此时点M 与点G 重合,
且恰好在点A 处,可得43DM =
综上所述,当1637DM =
143435
DM <P 只有一个. 【点睛】
本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形,圆周角定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会利用特殊位置解决数学问题,属于中考压轴题.
26.(1)甲平均数301,乙平均数301,甲方差3.2,乙方差4.2;(2)甲包装机包装质量的稳定性好,见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数;根据方差公式计算即可;
(2)方差大说明这组数据波动大,方差小则波动小,就比较稳定.依此判断即可.【详解】
解:(1)x甲=
1
10
(1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1)+300=301,
x乙=
1
10
(5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5)+300=301,
2 s
甲=
1
10
[(301﹣301)2+(301﹣300)2+(301﹣305)2+(301﹣302)2+(301﹣303)2+
(301﹣302)2+(301﹣300)2+(301﹣300)2+(301﹣298)2+(301﹣299)2]=3.2;
2 s
乙=
1
10
[(301﹣305)2+(301﹣302)2+(301﹣300)2+(301﹣300)2+(301﹣300)2+
(301﹣300)2+(301﹣298)2+(301﹣299)2+(301﹣301)2+(301﹣305)2]=4.2;(2)∵2s甲<2s乙,
∴甲包装机包装质量的稳定性好.
【点睛】
本题考查了平均数和方差,正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
27.(1)1
2
;(2)
2
3

【解析】
【分析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,利用一次函数的性质,找出a、b异号的结果数,然后根据概率公式求解.
【详解】
(1)∵共由4种可能,抽到的数字大于0的有2种,
∴从中任意抽取1张,抽到的数字大于0的概率是1
2

故答案为:1 2
(2)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中a、b异号有8种结果,
∴这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为
8
12

2
3

【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比,熟练掌握a、b异号时,对称轴在y轴右侧是解题关键.
28.(1)y=x2+x﹣2;(2)S=﹣m2﹣2m(﹣2<m<0),S的最大值为1;(3)点Q
坐标为:(﹣2,2)或(﹣
1
或(﹣1
)或(2,﹣2).
【解析】
【分析】
(1)设此抛物线的函数解析式为:y=ax2+bx+c,将A,B,C三点代入y=ax2+bx+c,列方程组求出a、b、c的值即可得答案;
(2)如图1,过点M作y轴的平行线交AB于点D,M点的横坐标为m,且点M在第三象限的抛物线上,设M点的坐标为(m,m2+m﹣2),﹣2<m<0,由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y=﹣x﹣2,则点D的坐标为(m,﹣m﹣2),即可求出MD的长度,进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式,根据二次函数的性质即可求出其最大值;(3)设P(x,x2+x﹣2),分情况讨论,①当OB为边时,根据平行四边形的性质知
PQ∥OB,且PQ=OB,则Q(x,﹣x),可列出关于x的方程,即可求出点Q的坐标;②当BO为对角线时,OQ∥BP,A与P应该重合,OP=2,四边形PBQO为平行四边形,则BQ=OP=2,Q横坐标为2,即可写出点Q的坐标.
【详解】
(1)设此抛物线的函数解析式为:y=ax2+bx+c,
将A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0)三点代入,得
420
2
a b c
c
a b c
-+=


=-

⎪++=


解得:
1
1
2 a
b
c
=


=

⎪=-


∴此函数解析式为:y=x2+x﹣2.
(2)如图,过点M作y轴的平行线交AB于点D,
∵M点的横坐标为m,且点M在第三象限的抛物线上,∴设M点的坐标为(m,m2+m﹣2),﹣2<m<0,
设直线AB的解析式为y=kx﹣2,
把A(﹣2,0)代入得,-2k-2=0,
解得:k=﹣1,
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣2,
∵MD∥y轴,
∴点D的坐标为(m,﹣m﹣2),
∴MD=﹣m﹣2﹣(m2+m﹣2)=﹣m2﹣2m,
∴S△MAB=S△MDA+S△MDB
=1
2 MD•OA
=1
2
×2(m2﹣2m)
=﹣m2﹣2m
=﹣(m+1)2+1,
∵﹣2<m<0,
∴当m=﹣1时,S△MAB有最大值1,
综上所述,S关于m的函数关系式是S=﹣m2﹣2m(﹣2<m<0),S的最大值为1.(3)设P(x,x2+x﹣2),
①如图,当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB,
∴Q的横坐标等于P的横坐标,
∵直线的解析式为y=﹣x,
则Q(x,﹣x),
由PQ=OB,得|﹣x﹣(x2+x﹣2)|=2,
即|﹣x2﹣2x+2|=2,
当﹣x2﹣2x+2=2时,x1=0(不合题意,舍去),x2=﹣2,
∴Q(﹣2,2),
当﹣x2﹣2x+2=﹣2时,x1=﹣5x2=﹣15
∴Q(﹣51515,5
②如图,当BO为对角线时,OQ∥BP,
∵直线AB的解析式为y=-x-2,直线OQ的解析式为y=-x,
∴A与P重合,OP=2,四边形PBQO为平行四边形,
∴BQ=OP=2,点Q的横坐标为2,
把x=2代入y=﹣x得y=-2,
∴Q(2,﹣2),
综上所述,点Q的坐标为(﹣2,2)或(﹣515155(2,﹣2).
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查,有待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积,二次函数的最值问题,平行四边形的对边相等的性质,平面直角坐标系中两点间的距离的表示,熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键.
29.(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3);(2)P点坐标为(12,2),(2,2)
【解析】
【分析】
(1)当0y =时,可求点A ,点B 坐标,当0x =,可求点C 坐标;
(2)设点P 的纵坐标为y ,利用三角形面积公式可求得2y =,代入y =﹣x 2+2x +3即可求得点P 的横坐标,从而求得答案.
【详解】
(1)对于抛物线y =﹣x 2+2x +3,
令y=0,得到﹣x 2+2x +3=0,
解得:x 1=﹣1,x 2=3,
则A (﹣1,0),B (3,0),
令0x =,得到y =﹣x 2+2x +3=3,
则C 点坐标为(0,3);
故答案为:A (﹣1,0),B (3,0),(0,3);
(2)设点P 的纵坐标为y ,
∵点P 为抛物线上位于x 轴上方,
∴0y >,
∵△PAB 的面积为4, ∴
()13142
y ⨯+⨯=, 解得:2y =, ∵点P 为抛物线上的点,
将2y =代入y =﹣x 2+2x +3得:﹣x 2+2x +3=2,
整理得x 2﹣2x ﹣1=0,
解得:x 1=1,x 2=
∴P 点坐标为:(1,2),(,2).
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的运用,利用二次函数的性质求解是关键.
30.4m
【解析】
【分析】
由CD ∥EF ∥AB 得可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,故
CD DF AB BF =,EF FG AB BG =,证DF FG BF BG =,进一步得3437BD BD =++,求出BD ,再得1.6312
AB =; 【详解】
解:∵CD ∥EF ∥AB ,
∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,

CD DF AB BF =,EF FG AB BG
=, 又∵CD=EF , ∴DF FG BF BG
=, ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7, ∴
3437
BD BD =++ ∴BD=9,BF=9+3=12 ∴ 1.6312
AB = 解得,AB=6.4m
因此,路灯杆AB 的高度6.4m .
【点睛】
考核知识点:相似三角形的判定和性质.理解相似三角形判定是关键.
31.(1)y =﹣2x +260;(2)销售单价为80元;(3)销售单价为90元时,每天获得的利润最大,最大利润是3200元.
【解析】
【分析】
(1)由待定系数法可得函数的解析式;
(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量,列方程可解;
(3)设每天获得的利润为w 元,由题意得二次函数,写成顶点式,可求得答案.
【详解】
(1)设y =kx +b (k ≠0,b 为常数)
将点(50,160),(80,100)代入得
1605010080k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得2260k b =-⎧⎨=⎩
∴y 与x 的函数关系式为:y =﹣2x +260
(2)由题意得:(x ﹣50)(﹣2x +260)=3000
化简得:x 2﹣180x +8000=0
解得:x 1=80,x 2=100
∵x ≤50×(1+90%)=95
∴x 2=100>95(不符合题意,舍去)
答:销售单价为80元.
(3)设每天获得的利润为w 元,由题意得
w =(x ﹣50)(﹣2x +260)
=﹣2x 2+360x ﹣13000。

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